不等式選講的題型特點(diǎn)及解題策略

廖靜

摘 要：不等式選講部分是高考的重要考點(diǎn)。通過(guò)分析近年來(lái)的高考習(xí)題可知，相關(guān)習(xí)題的難度不大，但仍有部分學(xué)生未能得全分。為保證學(xué)生在考試不失分，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐分析相關(guān)題型特點(diǎn)，講解相關(guān)解題策略，更好的提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：不等式;題型特點(diǎn);解題;策略

不等式選講部分相關(guān)習(xí)題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、定理、分類討論等知識(shí)，解題時(shí)需要注重考慮問(wèn)題的全面性。為給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)良好啟發(fā)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的針對(duì)性以及解答相關(guān)題型的能力與水平，應(yīng)注重優(yōu)選精講例題，使學(xué)生更好的掌握相關(guān)題型特點(diǎn)以及解題策略。

一、含絕對(duì)值不等式的解題策略

解含絕對(duì)值不等式是最為基本的題型，主要考查學(xué)生分類討論，靈活轉(zhuǎn)化能力。解答該題題型時(shí)應(yīng)注重不等式的恒等變形，并找到正確的討論邊界，做到討論的不重不漏。另外，應(yīng)具備靈活的頭腦，部分習(xí)題運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合法解題，可獲得事半功倍的解題效果，因此，解題時(shí)應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，避免思維定勢(shì)。

例1，已知函數(shù)f（x）=|2x+4|+|x-a|。

（1）若a<-2時(shí)，f（x）的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值;

（2）當(dāng)f（x）=|x+a+4|時(shí)，求x的取值范圍。

該題目屬于常規(guī)題型，難度并不大，解題時(shí)需要找到不同定義域下函數(shù)的正確表達(dá)式，并靈活應(yīng)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變形。對(duì)于問(wèn)題（1）可通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)其具體的表達(dá)式進(jìn)行分析。根據(jù)已知條件不難得出f（x）=|2x+4|+|x-a|=。當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得最小值1，即，f（-2）=-a-2=1，解得a=-3。問(wèn)題（2）中f（x）=|2x+4|+|x-a|≥|（2x+4）-（x-a）|=|x+a+4|。只有當(dāng)（2x+4）（x-a）≤0時(shí)等號(hào)成立，則當(dāng)a<-2時(shí)，x的取值范圍為{x|a≤x≤-2};當(dāng)a=-2時(shí)，x的取值范圍為{x|x=-2};a>-2時(shí)，x的取值范圍為{x|-2≤x≤a}。

二、含絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題的解題策略

含絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題是高考中的熱門題型。該類題型常轉(zhuǎn)化為求不等式的最值問(wèn)題。解答該類習(xí)題時(shí)應(yīng)牢記含絕對(duì)值不等式的定理，并深入理解其本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用，尤其注重等號(hào)成立的條件。另外，注重正確應(yīng)用恒成立結(jié)論，避免與存在性問(wèn)題混淆在一起，如f（x）>a恒成立等價(jià)于f（x）min>a;而f（x）>a有解等價(jià)于f（x）max>a。

例2，已知函數(shù)f（x）=|x|+|x+1|。

（1）若對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）≥λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

（2）若存在m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

兩個(gè)問(wèn)題一個(gè)是恒成立問(wèn)題，一個(gè)是存在性問(wèn)題，搞清楚兩者的區(qū)別是正確解題的基礎(chǔ)。問(wèn)題（1）較為簡(jiǎn)單，只需求出f（x）的最小值，只要λ≤f（x）min即可?！遞（x）=|x|+|x+1|≥|x-（x+1）|=1，因此，λ的取值范圍為（-∞，1]。對(duì)于問(wèn)題（2）由題干可知f（t）=要想滿足題意，對(duì)于m2+2m+f（t）=0，Δ=4-4f（t）≥0，即，f（t）≤1，即，，或，或，解得-1≤t≤0，因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-1，0]。

三、不等式證明題的解題策略

不等式證明習(xí)題給出的已知條件不多，題干較為簡(jiǎn)潔，但卻比較抽象，?？疾閷W(xué)生靈活應(yīng)用基本不等式性質(zhì)、定理的能力。解答該類習(xí)題時(shí)應(yīng)明確常用的證明思路，如作差、作商，運(yùn)用基本不等式等，尤其應(yīng)用基本不等式時(shí)應(yīng)注重相關(guān)的變形公式，明確不等式取等號(hào)時(shí)滿足的條件。同時(shí)，還應(yīng)充分利用題干給出的已知條件，進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，以實(shí)現(xiàn)順利求解。

例3，已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1。證明：

（1）≤a2+b2+c2;（2）（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥24

該題目為2019年全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)中的題目。題目難度并不大，學(xué)生只要能夠熟練應(yīng)用基本不等式知識(shí)都能得全分。問(wèn)題（1）應(yīng)用完全平方式進(jìn)行證明，即，∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，即，a2+b2+c2≥ab+bc+ac，又∵abc=1，則ab+bc+ac=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立，即，≤a2+b2+c2;對(duì)于問(wèn)題（2）由（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥3=3（a+b）（b+c）（a+c）≥3×（2）×（2）×（2）=24abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào)，又∵abc=1，∴（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥24。

四、總結(jié)

總體來(lái)看，不等式選講部分的題型難度并不大，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力，因此，教學(xué)中應(yīng)抓住這一特點(diǎn)，為學(xué)生深入細(xì)致的講解不等式的性質(zhì)、相關(guān)定理，使其牢固記憶，深入理解。同時(shí)，還應(yīng)結(jié)合具體例題為學(xué)生講解相關(guān)解題策略，并鼓勵(lì)學(xué)生在聯(lián)系中多進(jìn)行總結(jié)，積累不同題型的解題經(jīng)驗(yàn)與技巧，進(jìn)一步提高解題效率。

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