由特殊到一般的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

魏選平

摘 要：本文詳細(xì)介紹了由特殊到一般的教學(xué)方法，在小學(xué)、中學(xué)及大學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，反映出辯證的哲學(xué)思想，此方法對(duì)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性。

關(guān)鍵詞：特殊;一般;哲學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)

世界上任何事物都處于相互聯(lián)系之中，矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通過(guò)特殊性表現(xiàn)出來(lái)，該規(guī)律在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也有指導(dǎo)意義?；谕悊?wèn)題的最簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題與同類復(fù)雜問(wèn)題間的平行的相似性，由最簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題研究、概括總結(jié)推廣出同類復(fù)雜問(wèn)題的解決方法?？v觀各年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，都先由特殊的實(shí)例概況歸納出本質(zhì)規(guī)律，從而熟能生巧地總結(jié)概括推廣出概念、定理，公式。這些定理、公式可解決同類事物中的所有復(fù)雜問(wèn)題，由小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，無(wú)不體現(xiàn)出由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。這種規(guī)律和方法具體體現(xiàn)在小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)體系上。

一、方程移項(xiàng)原理體現(xiàn)了由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的規(guī)律

小學(xué)四年級(jí)學(xué)習(xí)了含有未知數(shù)的等式是方程。方程的移項(xiàng)原理是移項(xiàng)時(shí)，加變減，乘變除。那么，這樣簡(jiǎn)單地推理出移項(xiàng)的本質(zhì)是移項(xiàng)時(shí)正運(yùn)算變反運(yùn)算。實(shí)際上，移項(xiàng)原理也來(lái)自于實(shí)際生活。物理上，用天平秤物體質(zhì)量時(shí)，左物右碼，左邊放物體后，右邊如放1克和2克的砝碼天平平衡時(shí)，說(shuō)明左邊物體的質(zhì)量時(shí)3克，可用1+2=3表示。如左邊去掉1克重物，要使天平達(dá)到新的平衡，需去掉右邊1克的砝碼。這就相當(dāng)對(duì)上邊1加2等于3的等式兩邊同時(shí)減去1，就變成了2=3-1。這也相當(dāng)于1由等號(hào)左邊移到右邊變成減1了。初步說(shuō)明了移項(xiàng)原理是加變減。同樣，4×2=8的等式兩邊同時(shí)除以2，就變成了4=8÷2。這也相當(dāng)于2由等式的左邊移到右邊乘變除的道理。這都說(shuō)明等式移項(xiàng)的原理是一種運(yùn)算變成了它的反運(yùn)算。

初中的乘方與開(kāi)方是一對(duì)反運(yùn)算，在等式移項(xiàng)中也能體現(xiàn)。如式1所示，如2的立方等于8，將立方運(yùn)算由左移到右邊就變成了開(kāi)立方，即2等于8的開(kāi)立方。

高中的指數(shù)與對(duì)數(shù)是一對(duì)反運(yùn)算，在等式移項(xiàng)中也能體現(xiàn)。如式（2）所示，如2的立方等于8，將底數(shù)2由左移到右邊就變成了開(kāi)立方，即2等于8的開(kāi)立方。

大學(xué)的微積分也是正反結(jié)合的體現(xiàn)，如式（3）所示，x立方的導(dǎo)數(shù)等于x 的平方的三倍，將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算由等式的左邊移到左邊時(shí)，就得到x立方等于x平方的3倍的不定積分。

二、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

1.小學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

圓的周長(zhǎng)公式也可由生活中的特殊到一般規(guī)律歸納出來(lái)。例如，車輪滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度就是周長(zhǎng)，如何測(cè)車輪周長(zhǎng)用圓片試試看，圓片向右滾動(dòng)一周，用線繞圓片一周可測(cè)量出圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)，找3個(gè)大小不同的圓片分別測(cè)量出園的周長(zhǎng)和直徑，做一做，填一填。如下表所示。

測(cè)量會(huì)有誤差，可多測(cè)幾次求平均值，會(huì)發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)總是與直徑的3倍多一點(diǎn)，從而得出圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一固定的數(shù)，稱其為圓周率，用字母表示，計(jì)算時(shí)常數(shù)取3.14，從而可用圓的周長(zhǎng)公式求出所有圓的周長(zhǎng)。該例從生活中的簡(jiǎn)單的特例概況出圓的周長(zhǎng)公式。利用所求不同的圓的周長(zhǎng)，這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問(wèn)題的問(wèn)題。

2.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

勾股定理的學(xué)習(xí)可聯(lián)系生活實(shí)際，對(duì)于任意三角形，只要是直角三角形，它的三邊的長(zhǎng)度就為一對(duì)勾股數(shù)，反過(guò)來(lái)，只要一三角形的三邊長(zhǎng)互為勾股數(shù)，則該三角形一定是直角三角形。從而總結(jié)出勾股定理。即任意直角三角形中，兩直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。由勾股定理可解決不同直角三角形的邊角問(wèn)題，尤其是從直角三角形的形狀特性可總結(jié)出其性質(zhì)規(guī)律，由勾股定理和直角三角形的性質(zhì)可解決所有直角三角形問(wèn)題。這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問(wèn)題的問(wèn)題。

3.大學(xué)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

一曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且在該曲線上任一點(diǎn)（x，y）處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程.

上述兩個(gè)例子中的關(guān)系式（5）和（6）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程. 一般地，含有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。

如果微分方程中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解.不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解.如函數(shù)（6）是微分方程（5）的通解，函數(shù)（6）是微分方程（5）的特解。為了從通解中能確定出該問(wèn)題的特解，需要未知函數(shù)滿足一些附加條件，這類附加條件稱為初始條件。

三、結(jié)論

綜上所述，小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)體系都體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律，這就啟示我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只有抓住同類簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題與一般復(fù)雜問(wèn)題間的相似性，才能由小學(xué)、初中、高中的簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題的學(xué)習(xí)和研究，熟能生巧地推廣和概括出大學(xué)的一般復(fù)雜問(wèn)題的學(xué)習(xí)。小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的每一個(gè)重要公式、概念、定理都是從生活中簡(jiǎn)單特殊的實(shí)例總結(jié)概括歸納出來(lái)的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問(wèn)題。也體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學(xué)生的自學(xué)能力，就能增強(qiáng)教師的教學(xué)能力。一般來(lái)說(shuō)，特殊的實(shí)例都很簡(jiǎn)單，一般問(wèn)題都很復(fù)雜，這種方法也是從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題中學(xué)會(huì)復(fù)雜問(wèn)題的解決辦法，這不能不說(shuō)是一種智慧。有了這種智慧，不但能學(xué)好數(shù)學(xué)，也能學(xué)會(huì)分析和解決新問(wèn)題的能力。