精彩源于變式研究　素養(yǎng)成于專題復(fù)習(xí)

簡璐

【摘 要】本文闡述一題多解教學(xué)的主要形式，認(rèn)為一題多解是教學(xué)生學(xué)會解題的重要途徑，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的主要策略，提出教師應(yīng)該結(jié)合高考備考復(fù)習(xí)的特點和教學(xué)要求，以“專題復(fù)習(xí)+一題多解”教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、深化思維和路徑選擇、提煉通性通法的能力，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 專題復(fù)習(xí) 一題多解 例題選擇 核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G? 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）05B-0153-04

數(shù)學(xué)大師波利亞在《怎樣解題》一書中指出，完整的數(shù)學(xué)解題可分四步：第一步，理解題目;第二步，擬訂方案;第三步，執(zhí)行方案;第四步，解題回顧。從中不難看出，大師的眼里，作為一名數(shù)學(xué)解題者不僅要善于解題，而且要善于挖掘數(shù)學(xué)解題中的教育功能。解題，作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中的核心內(nèi)容，它既是推進數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的有效手段，又是核心素養(yǎng)培育的重要途徑。筆者將引領(lǐng)學(xué)生循著大師的足跡，合理聯(lián)想，從問題的實質(zhì)出發(fā)，探尋一般性的解決方法。

在高考備考階段，專題復(fù)習(xí)是突破重點難點，有的放矢解決問題，幫助學(xué)生構(gòu)建完善知識體系的重要策略?！耙活}多解”教學(xué)是變式教學(xué)的主要形式，是教學(xué)生學(xué)會解題的重要途徑，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的主要策略。學(xué)生經(jīng)過兩年的高中學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備開展一題多解變式教學(xué)的知識儲備和方法積累，掌握了高中階段主要的知識內(nèi)容和思想方法，在平時的自主解題中基本可以用一至兩種解題方法。因此，筆者結(jié)合高考備考復(fù)習(xí)的特點和教學(xué)要求，以“一題多解”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，深化思維和路徑選擇，提煉通性通法等，這是高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)必不可少的教學(xué)手段。一般來說，在復(fù)習(xí)課中實施“一題多解+專題復(fù)習(xí)”模式，能有效地整合和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，取得良好的效果。

一、用一個題涵蓋一個專題復(fù)習(xí)的主要方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。運算求解能力考查的重點是學(xué)生確認(rèn)問題或情境的數(shù)學(xué)特征及關(guān)鍵變量，利用恰當(dāng)?shù)淖兞颗c符號對問題情境進行數(shù)學(xué)表征的能力。尋找合理的運算途徑，培養(yǎng)建立求解模型的思維品質(zhì)。

〖例 1〗（2017 年全國 Ⅲ 卷 17 題）△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 sinA+cosA=0，，b=2。

（1）求 c;

（2）設(shè) D 為 BC 邊上一點，且 AD⊥AC，求 △ABD 的面積。

〖試題分析〗

該題設(shè)清晰，問法自然，難度適中。第（1）問前半段，求角 A 方法相對簡單，由簡單的三角方程求出 。第（1）問后半段，求邊長 c，方法不多。在△ABC 中，，所以 ，則 c2+2c-24=0? c=-6（舍去），c=4。第（2）問添加了一個垂直條件，成為常見的“爪”字形三角形問題，題目中出現(xiàn)了 3 個三角形，解法立刻豐富起來。而解決問題的核心是求 AD，或明確 D 的位置。有多種解法。

〖解法評析〗

[解法 1]采用三角形中已知三邊，求出 ;在 Rt△ACD 中，由 ，求出 ，則面積? 。運用特殊的直角三角形求邊求面積。

[解法 2]采用構(gòu)造直角三角形的方法，設(shè)未知數(shù)，建立方程，求出 AD。過點 B 作 BE⊥CA 交 CA 延長線于點 E，設(shè) AE=x，則 AB=2x，，在 Rt△CBE 中，由勾股定理得到關(guān)于 x 的一元二次方程，解出 x=-3（舍去），x=2，c=AB=2x=4。由數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)點 D 是線段 BC 的中點，，面積可求。

[解法 3]作垂直，通過圖形的性質(zhì)，即三角形全等（△BDF? △ACD）得 D 為中點，解出 AD，面積可求。

[解法 4]直接觀察數(shù)據(jù) ，發(fā)現(xiàn)點 D 是線段 BC 的中點，則 。

[解法 5]因為 AD⊥AC，以點 A 為原點建立平面直角坐標(biāo)系 A-xyz，則 A（0，0），C（2，0），B（-2，），E（-2，0）（E 為過點 B 作 BE⊥CA 交 CA? 延長線于點 E），故點 A 為 EC 中點;又 AD∥BE，點 D 為 BC 中點，所以 D（0，），面積可求。通過構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，由點的坐標(biāo)求解。

〖小結(jié)〗這是高三“解斜三角形”專題復(fù)習(xí)選用的一個例題。通過一題多解教學(xué)，使學(xué)生的計算素養(yǎng)形成三個層面的提升：第一層面是運用正余弦定理求邊求角，應(yīng)用三角形的面積公式求面積。當(dāng)學(xué)生達到這個能力層面時，就可以順利完成解答題的第 1 問，也說明學(xué)生具備了基本的計算素養(yǎng)。第二層面是善于構(gòu)造直角三角形，或利用圖形的平面幾何特性（包括建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)或平面向量解題），培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理、直觀想象、選擇合理的計算路徑的能力。第三層面是能夠從數(shù)學(xué)模型的高度決定問題解決的方法?！白Α弊中问墙庑比切螌ｎ}中的典型模型。從數(shù)學(xué)模型的高度去解決問題，可以實現(xiàn)解題規(guī)劃性、程序性、準(zhǔn)確性的高度統(tǒng)一。從統(tǒng)整核心素養(yǎng)的培育角度看，這一道題綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。另外，此題中解法 4 直接用直觀想象、湊數(shù)的方法解決，體現(xiàn)了良好的“數(shù)感”，這可極大地減少計算量。這是非常好的教學(xué)素材，具有極高的教育價值。

二、用一個題席卷一個專題復(fù)習(xí)的核心內(nèi)容，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，幾何解題教學(xué)應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力。邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。推理論證能力考查的重點是運用邏輯推理的基本形式提出和論證命題、理解事物之間的關(guān)聯(lián)、把握知識框架的能力;會用類比、歸納和演繹進行推理，能合乎邏輯地、有條理地表達的思維品質(zhì)。

〖例 2〗（2019 年全國Ⅲ卷 19 題）圖 1 是由矩形 ABED，Rt△ABC 和菱形 BFGC 組成的一個平面圖形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°。將其沿 AB，BC 折起使得 BE 與 BF 重合，連結(jié) DG，如圖 2。

（1）證明：圖 2 中的 A，C，G，D 四點共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;

（2）求圖 2 中的二面角 B-CG-A 的大小。

〖試題分析〗

該題題設(shè)清晰，問法新穎，是翻折問題，注意翻折前后量的變化。第一問第一段證明 A，C，G，D 四點共面，有兩種方法。解法 1 轉(zhuǎn)化為由平行判定共面的問題，得 AD∥CG，則 A，C，G，D 四點共面。解法 2 轉(zhuǎn)化為向量相等，即 ，則ACGD 是平行四邊形，從而判定四點共面。第一問第二段證明平面 ABC⊥平面 BCGE，解決途徑較為單一，通過證明 AB⊥面 BCGE，從而證明平面 ABC⊥平面 BCGE，即由線線垂直得線面垂直，再得面面垂直。第二問求角，解決這一問題可以用傳統(tǒng)法或向量法，而坐標(biāo)原點選擇不一樣又產(chǎn)生多種解法。

〖解法評析〗

[解法 1]作垂線 EO⊥BC，垂足為 O，依題意判斷 O 為 BC 中點，由面面垂直得線面垂直 EO⊥面 ABC;或者因為△EBC 為等邊三角形，取 BC 中點為 O，亦可證得線面垂直。以點 O 為原點建坐標(biāo)系，下一個關(guān)鍵點是點 G 的坐標(biāo)，即 G（2，0，），面 ACGD 的法向量 （*），順利得解。

[解法 2]過點 B 作 BK⊥面 ABC，垂足為 B，則以點 B 為原點建坐標(biāo)系，得 G（3，0，），面 ACGD 的法向量與（*）同，得解。

[解法 3]將三棱柱補成平行六面體 ABCP-DEGQ，底面補成矩形，以點 P 為原點建坐標(biāo)系，則 G（-1，1，），面 ACGD 的法向量 ，得解。當(dāng)然，從理論上講還可以以點 A 為原點建坐標(biāo)系求解，但計算繁瑣，略去。

[解法 4]是傳統(tǒng)法，通過“作-證-求”將二面角（空間角）轉(zhuǎn)化為平面角，過點 D 作 DR⊥GC，R 為垂足，連接 ER，ER 是斜線 DR 在面 BCGE 上的射影，所以 GC⊥ER。在 Rt△DER 中，∠DRE 是二面角 B-CG-A 的平面角，在三角形中求解，簡便易算。

[解法 5]也是傳統(tǒng)法，因為面 BCGE 是面 ACGD 的射影平面，用圖形面積與其射影面積的關(guān)系求解，即設(shè)二面角 B-CG-A 的平面角為 θ，因為 SACGD·cosθ=SBCGE，所以 cosθ 易求得解。此法不需要作二面角的平面角，也是非常好的方法。

〖小結(jié)〗這是高三“空間幾何體的位置關(guān)系”專題復(fù)習(xí)選用的一個例題。本題的一題多解使學(xué)生在邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算三方面都有所提升。首先，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)在幾何學(xué)范疇得到較好的提升。其次，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)實現(xiàn)三個層次的提升。第一層次是空間線線、線面、面面之間平行關(guān)系的推理，平行關(guān)系最終回歸到平面關(guān)系。第二層次是空間線線、線面、面面之間垂直關(guān)系的推理，關(guān)鍵是相互之間的轉(zhuǎn)化和過渡。第三層次是傳統(tǒng)的“作—證—求”，將空間問題平面化，從定義出發(fā)進行推證，是典型的演繹推理過程，將邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的培育提升到較高的水平。同時，一題多解的教學(xué)方法幫助學(xué)生全面復(fù)習(xí)向量法、補形法、傳統(tǒng)法、射影法等，為學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系奠定堅實的基礎(chǔ)。最后，向量法中分別以點 O，B，P，A 為坐標(biāo)原點，通過比對，選擇計算量小，關(guān)系簡單的建坐標(biāo)系方法進行計算，是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培育的重要方向。特別的，當(dāng)點的坐標(biāo)求解困難時，可運用向量運算進行轉(zhuǎn)化。例如，，由此求出點 G 的坐標(biāo)。向量運算是高中數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培育的重要內(nèi)容，也是其他運算不能替代的重要內(nèi)容?？v觀整個解決問題的過程，此題包含了空間幾何體專題復(fù)習(xí)的幾乎全部核心知識點和主要方法。將知識糅合在一起，讓人體會到核心素養(yǎng)是一個有機整體，各素養(yǎng)之間高度融合、協(xié)調(diào)發(fā)展。這一題是考查學(xué)生綜合能力的良好素材。

三、用一個題總結(jié)一個專題復(fù)習(xí)的通性通法，提升學(xué)生的模型素養(yǎng)

2017 年版的課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心素養(yǎng)增加了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，指明未來高中數(shù)學(xué)教育前進的方向是致力于數(shù)學(xué)應(yīng)用與實踐，以此支撐其他學(xué)科領(lǐng)域的研究。數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題或事件進行的一種數(shù)學(xué)抽象，它用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題。它有三個階段：抽象→數(shù)學(xué)表達→ 建模（解決問題）。根據(jù)教學(xué)改革的實際，筆者認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生的模型素養(yǎng)是當(dāng)務(wù)之急，也是可行之策。即對已有的數(shù)學(xué)概念，能梳理其本質(zhì)屬性，總結(jié)通性通法，構(gòu)建模型，并解決此數(shù)學(xué)概念的相關(guān)問題。

〖例 3〗（2016 年高考天津卷·理科）已知 △ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點 D，E 分別是邊 AB，BC 的中點，連接 DE 并延長到點 F，使得 DE=2EF，則? ?的值為（? ?）

〖試題分析〗

該題是以特殊三角形為背景，考查平面向量相關(guān)知識的選擇題。從平面向量的基本概念出發(fā)，綜合考查平面向量的運算。問題直接設(shè)置為向量與向量的數(shù)量積，但平面向量的加、減，實數(shù)與向量的積，向量與向量的數(shù)量積四種運算都涉及，是一個精巧的小題。同時，本題也綜合考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

〖解法評析〗

[解法 1]依題意將? 進行分解，變?yōu)榭汕蟮臄?shù)量積 （向量保持乘法分配律），又 ，。此法為定義法。

[解法 2]設(shè)基底 ，

且 ，

將? 用基底線性表示

，

此法為基底法。

[解法 3]采用平面直角坐標(biāo)系解題。以點 E 為原點，EC 為 x 軸建坐標(biāo)系，則

。

此法為坐標(biāo)法。

〖小結(jié)〗這是高三“平面向量”專題復(fù)習(xí)選用的一個例題。本題的一題多解總結(jié)了平面向量問題的通性通法，即“分解—基底—坐標(biāo)化”。高中數(shù)學(xué)平面向量的知識內(nèi)容較少，但應(yīng)用廣泛，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，在各類考試中得分率低。究其原因是學(xué)生因為沒有抓住本質(zhì)。向量的本質(zhì)是一種運算，向量可以進行分解，其實質(zhì)是向量的加法和減法。但是分解后的相關(guān)運算可能會比較復(fù)雜，或者因為選擇多樣而產(chǎn)生障礙。由此可選擇一組不共線的向量構(gòu)成基底，在平面內(nèi)任意向量均能用這組基底進行線性表示。表示的過程也是分解的過程，不同的人分解路徑會不一樣，有多樣性，但結(jié)果是一樣的。另外，基底不同，當(dāng)然線性表示的結(jié)果也不同，但是問題最終的結(jié)果是固定的。例如本題的數(shù)量積，使用不同的基底， 的結(jié)果會不同，但是兩者的數(shù)量積是相同的都是答案 B。向量是一種運算，還體現(xiàn)在向量可以放到坐標(biāo)系中進行運算。向量有坐標(biāo)運算，實現(xiàn)了一個矢量與一組有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化。正是向量的多變性、多樣性、靈活性，使向量具有良好的模型化特點，即所有平面向量的問題，用“分解—基底—坐標(biāo)化”這七個字就能迎刃而解。因此，專題復(fù)習(xí)梳理通性通法是培養(yǎng)學(xué)生模型素養(yǎng)的重要途徑。如果附加上數(shù)學(xué)知識與實際問題的關(guān)聯(lián)，那么就完成了數(shù)學(xué)建模。向量在物理學(xué)中表示的是矢量，比如力，是否可以這樣認(rèn)為，學(xué)生解決力學(xué)問題，就是在進行數(shù)學(xué)建模，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

四、“專題復(fù)習(xí)+一題多解”教學(xué)的課堂實施策略

（一）以學(xué)生為主體的課堂是提升素養(yǎng)的重要保證

高三專題復(fù)習(xí)階段的一題多解教學(xué)要真正起作用，課堂 40 分鐘要由學(xué)生主講。因為此階段的學(xué)生具有迫切整合知識以使達到熟練應(yīng)用的學(xué)習(xí)目標(biāo)和較強的學(xué)習(xí)能力，所以“把課堂還給學(xué)生”既是教學(xué)理念，也是學(xué)習(xí)方法。學(xué)生通過課前充分準(zhǔn)備、課堂完美展現(xiàn)、課后領(lǐng)悟升華三個環(huán)節(jié)，至少能實現(xiàn)三個目標(biāo)：一是對概念、定理的理解更準(zhǔn)確、更深入;二是對數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和表達更成熟、更完善;三是對解決問題能力的培養(yǎng)更全面、更有效。眾所周知，解決問題需要統(tǒng)整核心素養(yǎng)，而統(tǒng)整的過程一定是內(nèi)化的過程，是反復(fù)琢磨直到清晰可見、熟練掌控的過程。這就需要教師搭建自主課堂的平臺，學(xué)生通過自主鉆研、積極分享、合作互助，使學(xué)科知識板塊化，使考綱考點明確化，實現(xiàn)學(xué)習(xí)自主化。學(xué)生通過專題復(fù)習(xí)，將概念、定理串成串，構(gòu)建知識體系;使通性通法成形，指導(dǎo)解題流程;使能力素養(yǎng)成長，提升思維程度。

（二）以真題為主的例題選擇是保證課堂效果的點睛之筆

一題多解的例題選擇要精挑細選，這樣才能使人回味無窮，因此寧缺毋濫。“多解”中的眾多方法應(yīng)該是源頭不同的，或思想方法不同的，或所屬知識板塊不同的。解法的多樣化一定立足于思維角度和方法，而不僅僅是形式上的多。在這方面可以選擇歷年高考真題，它有很好的教學(xué)價值。它重視考查學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用能力，統(tǒng)整數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合培養(yǎng)情況，強調(diào)數(shù)學(xué)閱讀與表達，考查典型問題的內(nèi)在價值和遷移功能，突出問題的靈活性、創(chuàng)新性，故而常常伴有“一題多解”。因此，筆者提倡一節(jié)專題復(fù)習(xí)課的例題一定要有高考真題。在課中，教師和學(xué)生都要從多個角度考慮解決問題的方法，理解并體會能力培養(yǎng)的過程，明確各素養(yǎng)整合的終極目標(biāo)。但也可以是真題的變形，通過轉(zhuǎn)變問題、條件、內(nèi)容、情境創(chuàng)設(shè)等要素，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)。這不僅能夠幫助學(xué)生解決高考試題，而且能夠使學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W科培養(yǎng)的高度，為進一步學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

（三）以變式鞏固為課后作業(yè)是素養(yǎng)養(yǎng)成的重要過程

一題多解的課堂內(nèi)容是豐富的、充實的，同時也是充滿挑戰(zhàn)的。如果要加深理解，夯實所學(xué)，那么教師就要通過課后變式鞏固來檢驗和落實。變式鞏固題的選擇可以遵循以下幾點：（1）形式類同，但內(nèi)容更廣或思維培養(yǎng)要求更高;（2）試題有梯度，是由易到難，層層深入;（3）緊扣主題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì);（4）題目少而精，解法多樣;（5）新穎有亮點，考驗學(xué)生眼光。筆者認(rèn)為，素養(yǎng)的養(yǎng)成過程一定是學(xué)生的自主探究和深入思考的過程，一定是在解決問題時各素養(yǎng)綜合作用形成合力的過程。因此在高考備考專題復(fù)習(xí)的階段，教師的智慧不是體現(xiàn)在講課方面，而是體現(xiàn)在選擇什么題目，也就是說，選擇用什么樣的問題拋給學(xué)生，然后留出足夠的時間和空間讓學(xué)生用于“悟”，引領(lǐng)學(xué)生走向“道”。

數(shù)學(xué)解題方法林林總總，在教學(xué)中介紹方法只是手段，目標(biāo)是指向素養(yǎng)的形成及能力的提高。筆者認(rèn)為，一題多解教學(xué)能促進學(xué)生養(yǎng)成思考、討論的習(xí)慣，是培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)謹(jǐn)性、多樣性、創(chuàng)新性的重要途徑。在高三專題復(fù)習(xí)的特定階段，自覺地“探尋變式研究”并在教學(xué)內(nèi)容上發(fā)展創(chuàng)新，樹立核心素養(yǎng)觀念，“為發(fā)展核心素養(yǎng)而教”。這應(yīng)是教師當(dāng)前復(fù)習(xí)教學(xué)的努力方向，也是能力和素養(yǎng)綜合提升的有效手段，是教育發(fā)展的正確方向。

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【基金項目】本文系廣西壯族自治區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題“基于大數(shù)據(jù)的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的策略研究”（編號：2019B140）的階段性成果。

（責(zé)編 盧建龍）