航天器姿態(tài)大角度機動有限時間控制

黃 成，王 巖，鄧立為

(1. 哈爾濱理工大學(xué)自動化學(xué)院，哈爾濱150080；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001)

0 引 言

航天器姿態(tài)控制技術(shù)在交會對接、在軌裝配、繞飛和編隊飛行等太空任務(wù)中有廣泛的應(yīng)用，是順利完成各項任務(wù)的關(guān)鍵因素。近年來，為進(jìn)一步提高航天器姿態(tài)控制精度，特別是確保姿態(tài)大角度機動時的穩(wěn)定性與魯棒性，許多非線性控制方法得到了廣泛研究和應(yīng)用，如漸進(jìn)穩(wěn)定控制[1]、魯棒次優(yōu)控制[2]、基于線性矩陣不等式的非線性控制[3]和逆最優(yōu)自適應(yīng)控制[4]等。這些方法都能夠很好地解決航天器姿態(tài)系統(tǒng)的非線性控制問題，但忽略了系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂性。因此，為了滿足空間任務(wù)的快速性要求和實現(xiàn)航天器更高的可操作性，具有有限時間收斂和非線性等特性的有限時間控制方法被廣泛應(yīng)用到航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域[5]。

齊次性原理常被用于航天器姿態(tài)有限時間控制器的設(shè)計。文獻(xiàn)[6]利用有限時間觀測器，針對航天器角速度不可測量的情況設(shè)計了有限時間輸出反饋姿態(tài)跟蹤控制器。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[7]針對編隊飛行航天器，設(shè)計了分布的有限時間輸出反饋姿態(tài)協(xié)同控制器?？紤]執(zhí)行器的物理限制，文獻(xiàn)[8]設(shè)計了具有飽和特性的航天器姿態(tài)穩(wěn)定有限時間控制器。為了更好地處理系統(tǒng)所受的外部擾動，終端滑?？刂评碚摮１粦?yīng)用于航天器姿態(tài)有限時間控制器的設(shè)計。文獻(xiàn)[9-11]利用終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了航天器有限時間姿態(tài)控制器。為了解決終端滑?？刂破娈惖膯栴}，文獻(xiàn)[12-13]設(shè)計了基于非奇異終端滑模面的航天器有限時間姿態(tài)控制器。進(jìn)一步地，為了解決終端滑?？刂圃谶h(yuǎn)離平衡點時收斂速度慢的問題，文獻(xiàn)[14]設(shè)計了基于快速終端滑模面和雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)的有限時間姿態(tài)位置耦合控制器；文獻(xiàn)[15]針對剛?cè)狁詈闲l(wèi)星設(shè)計了有限時間輸出反饋姿態(tài)控制器；文獻(xiàn)[16]設(shè)計了快速非奇異終端滑模面，并應(yīng)用到航天器姿態(tài)有限時間控制。剛性航天器姿態(tài)系統(tǒng)是一個標(biāo)準(zhǔn)的級聯(lián)系統(tǒng)，反步法作為一種應(yīng)用于級聯(lián)系統(tǒng)的強大設(shè)計工具，在處理該類系統(tǒng)控制問題時具有很大的優(yōu)勢，常被用于航天器姿態(tài)有限時間控制器的設(shè)計。文獻(xiàn)[17]利用自適應(yīng)預(yù)測和反步法設(shè)計了微型航天器有限時間姿態(tài)控制器。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[18-19]利用有限時間觀測器和反步法設(shè)計了有限時間輸出反饋姿態(tài)跟蹤控制器。

雖然上述研究都采用數(shù)值仿真手段對控制方法進(jìn)行了校驗，但是鑒于空間任務(wù)的特殊性，在航天器進(jìn)入太空之前，必須對其控制方法和系統(tǒng)進(jìn)行嚴(yán)格的地面物理仿真試驗。因此，為了更真實地檢驗控制方法的可行性和有效性，有關(guān)地面物理仿真試驗的研究必不可少。文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]分別應(yīng)用三自由度氣浮臺物理仿真系統(tǒng)和五自由度氣浮臺物理仿真系統(tǒng)對航天器控制問題進(jìn)行了物理仿真試驗研究。文獻(xiàn)[22]將最優(yōu)滑?？刂品椒☉?yīng)用到六自由度氣浮仿真試驗臺上。

考慮太空任務(wù)的特殊性和現(xiàn)代航天器姿態(tài)大角度機動任務(wù)對快速收斂性的需求，根據(jù)基于反步法的有限時間控制與基于快速終端滑模的有限時間控制相比在動態(tài)響應(yīng)速度方面的優(yōu)越性[23]，本文設(shè)計了連續(xù)的自適應(yīng)反步有限時間姿態(tài)大角度機動控制器，并將該控制方法應(yīng)用到某型號航天器交會對接全物理仿真試驗中，通過試驗來驗證方法的可行性。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文研究的創(chuàng)新點在于：1)考慮系統(tǒng)受到外部擾動，利用改進(jìn)的自適應(yīng)律進(jìn)行估計，并保證控制器的連續(xù)性；2)對設(shè)計的控制方法進(jìn)行全物理仿真試驗和對比試驗，驗證其可行性和有效性，進(jìn)而提高方法的可應(yīng)用價值。

本文首先給出了航天器姿態(tài)控制模型；然后設(shè)計了魯棒的有限時間控制器，并給出了相應(yīng)的證明；最后，通過數(shù)值仿真表明了控制方法的有限時間穩(wěn)定性和有效性，并進(jìn)一步將控制方法應(yīng)用到全物理仿真試驗，校驗了其可行性和有效性。

1 航天器姿態(tài)控制模型

旋轉(zhuǎn)矩陣描述方式能夠避免歐拉角描述方式的奇異問題發(fā)生，基于旋轉(zhuǎn)矩陣的航天器姿態(tài)運動學(xué)和動力學(xué)模型為

(1)

(2)

(3)

式中：Rc∈SO(3)表示航天器姿態(tài)從本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；ωc∈R3×1為航天器姿態(tài)角速度在本體坐標(biāo)系下的表示；Jc∈R3×3為航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣；u∈R3×1和d∈R3×1分別為航天器的控制力矩和擾動力矩在本體坐標(biāo)系下的表示。

姿態(tài)誤差Re為矩陣，很難應(yīng)用到控制器的設(shè)計中，本文采用文獻(xiàn)[24]構(gòu)造的一種姿態(tài)誤差表示形式

(4)

式中:tr(Re)表示Re的跡，“∨”表示叉乘的逆運算：SO(3)→R3×1。

(5)

(6)

(7)

(8)

2 控制器設(shè)計

本文利用反步法的思想設(shè)計航天器姿態(tài)大角度機動有限時間控制器，下面給出設(shè)計控制器時要用到的相關(guān)引理和假設(shè)。

1)V為正定函數(shù)。

引理3[16].Β是正定對稱矩陣，λmin和λmax分別為矩陣B特征值中的最小值和最大值，對于x∈R3×1，有λminxTx≤xTΒx≤λmaxxTx成立。

1)V為正定函數(shù)。

引入如下變量

(9)

第一步，根據(jù)反步法的設(shè)計思路，同時為了保證姿態(tài)誤差e始終定義在集合L中，選取虛擬控制器為

(10)

f(x1,i)=

(11)

證. 選擇李雅普諾夫函數(shù)

(12)

(13)

根據(jù)引理1，結(jié)合式(11)可得

當(dāng)|x1,i|≤η,i=1,2,3時,

-2(β1+β2r1)V1,i

(14)

當(dāng)|x1,i|>η,i=1,2,3時,

(15)

根據(jù)引理2可知，x1,i在有限時間內(nèi)可收斂到區(qū)域|x1,i|≤η。

第二步，基于虛擬控制器(10)，設(shè)計連續(xù)控制器和自適應(yīng)更新律如下

(16)

(17)

選擇李雅普諾夫函數(shù)

(18)

對其沿著系統(tǒng)軌跡求導(dǎo)

(19)

代入式(16)～(17)，結(jié)合引理1和引理3整理得

(20)

uz=u-k2sig(x2)γ

(21)

定理1. 針對航天器姿態(tài)系統(tǒng)(5)～(6)，基于假設(shè)1，利用有限時間控制器(21)和自適應(yīng)律(17)，可以實現(xiàn)如下目標(biāo):

1) 狀態(tài)x1和x2是實際有限時間收斂的;

2) 角速度誤差ωe是實際有限時間收斂的。

證.考慮李雅普諾夫函數(shù)V2，對其沿著系統(tǒng)軌跡求導(dǎo)

當(dāng)|x1,i|>η時，

(22)

式中：

當(dāng)|x1,i|<η時，即x1已經(jīng)在收斂域|x1,i|<η內(nèi),則

(23)

根據(jù)式(9)～(10)，角速度誤差ωe可以表示為

ωe=x2-β1E-1x1-β2E-1f(x1)+

(24)

因為狀態(tài)x1和x2是實際有限時間收斂的，可以得到角速度誤差ωe是實際有限時間收斂的。問題(2)得證。

3 仿真校驗

3.1 數(shù)值仿真

為了校驗所提出控制器的有效性，本節(jié)進(jìn)行姿態(tài)大角度機動有限時間控制數(shù)值仿真，方案如下：航天器從初始姿態(tài)機動到橫滾角20°，俯仰角0°，偏航角0°的目標(biāo)姿態(tài)，分別與圖中姿態(tài)向量的第1、第2、第3個元素相對應(yīng)，并保持穩(wěn)定，機動穩(wěn)定時間滿足t<30 s。為了校驗所提出控制方法在動態(tài)響應(yīng)速度方面的優(yōu)越性，采用基于快速終端滑模的有限時間控制方法[23]進(jìn)行對比仿真。

根據(jù)全物理仿真系統(tǒng)的實際物理參數(shù)，航天器轉(zhuǎn)動慣量為

航天器姿態(tài)和角速度的初始值選擇為

[φ,δ,?]T=

[-0.00012, 0.00023935, -0.000234521]Trad

ωc(0)=

根據(jù)沃茲和尼爾森的研究結(jié)論，本次實驗確定采用5名被試對象。研究者在與汽車相關(guān)的專業(yè)班級中篩選出5名學(xué)生作為測試對象。這些學(xué)生都掌握電腦基本操作，視力正常(或矯正視力正常)，愿意安排時間參與本項實驗研究。

[0.0000536, -0.000101725, 0.0000957]Trad/s

外部擾動力矩選擇為

d=0.002[sin(0.1t),cos(0.2t),sin(0.2t)]TN·m

圖1 姿態(tài)曲線

圖2 角速度曲線

圖3 控制力矩曲線

圖4 ψi估計值曲線

圖5～圖7是基于快速終端滑模的有限時間控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線，從圖5～圖7可以看出該控制方法準(zhǔn)確、快速地完成了姿態(tài)大角度機動任務(wù)。由圖5～圖7和圖1～圖3的對比可知，在控制輸入相近的情況下，基于反步法的有限時間控制器和基于快速終端滑模的有限時間控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)收斂性能基本相同，前者的動態(tài)響應(yīng)速度更快，更適合姿態(tài)大角度機動控制。

圖5 對比仿真姿態(tài)曲線

圖6 對比仿真角速度曲線

圖7 對比仿真控制力矩曲線

3.2 全物理仿真試驗

本節(jié)在全物理仿真系統(tǒng)上進(jìn)行航天器姿態(tài)大角度機動控制全物理仿真試驗，試驗方案同上，執(zhí)行機構(gòu)為控制力矩陀螺群。另外，為了驗證所提出有限時間控制方法的可實際應(yīng)用性，采用工程上常用的PD控制方法進(jìn)行對比試驗。

有限時間控制方法的試驗結(jié)果如圖8～圖10所示。從圖8和圖9可以看出，系統(tǒng)機動軸的動態(tài)響應(yīng)過程很快，機動穩(wěn)定時間為26 s左右，兩個非機動軸動態(tài)響應(yīng)過程平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)由耦合干擾而引起的抖振現(xiàn)象。

圖8 姿態(tài)試驗曲線

圖9 角速度試驗曲線

圖10 控制力矩試驗曲線

從圖8和圖9中還可以看出，穩(wěn)態(tài)階段姿態(tài)和角速度都出現(xiàn)了輕微的抖振現(xiàn)象，這是因為隨著控制輸入的減弱，此時系統(tǒng)噪聲的影響顯著提高。在數(shù)值仿真中，由于沒有考慮噪聲的影響，所以在穩(wěn)態(tài)階段未出現(xiàn)上述抖振現(xiàn)象。圖10為控制力矩試驗曲線。

PD控制方法的試驗結(jié)果如圖11～圖13所示。將圖11～圖12與圖8～圖9進(jìn)行對比可知，兩種控制方法作用下的機動軸穩(wěn)態(tài)指向精度基本相同，而有限時間控制所需的機動時間更短。將圖13與圖10進(jìn)行對比可知，有限時間控制方法作用下的執(zhí)行機構(gòu)輸出最大控制力矩的時間相對較長，調(diào)整時間相對較短。

圖13 PD控制下控制力矩試驗曲線

圖12 PD控制下角速度試驗曲線

圖11 PD控制下姿態(tài)試驗曲線

表1和表2給出了姿態(tài)機動任務(wù)的調(diào)節(jié)時間、穩(wěn)態(tài)時姿態(tài)指向精度和穩(wěn)態(tài)時姿態(tài)穩(wěn)定度，說明兩種控制方法的技術(shù)指標(biāo)都滿足試驗要求，穩(wěn)態(tài)時姿態(tài)指向精度和穩(wěn)態(tài)時姿態(tài)穩(wěn)定度基本相同。另外，與PD控制方法相比，有限時間控制方法所需的調(diào)節(jié)時間更短。

表1 調(diào)節(jié)時間

表2 技術(shù)指標(biāo)

4 結(jié) 論

本文采用反步法研究了航天器姿態(tài)大角度機動有限時間控制問題。所設(shè)計的有限時間控制器實現(xiàn)了航天器姿態(tài)機動系統(tǒng)的有限時間收斂，自適應(yīng)律在完成了對外部擾動估計的同時保證了控制器的連續(xù)性。仿真結(jié)果表明了所提出控制方法的有效性，全物理仿真試驗進(jìn)一步校驗了方法的有效性和優(yōu)越性。