亞純函數(shù)的超越方向和Borel方向

龍 芳

(江西省機(jī)械高級(jí)技工學(xué)校 基礎(chǔ)課部，江西南昌 330013)

本文中，亞純函數(shù)均指定義在復(fù)平面上的亞純函數(shù)，且采用的記號(hào)為Nevanlinna理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)，其基本概念和詳細(xì)定義可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1-4].設(shè)f(z)是非常數(shù)的亞純函數(shù)，我們用T(r,f),N(r,f)分別表示f的特征函數(shù)和極點(diǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)，并定義f的增長(zhǎng)級(jí)為

這里log表示對(duì)數(shù)運(yùn)算.

我們用TD(f)表示函數(shù)f的所有超越方向?qū)?yīng)的輻角值所構(gòu)成的集合，不難看出TD(f)為[0，2π)的閉子集.顯然，有理函數(shù)R(z)沒(méi)有超越方向，且對(duì)于超越的f，TD(f+R)=TD(f).

在角域的值分布理論中有兩類非常重要的奇異方向:Julia方向和Borel方向.射線argz=θ被稱作函數(shù)f的Julia方向，如果對(duì)于任意給定的ε>0，f在角域Ω(θ,ε)={z:|argz-θ|<ε}中取任意復(fù)數(shù)值a無(wú)窮多次，至多有兩個(gè)例外值.我們用Ω(r,θ,ε)表示角域Ω(θ,ε)和開(kāi)圓盤(pán){z:|z|

至多有兩個(gè)例外值，那么我們稱argz=θ為f的Borel方向.顯然，Borel方向一定是Julia方向，但反之不成立.

Ostrowsi[5]曾構(gòu)造了1個(gè)滿足T(r,f)=O((logr)2),r→∞的超越亞純函數(shù)，這個(gè)函數(shù)沒(méi)有Julia方向.于是人們考慮Julia方向和Borel方向時(shí)，一般只考慮0<ρ(f)<∞的情形.對(duì)于有窮正級(jí)的亞純函數(shù)，至少存在1條Borel方向，見(jiàn)文獻(xiàn)[3]定理3.8.本文中，我們將討論函數(shù)的Borel方向和超越方向之間的關(guān)系，得到了下面的結(jié)果.

定理1假設(shè)f為滿足0<ρ(f)<∞的亞純函數(shù)，則f的Borel方向必然也為其超越方向.特別地，如果f為整函數(shù)，argz=θ0為其Borel方向，則TD(f)中含有θ0的連通分支的Lebesgue測(cè)度至少為min{2π,π/ρ(f)}.

注1根據(jù)文獻(xiàn)[3]，亞純函數(shù)

有n條的Borel方向argz=2kπ/n(k=0,1,…,n-1)，其中Jα為第一類貝塞爾函數(shù).從而由定理1，argz=2kπ/n(k=0,1,…,n-1)也是該函數(shù)的超越方向.

注意，對(duì)于有窮正級(jí)的整函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的Borel方向必然也是該函數(shù)的Borel方向.相應(yīng)地，我們也將討論函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的公共超越方向，得到了下面的定理.

定理2假設(shè)f為滿足0<ρ(f)<∞的整函數(shù)，則TD(f′)?TD(f).

注2由定理2，對(duì)于有窮正級(jí)的整函數(shù)f，也有TD(f(k))?TD(f)，其中k為正整數(shù).

下面介紹證明結(jié)論所需要的幾個(gè)引理，其中引理3對(duì)于討論Borel方向與超越方向的關(guān)系非常重要.引理3中，如果f為有窮正級(jí)的整函數(shù)，結(jié)論即為文獻(xiàn)[6]引理1.這里，我們將利用Borel方向所決定的一系列充滿圓來(lái)證明引理3.

引理1[7]假設(shè)亞純函數(shù)f(z)具有增長(zhǎng)級(jí)η<∞，則對(duì)于任意給定的ε>0，存在1個(gè)具有有窮線性測(cè)度的集合E，使得

|f(z)|≤exp{rη+ε}

在所有滿足|z|?[0,1]∪E的點(diǎn)z上成立.

引理2(Phragmén-Lindel?f定理) 假設(shè)f(z)在區(qū)域

D={z:α

內(nèi)解析，并連續(xù)到邊界C上.如果對(duì)于任意給定的ε>0，存在r1(ε)>0，使得在D內(nèi)，當(dāng)|z|≥r1(ε)時(shí)，

且在C上有|f(z)|≤M，則在D內(nèi)有|f(z)|≤M，等號(hào)僅當(dāng)f(z)為常數(shù)時(shí)成立.

注3引理2的具體表述來(lái)自文獻(xiàn)[8]定理1.7和文獻(xiàn)[9]引理1.15.

引理3假設(shè)亞純函數(shù)f(z)具有0<ρ(f)=ρ<∞,G={z:argz∈(θ1,θ2)}為角域，其中|θ2-θ1|<π/ρ.如果G中有1條Borel方向，G的閉包不含f的極點(diǎn)，則射線argz=θi(i=1,2)中至少有1條滿足下式(不失一般性，我們?cè)O(shè)為射線argz=θ2):

(1)

證 由條件可知，f在G的閉包上解析，且ρ<ρ0=π/(θ0-θ1)，同時(shí)令argz=θ0為f在G中的Borel方向.利用反正法來(lái)證明.假設(shè)式(1)在兩條射線argz=θi(i=1,2)上均不成立，則存在正數(shù)ρ1<ρ，使得

|f(reiθ)|≤exp{rρ1}θ=θ1,θ2.

利用引理1，可知存在ρ0>ρ及線性測(cè)度有限的集合E，使得當(dāng)|z|=r?E時(shí)有

(2)

根據(jù)最大模原理，在整個(gè)角域G上都成立式(2).令θ*=(θ1+θ2)/2，容易看出

在兩條射線argz=θ1,θ2上都成立.取正整數(shù)b，使得

對(duì)函數(shù)

φ(z)=f(z)exp{-be-iρ1θ*zρ1}

應(yīng)用引理2，則存在正數(shù)M，滿足

|f(reiθ)|≤Mexp{brρ1},z=reiθ∈G.

|f(cj),∞|=(1+|f(cj)|2)-1/2≤4exp{-|zj|ρ2},

其中ρ1<ρ2<ρ.這意味著

|f(cj)|≥4-1exp{|zj|ρ2},

與式(3)相抵觸.綜上所述，式(1)必然在兩條射線argz=θ1,θ2之一上成立.

logdens{r:A(r)>(cos πα)B(r)}≥1-ρ/α.

注4對(duì)于集合H?(1,∞)，它的下對(duì)數(shù)密度定義為

其中χH(t)為集合H的特征函數(shù)，

為H的對(duì)數(shù)測(cè)度.

引理5[11]假設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù)，具有有窮級(jí)ρ，ε>0為給定的常數(shù)，則存在1個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有窮的集合H?(1,∞)，使得對(duì)于所有滿足|z|?H∪[0,1]的點(diǎn)z，有

引理6[2]假設(shè)F(r)和G(r)是(0,∞)的非減函數(shù).如果當(dāng)r∈H∪[0,1,]時(shí)，F(xiàn)(r)≤G(r)，其中H?(1,∞)為對(duì)數(shù)測(cè)度有限的集合，則對(duì)于任意常數(shù)α>1，存在r0>0，當(dāng)r>r0時(shí)，有F(r)≤G(αr).

定理1的證明我們將分兩種情形證明Borel方向argz=θ0必然為超越方向.

情形1存在角域G={z:argz∈(θ1,θ2)}使得θ0∈(θ1,θ2),|θ2-θ1|<π/ρ(f),且f在G的閉包上沒(méi)有極點(diǎn).

根據(jù)引理2，不失一般性，存在射線argz=θ2，使得式(1)成立，這意味著argz=θ2為f的超越方向.顯然，對(duì)于任意滿足0

情形2不存在情形1中的角域G，這意味著必然有1個(gè)f的極點(diǎn)列{zn}，使得

事實(shí)上，如果沒(méi)有這樣的一列極點(diǎn)，則所有極點(diǎn)的輻角減去θ0后取絕對(duì)值將有下界ε0，從而Ω(θ0,ε0)不含f的極點(diǎn).取角域Ω(θ0,ε)，其中張角2ε足夠小，滿足

2ε

就找到了情形1中的角域G，而這是不可能的.我們斷言此時(shí)argz=θ0就是1條超越方向.如若不然，則存在正數(shù)ε0,R0,K，使得對(duì)于所有屬于Ω(θ0,ε0)∩{z:|z|>R0}的點(diǎn)z，都有

|f(z)|≤rK.

(4)

注意到當(dāng)n充分大后，極點(diǎn)zn∈Ω(θ0,ε0)∩{z:|z|>R0}，這與式(4)相矛盾，所以argz=θ0為f的超越方向.

下面對(duì)f為整函數(shù)的情形，討論集合TD(f)的連通分支，這些分支為至多可數(shù)個(gè)區(qū)間，有些分支可能退化為1個(gè)點(diǎn).設(shè)包含θ0的連通分支為U，接下來(lái)我們討論U的Lebesgue測(cè)度.當(dāng)ρ(f)=ρ<1/2時(shí)，取α滿足ρ<α<1/2，此時(shí)cos(πα)>0.根據(jù)引理4，存在具有正的下對(duì)數(shù)密度的集合H，使得對(duì)于r∈H，有

A(r)>cos(πα)B(r).

這意味著，對(duì)于任意的|z|=r∈H，利用f的超越性可知

由此可得TD(f)=[0,2π)，故U=[0,2π).顯然，它的Lebesgue測(cè)度不小于min{2π,π/ρ(f)}.

接下來(lái)，當(dāng)ρ(f)≥1/2時(shí)，注意到min{2π,π/ρ(f)}=π/ρ(f)，我們將采用反證法證明U的Lebesgue測(cè)度至少為π/ρ(f).如若不然，必有U的Lebesgue測(cè)度小于2π.我們總能在U外找到θ1,θ2?TD(f)，使得

θ1<θ0<θ2, |θ1-θ2|<π/ρ(f).

既然θ1,θ2不是超越方向，則存在正的r0,A,k，使得對(duì)于點(diǎn)z=reiθ成立

|f(reiθ)|≤Ark,

其中:r≥r0;θ=θ1或θ2.利用引理2，我們得到角域{z:argz∈(θ1,θ2)}上成立

|f(z)|≤M|z|kM>A.

注意到argz=θ0是整函數(shù)f的Borel方向，式(5)與引理3的結(jié)論相矛盾.從而ρ(f)≥1/2時(shí)，U的Lebesgue測(cè)度不小于min{2π,π/ρ(f)}.

綜上所述，定理1的結(jié)論得證.

定理2的證明對(duì)于任意給定的θ0∈TD(f′)，利用反證法證明θ0∈TD(f).假設(shè)θ0?TD(f)，則存在正數(shù)ε0,K，使得

|f(z)|≤rK

(6)

(7)

結(jié)合式(6)和(7)，不難看出

(8)

M(r)≤rK+ρ(f)r?H.

顯然M(r)和F(r)∶=rK+ρ(f)是(0，∞)的單調(diào)增函數(shù)，利用引理6可知對(duì)于α>1，存在r0>0，使得|z|=r>r0，于是有

|f′(z)|≤M(r)≤F(αr)=αK+ρ(f)rK+ρ(f).

這與已知argz=θ0為f′的超越方向相矛盾！從而θ0∈TD(f)，故TD(f′)?TD(f)，定理2得證.