師生互動(dòng)交流探索解題的案例分析與感悟

陳鴻燕

[摘? 要] 教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該是教師與學(xué)生雙方都能積極參與、交往互動(dòng)并共同發(fā)展的過(guò)程. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出的緊追不舍的精神對(duì)于教師來(lái)說(shuō)是一種有力的觸動(dòng)，從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)看，教師與學(xué)生之間的這種解題探究與交流帶給學(xué)生的是無(wú)窮的動(dòng)力與成就感.

[關(guān)鍵詞] 師生互動(dòng);互動(dòng)交流;探究;解題

在日常教學(xué)中，一線(xiàn)教師特別注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的講授，常常認(rèn)為一定要把某一個(gè)知識(shí)或者某一道題目講清楚、透徹，就算完成了教學(xué)任務(wù). 但是筆者在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中常思考，學(xué)生遇到教師講過(guò)多次的題目，若在題型上稍微做一些變化，就無(wú)法順利解答，甚至無(wú)法理解題意，這個(gè)問(wèn)題的根源在何處？通過(guò)研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，從教的角度來(lái)說(shuō)，教師是完成了教學(xué)任務(wù)，但是從學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，教師完成教學(xué)目標(biāo)了嗎？所以在最近幾年的教學(xué)過(guò)程中，筆者經(jīng)常通過(guò)講透一道題目，然后進(jìn)行一系列的變式訓(xùn)練，再?lài)L試經(jīng)過(guò)師生互動(dòng)交流來(lái)探索解題背后的根源，在這個(gè)過(guò)程中逐步滲透核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 下面通過(guò)一個(gè)案例來(lái)闡釋筆者在日常教學(xué)中的做法.

問(wèn)題的開(kāi)始

題目1：如圖1，某海濱浴場(chǎng)的B點(diǎn)處有險(xiǎn)情，邊防巡邏隊(duì)在A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)了這一險(xiǎn)情并委派了三名救生員前去營(yíng)救，1號(hào)救生員迅速?gòu)腁點(diǎn)跳入海中，2號(hào)救生員迅速跑至C點(diǎn)并跳入海中，3號(hào)救生員迅速向前跑300米至D點(diǎn)后跳入海中. 若將海岸線(xiàn)看成直線(xiàn)，救生員跑速均為6米/秒，游泳速度為2米/秒. 如果∠BAD=45°，∠BCD=60°，三位救生員從A點(diǎn)出發(fā)的時(shí)間是一致的，誰(shuí)會(huì)先抵達(dá)點(diǎn)B處呢？（參考數(shù)據(jù) ≈1.4， ≈1.7

這是筆者在中考復(fù)習(xí)期間留給學(xué)生的一道課外練習(xí)，多數(shù)學(xué)生利用三角函數(shù)知識(shí)正確解決了此題.

解答：在△ABD中，因?yàn)椤螦=45°，∠D=90°，AD=300，所以AB= =300 ，BD=300. 所以BC= = =200 ，CD= = =100 .

1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)用時(shí)： =150 ≈210（秒）;

2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)用時(shí)： + =50+ ≈191.7（秒）;

3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)用時(shí)： + =200（秒）.

故2號(hào)救生員是最先到達(dá)B點(diǎn)的.

課后有學(xué)生提出以下困惑：計(jì)算可知2號(hào)救生員是最先到達(dá)B點(diǎn)的，但對(duì)這一結(jié)果卻難以理解. 假如救生員水上、水下的速度一樣，選擇在A點(diǎn)下水無(wú)疑是正確的，但現(xiàn)實(shí)情況是水上速度是水下速度的3倍，救生員就應(yīng)該在C點(diǎn)下水嗎？C點(diǎn)又是如何確定的呢？如果速度關(guān)系是2倍、4倍、5倍呢？下水點(diǎn)又應(yīng)該怎樣確定？

互動(dòng)交流，層層深入

筆者首先抽取了題2中的基本模型.

題2：如圖2，B是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，點(diǎn)D離點(diǎn)B最近，AD>BD. 若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)并沿AD方向到達(dá)點(diǎn)C，再沿CB方向到達(dá)點(diǎn)B，如果動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)AD上的速度是其在直線(xiàn)CB上速度的2倍，則點(diǎn)C應(yīng)在哪個(gè)位置，才能令該動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A至點(diǎn)B用時(shí)最少？

分析? 設(shè)該動(dòng)點(diǎn)在BC上的速度是v，則其在AC上的速度是2v. 所以用時(shí)為 + . 而 + = ，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求AD上一點(diǎn)，使BC+ 的值最小.

將“最短路徑”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成尋求“替代點(diǎn)”問(wèn)題是最常用的解題方法，此題中不僅要尋得點(diǎn)A的替代點(diǎn)，還要讓點(diǎn)C到它的距離一直是 ，構(gòu)造含30°角的直角三角形并使得AC是斜邊，則該替代點(diǎn)即為直角頂點(diǎn). 如圖3，當(dāng)∠DAM=30°時(shí)，不管C的位置，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AM，垂足為E，始終有CE= . 在圖3的AD上任意取C ，C ，C ，C ，并分別作C E ，C E ，C E ，C E ，連接BC ，BC ，BC ，BC 可知，只有當(dāng)B，C，E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，BC+CE=BC+ 的值最小.

學(xué)生在筆者講解“基本模型”的過(guò)程中豁然開(kāi)朗，筆者趕緊追問(wèn)：若動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)AD上的速度是在直線(xiàn)CB上速度的3倍，我們又應(yīng)該如何確定C點(diǎn)呢？筆者提出這一問(wèn)題意在檢驗(yàn)這兩位學(xué)生是否真的理解了.

生1：讓CE是AC的 即可.

師：怎么畫(huà)呢？

生2：關(guān)鍵在于∠DAM.

生1：假如速度是3倍，則只要讓 = 即可，而 =sin∠DAM，所以sin∠DAM= . 通過(guò)計(jì)算器的sin 即可求得∠DAM的度數(shù)，用量角器畫(huà)出該角并從B點(diǎn)向AM作垂線(xiàn)，與AD的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.

師：畫(huà)法其實(shí)還能簡(jiǎn)潔一點(diǎn)，如圖4，△BDC∽△AEC，因此作出圖中BD并在BD靠A點(diǎn)一側(cè)作出∠DBC，角的另一邊和AD的交點(diǎn)就是我們要求的點(diǎn)C.

生1：要用計(jì)算器與量角器才能作出這個(gè)點(diǎn)，尺規(guī)作圖能完成嗎？

生2：我們還是以3倍速度為例吧.

①任意作一射線(xiàn)PQ并以任意長(zhǎng)度作為單位，順次截取3個(gè)單位長(zhǎng)度可得線(xiàn)段PN;

②以PN為直徑作圓O;

③以N為圓心、一個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作弧并與圓O相交于點(diǎn)T，連接PT（如圖5）;

④如圖6，以BD為一邊作∠DBC=∠TPN，角的另一邊與AD相交于點(diǎn)C，即可求解.

作圖可知 = ，PN是直徑，因此∠TPN即為我們要求的角度. 速度的倍數(shù)不管是多少，運(yùn)用這一方法都能求出相應(yīng)的角度.

于是，筆者引導(dǎo)這兩位學(xué)生重新回到題目1的思考中，要求學(xué)生對(duì)點(diǎn)C是不是最佳下水點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證.

？搖? ？搖

學(xué)生給出的解答如下：

解：如圖7，將最佳下水點(diǎn)設(shè)作P，則根據(jù)之前的探索結(jié)果可得sin∠PBD= = ，設(shè)PD=x，則BP=3x，在Rt△BPD中，由勾股定理得BP2=PD2+BD2，即（3x）2=x2+3002，解得x=75 ，則AP=300-75 ，所用時(shí)間為 + ≈190秒.

由此可見(jiàn)，題1中，雖然2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)的用時(shí)最少，但其下水點(diǎn)C事實(shí)上并不是最佳下水點(diǎn)，根據(jù)計(jì)算可知，最佳下水點(diǎn)應(yīng)該是在距離D點(diǎn)75 米的位置，這時(shí)救生員抵達(dá)點(diǎn)B只需要用時(shí)190秒.

學(xué)生在這樣的解題“曲折”之中解除了原有的困惑，將問(wèn)題中的知識(shí)與方法也徹底弄清楚了，筆者也因此沉浸在解題探索的回味之中.

感悟

從問(wèn)題產(chǎn)生到最終的徹底解決，筆者實(shí)際上都是被動(dòng)的，學(xué)生屢次從問(wèn)題中追尋一般化規(guī)律的思考與探索將筆者置于相對(duì)被動(dòng)的位置，筆者在這樣的解題探索中，因?yàn)閷W(xué)生的追問(wèn)而思考和探索，作為數(shù)學(xué)教師，這實(shí)在不是一種積極的思維與態(tài)度，需要在今后的教學(xué)中不斷反思和改進(jìn).

事實(shí)上，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該是教師與學(xué)生雙方都能積極參與、交往互動(dòng)并共同發(fā)展的過(guò)程，新課程標(biāo)準(zhǔn)中的這一基本理念在上述的教學(xué)案例中也得到了生動(dòng)的體現(xiàn). 筆者深刻領(lǐng)會(huì)到其中內(nèi)涵的同時(shí)也不禁暗下決心，師生之間的相互追問(wèn)令問(wèn)題的討論直達(dá)其核心與本質(zhì)，這是一種值得提倡的教學(xué)方式. 學(xué)生的思考與學(xué)習(xí)遭遇困難之時(shí)，正是教師應(yīng)該伸出援手的時(shí)刻，同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出的緊追不舍的精神對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，也是一種更有力的觸動(dòng)，這是促進(jìn)教師對(duì)問(wèn)題研究展開(kāi)更深層次思考的一種動(dòng)力，是對(duì)教師知識(shí)技能發(fā)展、教學(xué)活動(dòng)認(rèn)知、專(zhuān)業(yè)技能提升的一種觸動(dòng).

從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)看，教師與學(xué)生之間的這種解題探究與交流帶給學(xué)生的是無(wú)窮的動(dòng)力與喜悅，學(xué)生在互動(dòng)探究的成就中頓感興致勃發(fā)，數(shù)學(xué)鉆研學(xué)習(xí)的積極性也因此得到很好的激發(fā)，這種積極性形成習(xí)慣的同時(shí)也令學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得不同的情感建設(shè)，數(shù)學(xué)精神也因此在其心中生根發(fā)芽.