有關(guān)“輕桿”的習(xí)題研究

盧敏翔

(蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇 蘇州 215000)

理想化模型的建立過程滲透著研究問題時抓住主要因素、忽略次要因素的哲學(xué)思想.建立理想化模型是簡化物理研究的重要手段，是一種非常重要的科學(xué)研究方法.輕桿是物理學(xué)中常見的理想化模型，輕桿在物理上是指不計質(zhì)量不計形變的剛性桿，具有以下特點(diǎn).

(1) 合力為0.根據(jù)牛頓第二定律，輕桿的合力必然為0.如果輕桿只受兩個力，那么這兩個力一定是等大反向的，如果受到3個力的作用，那么這3個力一定是共點(diǎn)力(三力匯交原理).

(2) 速度可以突變.質(zhì)量是慣性大小的唯一量度，質(zhì)量為0，說明物體運(yùn)動狀態(tài)的改變就沒有了難度，瞬間就可以獲得任意大的速度，這就意味著輕桿的速度是可以突變的.

(3) 不具有任何能量.質(zhì)量不計，意味著輕桿不具有動能，勢能.輕桿速度突變時無需外力做功，也無需消耗任何能量.

在處理輕桿的問題時，要優(yōu)先抓住輕桿的以上特點(diǎn)來進(jìn)行分析.下面通過典型的例題，從常見的“動桿”、“定桿”的受力特點(diǎn)出發(fā)，由淺入深，全面剖析輕桿在各種習(xí)題中的處理技巧.

1 “動桿”、“定桿”的受力特點(diǎn)

例1.如圖1(a)所示，水平輕桿BC的B端固定，C端有一定滑輪；如圖1(b)所示，水平輕桿BC的B端連接鉸鏈，C端摩擦很大，繩無法移動.當(dāng)物體靜止時，∠θ均為30°，均不計繩子的質(zhì)量，求兩種情況下桿C端對外的彈力大小？

圖1

解析：圖1(a)中的C端受力分析如圖2(a)所示，先求出拉力T1和T2的合力T合=T2=T1=mg，再根據(jù)平衡特點(diǎn)得到F與T合等大反向，易知桿C端對外的彈力大小為FN=mg.

圖2

總結(jié)：例1是涉及“定桿”和“動桿”受力特點(diǎn)的典型問題.這類問題往往會和輕繩結(jié)合起來.圖1(a)中的輕桿由于B端固定，因此是一根“定桿”，“定桿”對外提供的力不一定沿桿的方向；C端有光滑定滑輪，因此滑輪兩邊的繩的是可以自由活動的，這樣的結(jié)點(diǎn)稱為“活結(jié)”，“活結(jié)”兩邊繩的力一定是等大的.“定桿”本質(zhì)上是輕桿一端和外界固定，組合成了一個整體，共同對外施力，方向可以沿任意方向，受力分析時不能單獨(dú)將“定桿”進(jìn)行受力分析，需將“定桿”和固連的外界作為一個整體考慮.圖1(b)中的桿由于B端可轉(zhuǎn)動，因此是一根“動桿”，要使得“動桿”平衡，外界對桿的力必須沿桿的方向，否則桿就會轉(zhuǎn)動，因此桿對外界的力也必須沿桿的方向；C端結(jié)點(diǎn)兩邊的繩由于摩擦太大不能移動，因此是一個“死結(jié)”，“死結(jié)”兩邊的繩的拉力大小不一定相等.“動桿”由于可動，因此靜止時，其合力必為0(考慮轉(zhuǎn)動時，其合力矩也必為0).

2 “動桿”和“定桿”的拓展

例2.如圖3(a)所示， 已知小球質(zhì)量為m，小車以加速度a向左做勻加速直線運(yùn)動，裝置中兩輕桿固定連接，斜桿與豎直方向均成θ角度，試求輕桿對小球的作用力？

圖3

例3.如圖4(a)中輕桿BC的B端用鉸鏈接在豎直墻上，另一端C為一輕滑輪.重物G上系一輕繩經(jīng)過滑輪固定于墻上A點(diǎn)處， 桿恰好平衡.若將繩的A端沿墻緩慢向下移(摩擦均不計)，則繩的拉力和BC桿對繩子的作用力各如何變化？

(a) (b)

解析：輕桿C端為光滑定滑輪，因此繩AC上的拉力和重物的重力G是一直恒等不變的；輕桿B端和鉸鏈相連，是“動桿”，繩AC上的拉力和重物重力的合力F應(yīng)該要沿桿方向，當(dāng)繩A端下移時，合力會由F1增加到F2，如圖4(b)所示，因此BC桿對繩子的作用力增大.

例3中很多學(xué)生在進(jìn)行受力分析時，誤認(rèn)為桿對小球的彈力F與豎直方向的夾角β和題目中給的角θ是同一個角，得出F=mg/cosθ的錯誤答案,產(chǎn)生這個錯誤的原因就是沒有認(rèn)識到整根桿是一根“定桿”，對外提供的彈力F不一定桿沿桿的方向，只有滿足a=gtanθ時，才滿足β=θ，也即此時桿對小球的彈力才沿桿的方向.例3分析時既要注意到BC桿是“動桿”，結(jié)點(diǎn)C是“活結(jié)”之外，還要意識到當(dāng)繩A端下移時，桿BC的形態(tài)必然會變化，即BC桿與豎直墻壁的夾角會減小，這是本題的一個難點(diǎn)，也是很多學(xué)生在進(jìn)行受力分析時容易糊涂的地方.

3 輕桿在受力分析中的處理技巧

有一些涉及輕桿模型的題目的情景簡單，但是受力分析卻很難，解題的關(guān)鍵是如何通過輕桿的特點(diǎn)做出正確的受力分析圖.

例4.如圖5(a)所示，AC為輕繩，BC為彎曲的硬輕桿，B端用鉸鏈接于豎直墻上， 且AC=BC，當(dāng)C端掛一質(zhì)量為m的物體時， 繩AC的拉力為多大？

圖5

解析：以C點(diǎn)為研究對象，輕桿對C點(diǎn)的彈力FN方向一定是沿BC連線方向，作出C點(diǎn)受力示意圖如圖5(b)所示.利用力的矢量三角形和幾何三角形相似，可得FT=mg.

例5.輕質(zhì)橫桿OB，O端用鉸鏈固定在墻上，B點(diǎn)用輕繩拉緊，使桿處于水平狀態(tài)，在B點(diǎn)掛重為G的物體，如圖6(a)甲所示，AB和OB的夾角為θ，在把重物的懸點(diǎn)向O端移動的過程中，求墻對桿作用力的最小值.

圖6

解析：該題中的重物的懸掛點(diǎn)向左移動，考慮整根桿的受力，輕桿受到重物的拉力T1，AB繩的拉力T2，以及墻對桿的力F，如圖6(b)所示.由于桿的合力為0，根據(jù)3力匯交原理，這3個力必然是共點(diǎn)力，由于T2的方向始終不變，因此F與T2垂直時，F(xiàn)最小，最小值Fmin=Gcosθ.

面對較難的受力分析時，一定要抓住輕桿的合力為0，從而得到正確的受力分析圖.例3的關(guān)鍵在于如何確定輕桿對C點(diǎn)的彈力方向，如果僅僅是考慮結(jié)點(diǎn)C的受力是無法確定輕桿對C點(diǎn)的彈力方向，此時應(yīng)該轉(zhuǎn)換研究對象.先對輕桿進(jìn)行受力分析，輕桿受到兩個力的作用， 即兩個端點(diǎn)對桿的作用力.由于桿處于靜止?fàn)顟B(tài)， 這兩個力一定是一對平衡力，方向必在B點(diǎn)與C點(diǎn)連線上，從而反過來可以得到桿對C的作用力一定是沿BC方向的.例4的關(guān)鍵是需對整根輕桿進(jìn)行受力分析，抓住輕桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，巧妙地運(yùn)用3力匯交，結(jié)合動態(tài)圖像處理力的大小變化特征，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)計算.兩道題的模型簡單，但是受力分析并不簡單，而在受力分析中，能否利用好輕桿合力為零的特點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵所在.

4 輕桿在綜合力學(xué)問題中的處理技巧

在綜合力學(xué)問題中，物理過程復(fù)雜多變，如何在復(fù)雜多變的過程中理清物理問題的思路，輕桿是關(guān)鍵.

圖7

例6.如圖7所示，一輕質(zhì)長木板置于光滑水平地面上，木板上放著質(zhì)量分別為mA=2 kg和mB=1 kg的A、B兩個物塊，A、B與木板之間的動摩擦因數(shù)都為μ=0.2，水平恒力F作用在A物塊上，則下列說法正確的是(重力加速度g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

(A) 若F=1 N，則物塊、木板都靜止不動.

(B) 若F=1.5 N，則A物塊所受摩擦力大小為1.5 N.

(C) 若F=6 N，則B物塊所受摩擦力大小為2 N.

(D) 若F=8 N，則A物塊的加速度大小為3 m/s2.

解析：在A、B均與木板保持相對靜止時，A、B所受摩擦力會隨拉力增大而增大，以輕木板為研究對象，根據(jù)輕木板的合力為0，可知A、B兩物體對輕木板的摩擦力始終是等大的，由于A與木板間的最大靜摩擦力fA=μmAg=4 N，B與木板間的最大靜摩擦力fB=μmBg=2 N，所以一定是B物體所受摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力.設(shè)B物體所受摩擦力剛達(dá)到最大靜摩擦力時，拉力為F臨界，對整個系統(tǒng)使用牛頓第二定律得F臨界=(mA+mB)a臨界.對物塊B使用牛頓第二定律得fB=mBa臨界.聯(lián)立求解得F臨界=6 N，a臨界=2 m/s2.當(dāng)F=1 N<6 N時，A、B均與木板保持相對靜止，整體在F的作用下向左做勻加速運(yùn)動，(A)錯誤.當(dāng)F=1.5 N<6 N時A、B均與木板保持相對靜止，對整個系統(tǒng)使用牛頓第二定律得1.5 N=(mA+mB)a.對物塊A使用牛頓第二定律得F-fA=mAa.聯(lián)立求解得fA=1 N，(B)錯誤.當(dāng)F=6 N時B物塊所受摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力，(C)正確.當(dāng)F=8 N>6 N時B物塊與輕木板間發(fā)生相對滑動，A物體與輕木板間不會發(fā)生相對滑動，則A物體的加速度F-f=mAaA，其中f等于B與輕木板間的滑動摩擦力，得到aA=3 m/s2，(D)正確，故選(C)、(D).

例7.某緩沖裝置的理想模型如圖8所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f.輕桿向右移動不超過L時，裝置可安全工作.一質(zhì)量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動L/4,輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦.求：

(1)若彈簧的勁度系數(shù)為k，輕桿開始移動時彈簧的壓縮量x；

(2)為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm；

(3)討論在裝置安全工作時，該小車彈回速度v′和撞擊速度v的關(guān)系.

圖8

解析： (1) 輕桿開始移動時，彈簧的彈力F=kx，且F=f，解得x=f/k.

(3) 設(shè)輕桿恰好移動時，小車撞擊速度為v1，則由動能定理可得

例6中的木板是輕質(zhì)木板，木板的質(zhì)量是不計的，跟輕桿是一樣的.如果以輕木板為研究對象，由牛頓第二定律可得A、B兩物體對輕木板的摩擦力大小始終相等.在A、B均與木板保持相對靜止，整體在F的作用下向左做勻加速運(yùn)動過程中，A、B所受摩擦力隨著F的增大而增大，在其中一個物體所受摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力后，該物體與木板之間出現(xiàn)相對滑動，另一物體與木板之間摩擦力不再增大、一定不會出現(xiàn)另一物塊也相對輕木板滑動的情況.這和“重”木板(考慮木板的質(zhì)量)是不一樣的.這是該題的一個思維難點(diǎn).突破該難點(diǎn)的方法就是抓住輕板的合力為0.例7中在桿開始移動前，彈簧逐漸被壓縮，直至桿開始移動，由于桿的質(zhì)量不計，桿的合力一定為0，即彈簧彈力與桿收到的滑動摩擦力等大反向，因此彈簧的壓縮量不會再變大，之后彈簧和輕桿由于質(zhì)量不計，能瞬間獲得和小車相同的速度并一起開始減速，直至速度為0，速度突變過程中不需要消耗任何能量；當(dāng)分類討論小車彈回速度v′和撞擊速度v的關(guān)系時，當(dāng)v1≤v≤vm時，由于彈簧被壓縮x后就不再變化，儲存的彈性勢能在桿移動過程中不變，小車彈回時的速度是不變的.對例7分析時只有清楚桿的受力特點(diǎn)和能量特點(diǎn)，才能理清整個過程中的物理思路.

結(jié)束語： 雖然實(shí)際問題中輕桿模型并不存在，但這種理想化模型的建立與分析恰恰是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的很好途徑.物理中很多不計質(zhì)量的模型與輕桿模型的分析方法是類似的，如輕繩、輕彈簧等，無論涉及的情景多么復(fù)雜，能否抓住這類輕模型的最主要特征會成為解題的關(guān)鍵所在.