考慮多禁止指向區(qū)域的航天器反步姿態(tài)機動控制

馬廣富，柳明旻,2，王靚玥，郭延寧

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001； 2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天器結(jié)構(gòu)愈發(fā)復(fù)雜，航天任務(wù)愈加多樣。執(zhí)行科學(xué)任務(wù)的現(xiàn)代航天器裝配了數(shù)量較大、造價昂貴的敏感元件，如星敏感器、紅外望遠(yuǎn)鏡、紅外干涉儀等[1]。這些敏感元件容易受到強光強熱天體的影響而失效，因此應(yīng)考慮避免太陽光、地氣光、甚至月光等雜散光進(jìn)入視野。同樣比如在在軌服務(wù)、空間攻防、碎片清除等空間任務(wù)中，還需要考慮目標(biāo)對觀測視野的遮擋或者反射等。綜上各種因素以及其它約束的存在，導(dǎo)致了航天器在軌運行過程中存在某些禁止指向的姿態(tài)約束集。特別是在姿態(tài)機動過程中，為了確保該過程敏感器持續(xù)可用，必須在整個機動過程考慮禁止姿態(tài)指向約束集的情況下規(guī)劃可行姿態(tài)機動路徑及設(shè)計姿態(tài)控制律。需要注意的是，該禁止指向姿態(tài)約束集同航天器自身運動狀態(tài)、敏感器視野、光源或者目標(biāo)位置等因素均相關(guān)，使得約束條件難以給出適于控制系統(tǒng)設(shè)計的通用描述。此外，考慮規(guī)避多禁止指向區(qū)域的航天器可行姿態(tài)機動區(qū)域是一個無界非凸的空間，對于相應(yīng)的控制系統(tǒng)設(shè)計帶來了諸多難點。

近年來，各國學(xué)者針對考慮禁止指向區(qū)域的航天器姿態(tài)機動控制進(jìn)行了廣泛的研究，并取得了一定的進(jìn)展。目前，可以將解決此問題的方法分為路徑規(guī)劃法和人工勢函數(shù)法兩類。

路徑規(guī)劃是指在空間中設(shè)計一條可以規(guī)避禁止指向區(qū)域的姿態(tài)機動路徑，并施加跟蹤控制力矩使得航天器沿此路徑完成姿態(tài)機動。Singh等[2]針對Cassini號探測器設(shè)計約束監(jiān)測法，并成功應(yīng)用于Deep Space 1實際任務(wù)中，但該方法僅適用于某些特定任務(wù)自主姿態(tài)規(guī)劃，不具有普適性。Spindler[3]、Hablani[4]通過分析敏感器指向和明亮天體方向之間的幾何關(guān)系，在航天器機動操作前規(guī)劃一條沿禁止指向區(qū)域切線的可行姿態(tài)機動路徑，但其規(guī)劃過程未考慮航天器動力學(xué)特性，計算復(fù)雜。Frazzoli等[5]、Kornfeld[6]應(yīng)用如遺傳算法等隨機算法解決了禁止指向約束等多種不同約束的姿態(tài)機動規(guī)劃問題，但其計算量受到約束種類、航天器姿態(tài)等多種因素的影響。Sun等[7]將禁止指向約束轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)，并將姿態(tài)機動問題轉(zhuǎn)化為二次型規(guī)劃問題，利用提出的一種最小秩方法求解最佳的機動路徑。但該方法計算量較大，需要多次計算獲得最優(yōu)解?？娺h(yuǎn)明等[8]將多約束條件下的姿態(tài)機動路徑規(guī)劃控制問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化控制問題，并采用基于比例微分控制編碼方法的粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解以得到最佳的機動路徑，但其需要進(jìn)行多次迭代搜索，規(guī)劃時間較長。路徑規(guī)劃方法通?？梢垣@得最佳的機動路徑，但其計算量較大、計算時間較長，故該方法更適用于離線或慢變的簡單約束任務(wù)場景，不宜用于考慮多種復(fù)雜約束的實時在線航天器自主姿態(tài)機動任務(wù)。

勢函數(shù)法最初應(yīng)用于機器人在操作空間的路徑規(guī)劃問題，其具有結(jié)構(gòu)簡單，易于實時控制、計算簡單的優(yōu)點，目前已被應(yīng)用于天體軟著陸、飛行器編隊飛行、航天器自主交會和路徑規(guī)劃等航天領(lǐng)域[9]。勢函數(shù)法應(yīng)用于規(guī)避禁止指向區(qū)域的航天器姿態(tài)機動也取得了一定的研究成果。McInnes[10-11]設(shè)計了基于高斯函數(shù)的人工勢場函數(shù)以規(guī)避太陽光的照射，并將其引入李亞普諾夫函數(shù)中進(jìn)行大角度姿態(tài)機動控制律的設(shè)計。然而由于其采用歐拉角描述航天器的姿態(tài)及其約束，可能導(dǎo)致姿態(tài)機動過程中存在奇異問題。鄭重等[12]在此基礎(chǔ)上采用四元數(shù)描述航天器的禁止姿態(tài)約束以及高斯人工勢場函數(shù)，并分別對有無擾動下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。張景瑞等[13]基于禁止姿態(tài)作用范圍設(shè)計一種可以規(guī)避局部極小值的勢函數(shù)，并利用反步法對控制律進(jìn)行設(shè)計。崔祜濤等[14]通過在單位球面上建立視線軸對應(yīng)的導(dǎo)航函數(shù)設(shè)計了一種基于反步法的指向約束姿態(tài)機動控制律，并對控制律進(jìn)行改進(jìn)使其同時滿足輸入受限和常干擾抑制。Kim等[15]基于四元數(shù)描述方式對空間中多種姿態(tài)約束進(jìn)行參數(shù)化凸描述，并利用凸優(yōu)化方法對航天器的控制律進(jìn)行設(shè)計。Lee等[1]利用該參數(shù)化約束描述設(shè)計了一種凸對數(shù)勢函數(shù)，并分別根據(jù)李亞普諾夫直接法和改進(jìn)反步法設(shè)計了模型獨立及模型非獨立兩種姿態(tài)控制律。該方法能夠滿足多種姿態(tài)約束的同時在任意初始條件下保證系統(tǒng)的全局收斂性，但其設(shè)計的對數(shù)勢函數(shù)缺乏較明確的物理意義。同時，Lee等[17]還應(yīng)用此約束描述將問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化求解問題，并利用高斯偽譜法求解了考慮多種姿態(tài)約束下的時間能量最優(yōu)控制。馮振欣等[18]針對微小衛(wèi)星存在多重指向約束的姿態(tài)控制問題進(jìn)行研究，在考慮微小衛(wèi)星計算能力有限的情況下，提出了一種基于對數(shù)型勢函數(shù)的航天器姿態(tài)機動控制律，并同時解決了角速度受限問題。

由于現(xiàn)有的勢函數(shù)存在局部極小值問題或缺乏較為明確的物理意義，本文在構(gòu)造通用的禁止指向區(qū)域凸約束集的基礎(chǔ)上提出了一種新型具有明確物理意義的凸勢函數(shù)，能夠有效地避免傳統(tǒng)勢函數(shù)中的局部極小值問題。進(jìn)一步地，考慮多個禁止指向區(qū)域，設(shè)計一種基于反步法的姿態(tài)控制律，以實現(xiàn)航天器的自主姿態(tài)機動。通過典型數(shù)值仿真校驗了所設(shè)計控制算法的有效性。

1 航天器模型建立

本文以剛體航天器為研究對象，采用四元數(shù)描述航天器的姿態(tài)，根據(jù)剛體動量矩定理以及剛體復(fù)合運動關(guān)系建立航天器的動力學(xué)和運動學(xué)模型如式(1)、式(2)所示:

(1)

(2)

其中，

(3)

(4)

其中，

2 禁止姿態(tài)約束描述

航天器上裝配有各類敏感器，在其姿態(tài)機動過程中，應(yīng)避免太陽等光源進(jìn)入敏感器視場，以保證敏感器的正常使用，將這類約束稱為禁止指向區(qū)域。不失一般性，以太陽為例，其它光源的描述與其相同，其約束示意圖如圖1所示。其中，xi為航天器指向太陽方向的單位向量在慣性系的投影，y代表航天器敏感器視線方向的單位向量在本體系下的投影，θ代表該敏感器的視場大小。

圖1 禁止姿態(tài)示意圖

當(dāng)航天器滿足禁止指向約束時，光源未進(jìn)入敏感器的視場范圍，即代表方向的兩個單位向量在同一坐標(biāo)系下投影的夾角應(yīng)大于敏感器的視場角，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(5)所示:

xi·yi

(5)

式中:yi代表敏感器視線方向的單位向量在慣性系下的投影。

敏感器視線方向在慣性下的投影與航天器的姿態(tài)相關(guān)，實時變化，不能通用地描述禁止指向區(qū)域。因此，需要將敏感器視線方向在慣性系下的投影yi轉(zhuǎn)化為其在本體系的投影y，轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(6)所示:

2(qTy)q+2q4(y×q)

(6)

將式(6)代入式(5)，并整理可得：

2qTyqTxi-qTq(xi)Ty+

(7)

對式(7)進(jìn)行代數(shù)變化，轉(zhuǎn)換為如式(8)所示的矩陣形式:

(8)

其中，a=xiyT+y(xi)T-((xi)Ty+cosθ)I3，b=(xi)×y，d=(xi)Ty-cosθ

從矩陣A的定義可以看出，A為對稱矩陣，其特征值均為實數(shù)。同時，由于A為非正定矩陣，式(8)描述的約束集為非凸集合。非凸約束集在尋找可行機動路徑時不僅會增加計算的復(fù)雜性，而且會使姿態(tài)陷入局部極小值而不能到達(dá)期望姿態(tài)。因此，需要對該非凸約束集進(jìn)行處理轉(zhuǎn)化為凸約束集，并將約束中的姿態(tài)四元數(shù)轉(zhuǎn)化為誤差四元數(shù)的形式，為后續(xù)勢函數(shù)以及控制律的設(shè)計提供基礎(chǔ)。

定理1.禁止姿態(tài)約束集式(8)可以轉(zhuǎn)化為如式(9)所示的凸約束集形式:

(9)

證.

3 基于勢函數(shù)的反步法控制律

3.1 勢函數(shù)設(shè)計

太空中的光源并非只有太陽，故應(yīng)考慮姿態(tài)機動時存在多個禁止指向區(qū)域。實際航天器中敏感器分布在多個軸向，即航天器不止單軸受到禁止指向約束。但由于增加指向軸約束會使姿態(tài)機動的可行空間受到限制，求解復(fù)雜，故本文提出的控制律僅考慮航天器僅單軸受到多禁止指向約束，但延伸應(yīng)用到多軸多禁止指向約束任務(wù)同樣行之有效。

在第2節(jié)對約束集合凸化的基礎(chǔ)上，本文提出一種新型的凸勢函數(shù)，該勢函數(shù)具有明確物理意義，且僅在期望姿態(tài)處具有全局極小值?？紤]多禁止指向約束構(gòu)建的勢函數(shù)如式(10)所示:

(10)

其中，ki>0為姿態(tài)禁止區(qū)域在勢函數(shù)中代表的權(quán)重。此勢函數(shù)中，分子代表了當(dāng)前姿態(tài)與禁止指向區(qū)域的距離，距離越近，分子越小，產(chǎn)生的排斥力越大。而分母則描述期望姿態(tài)的吸引作用，姿態(tài)距離期望姿態(tài)越近，分母值越小，勢函數(shù)的排斥作用越小。當(dāng)航天器姿態(tài)到達(dá)期望姿態(tài)時，勢函數(shù)值為0，即完成了姿態(tài)機動。

證.

下面證明該勢函數(shù)是凸函數(shù)，通過對其海森矩陣(二階梯度)的正負(fù)定性來判斷其是否為凸函數(shù)，當(dāng)其海森矩陣為正定矩陣時，該函數(shù)為凸函數(shù)。

該勢函數(shù)的一階梯度如式(11)所示：

(11)

求導(dǎo)并整理得到二階梯度如式(12)所示：

(12)

(13)

3.2 基于反步法的航天器姿態(tài)機動控制律

反步法是一種遞歸設(shè)計方法，其設(shè)計思想是遞歸地構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)設(shè)計控制律，能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到平衡狀態(tài)。式(1)、式(4)構(gòu)成的航天器姿態(tài)誤差模型是一個標(biāo)準(zhǔn)的級聯(lián)系統(tǒng)[19]，因此可以基于反步法對該系統(tǒng)的姿態(tài)機動控制律進(jìn)行設(shè)計。

反步法控制律的設(shè)計分為兩步。

第一步，設(shè)計虛擬角速度控制律使航天器的運動學(xué)分系統(tǒng)穩(wěn)定。該分系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)即為式(10)所示的勢函數(shù)，對其求取時間的全導(dǎo)數(shù)，如式(14)所示:

(14)

式中：ωs為待設(shè)計的虛擬角速度控制律。

為保證該分系統(tǒng)漸近穩(wěn)定地收斂到平衡狀態(tài)，設(shè)計ωs如式(15)所示

(15)

式中:α>0為虛擬角速度控制律的設(shè)計參數(shù)。

此時，滿足

在式(15)控制律作用下，該分系統(tǒng)漸漸穩(wěn)定。

第二步，設(shè)計控制力矩使得虛擬角速度ωs趨近于真實角速度且漸近收斂于平衡狀態(tài)，即使航天器的動力學(xué)分系統(tǒng)穩(wěn)定。

定義虛擬狀態(tài)量

(16)

構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)為

(17)

對其求取時間的全導(dǎo)數(shù)可得：

(18)

(19)

為保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，設(shè)計控制律

(20)

將式(15)代入式(20)對控制律進(jìn)行整理，得到利用反步法設(shè)計的基于勢函數(shù)的航天器姿態(tài)控制律如式(21)所示:

(21)

式(21)所設(shè)計的控制律由三項組成，其中第一項為航天器動力學(xué)非線性抵消項，第二項為虛擬角速度跟蹤誤差項，第三項為姿態(tài)誤差控制項。在該控制律的作用下，航天器能夠滿足禁止指向約束的同時從任意初始狀態(tài)機動到期望狀態(tài)。

4 數(shù)值仿真

為校驗該控制律的可行性對其進(jìn)行數(shù)值仿真。本節(jié)考慮在空間中存在兩個光源不能進(jìn)入敏感器的視場，利用式(21)所示的控制律進(jìn)行控制，驗證其在完成姿態(tài)機動目的時能夠滿足姿態(tài)約束。

當(dāng)航天器姿態(tài)誤差較大或距離禁止指向區(qū)域較近時，由此控制律得到的控制力矩往往較大，雖然能夠使航天器姿態(tài)快速機動到期望姿態(tài)及迅速遠(yuǎn)離禁止指向區(qū)域，但由于航天器的實際執(zhí)行機構(gòu)具有物理限制，因此需要考慮控制受限問題。通過合理選擇控制律中各項參數(shù)，使得控制律滿足幅值限制。

在航天器誤差角速度有界的假設(shè)下，航天器的控制力矩幅值滿足

(22)

具體的仿真條件如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

本仿真算例中，控制力矩的幅值約束為10 Nm，選取控制律參數(shù)為α=0.54，β=30，搭建Matlab中的Simulink模型進(jìn)行仿真，并繪制仿真結(jié)果圖。航天器姿態(tài)機動過程中的誤差四元數(shù)變化、誤差角速度變化、控制力矩變化分別如圖2、圖3、圖4所示。

為更直觀地觀察航天器姿態(tài)機動路徑對禁止指向區(qū)域的規(guī)避，在三維球體上繪制出禁止指向區(qū)域以及航天器敏感器指向的機動路徑圖，如圖5所示。

圖5 航天器姿態(tài)機動軌跡三維示意圖

其中，A錐體表示光源1的禁止指向區(qū)域，B錐體代表光源2的禁止指向區(qū)域。粗實線代表敏感器指向從初始姿態(tài)q0到期望姿態(tài)qd的機動路徑。

從圖2、圖3可以看出，航天器誤差四元數(shù)以及誤差角速度的調(diào)節(jié)時間在60 s左右，系統(tǒng)的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差范圍合理。但由于控制律設(shè)計采用反步法，系統(tǒng)在到達(dá)平衡狀態(tài)附近的控制作用較弱，趨向于平衡狀態(tài)的時間較長。同時，圖4中控制力矩的幅值始終小于10 N·m，滿足飽和約束，但控制幅值受限帶來了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間較長的不利影響。

圖2 航天器誤差四元數(shù)仿真結(jié)果

圖3 航天器誤差角速度仿真結(jié)果

圖4 航天器控制力矩變化圖

從圖5可以看出，航天器的姿態(tài)機動路徑在靠近光源1或光源2的禁止指向區(qū)域時，由于受到勢函數(shù)的排斥作用而偏離最佳機動路徑，具體表現(xiàn)為在禁止指向區(qū)域附近的機動路徑為遠(yuǎn)離該區(qū)域的兩條弧線。這與控制力矩仿真圖中出現(xiàn)兩次尖峰相符合。同時禁止指向區(qū)域權(quán)重的大小不同以及距離期望姿態(tài)指向的遠(yuǎn)近不一，光源1產(chǎn)生的排斥力要強于光源2產(chǎn)生的排斥力，控制力矩仿真圖4中表現(xiàn)為第一次尖峰的峰值大于第二次尖峰幅值，與仿真圖5中弧線規(guī)避路徑的半徑大小不同相對應(yīng)。

5 結(jié) 論

本文在結(jié)合物理意義明確的凸勢函數(shù)基礎(chǔ)上設(shè)計了一種基于反步法的航天器姿態(tài)機動控制律，能夠快速穩(wěn)定準(zhǔn)確地完成航天器姿態(tài)機動過程的同時實現(xiàn)多禁止指向區(qū)域的規(guī)避。仿真結(jié)果表明了該算法的有效性。

未來將著手于航天器空間中受到禁止指向區(qū)域、強制指向區(qū)域等多種約束條件下的姿態(tài)機動控制，以及對目前控制方法進(jìn)行改進(jìn)加快穩(wěn)態(tài)值附近的控制作用以獲得更佳的控制效果。