高中數(shù)學(xué)解題方法及技巧探究

馬長青

摘 要：新課改視域下，高中數(shù)學(xué)教師重視培養(yǎng)學(xué)生思考能力和解題能力，這對(duì)高中生全面發(fā)展、數(shù)學(xué)教學(xué)工作優(yōu)質(zhì)開展有積極影響.現(xiàn)下，高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較復(fù)雜，這在一定程度上對(duì)數(shù)學(xué)解題技巧及方法提出了較高要求.要想準(zhǔn)確、快速求解，并獲得理想的數(shù)學(xué)成績，應(yīng)深入探究數(shù)學(xué)解題技巧及實(shí)用性方法.希望該論題能為高中數(shù)學(xué)教師在解題方面提供思路，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)個(gè)性化人才培養(yǎng)、素質(zhì)教育改革深化的目標(biāo).

關(guān)鍵詞：高中;數(shù)學(xué);解題方法;解題技巧

高中數(shù)學(xué)學(xué)科的理論性較強(qiáng)，對(duì)于高中生來講，應(yīng)不斷提升自身邏輯思維能力，以便靈活解答各類題型，進(jìn)而順利完成高中階段教與學(xué)目標(biāo).要想真正鍛煉數(shù)學(xué)綜合能力，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際探索解題方法及技巧是極為必要的.下面筆者結(jié)合相關(guān)理論及數(shù)學(xué)實(shí)例予以探究，探究內(nèi)容如下.

一、高中數(shù)學(xué)題難點(diǎn)分析

受應(yīng)試教育理念影響，高中師生的獨(dú)立思考能力逐漸弱化.然而，數(shù)學(xué)題的出題思維日益新穎化，對(duì)于解題者來說，應(yīng)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并結(jié)合自身情況，探索適合的解題技巧.下文從學(xué)生角度和教師角度分析數(shù)學(xué)難題.

1.學(xué)生方面

部分高中生運(yùn)用初中階段的定勢(shì)思維來解答問題，實(shí)則，問題解答環(huán)節(jié)存在重重阻力，長此以往，只有極個(gè)別高中生能夠迎難而上，這對(duì)學(xué)生解題自信心樹立、解題效率提高有不利影響.究其原因，初、高中數(shù)學(xué)的解題思維存在差異，相對(duì)來說，高中數(shù)學(xué)題的解答注重知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，且答題者的靈活思維能力被提出了較高要求.若高中生未能意識(shí)到這一點(diǎn)，極易遇到解題阻力.

2.教師方面

高中教師以集體授課方式傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)際教學(xué)中，教師既要備學(xué)情，又要備教材，加之，高中教學(xué)時(shí)間緊湊、教學(xué)任務(wù)繁重，大多數(shù)教師為完成上級(jí)規(guī)定的教學(xué)任務(wù)，往往以題海戰(zhàn)術(shù)的方式鍛煉學(xué)生答題能力.殊不知，這對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力提升、鉆研意識(shí)培養(yǎng)有不利影響，最為關(guān)鍵的是，數(shù)學(xué)教師的審題水平及引導(dǎo)能力會(huì)逐漸降低.

二、高中數(shù)學(xué)審題技巧

數(shù)學(xué)題解答的前提，是認(rèn)真審題，基于審題環(huán)節(jié)獲知顯性條件和隱性條件，這在一定程度上影響解題速度和求解準(zhǔn)確性.下文通過理論與實(shí)例結(jié)合的方式分析審題技巧，以便為高中生提供思路.

1.題干條件分析

題干信息內(nèi)容為數(shù)學(xué)題解答提供方向，要想順利完成解題目標(biāo)，解題主體應(yīng)全面掌握已知條件、細(xì)致分析潛在條件，必要情況下，通過條件轉(zhuǎn)換來簡化解題程序，進(jìn)而在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確求解.

例如，已知m2+（t-2）m+t-1=0的兩個(gè)根為m1和m2，而點(diǎn)M（m1，m2）在圓m2+q2=4上，求t值.

題干分析 閱讀題干獲知已知信息，因M在圓m2+q2=4上，意味著M坐標(biāo)適用于圓m2+q2=4這一方程;m1和m2為方程兩個(gè)根，言外之意，m21+（t-2）m1+t-1=0，m22+（t-2）m2+t-1=0.基于顯性條件無法求解，要想實(shí)現(xiàn)求解目標(biāo)，應(yīng)深層次挖掘隱性條件.

2.關(guān)聯(lián)性分析

縱使獲知題干顯性條件，但求解過程仍存在一定阻力，在此期間，應(yīng)針對(duì)已知條件和求解目標(biāo)關(guān)聯(lián)式分析，以期獲得解題關(guān)鍵點(diǎn).需注意的是，解題主體應(yīng)具備推理意識(shí)和反思意識(shí)，同時(shí)，借助草圖勾勒、運(yùn)算分析等方法探索解題突破口，使復(fù)雜問題簡單化.

仍以上述例題為例，已知m2+（t-2）m+t-1=0為一元二次方程式，關(guān)聯(lián)式分析時(shí)，引入拋物線f（m）=m2+（t-2）m+t-1，方程兩根m1、m2即拋物線與橫軸交點(diǎn)，分別為（m1，0）和（m2，0）.基于拋物線的性質(zhì)，（m1，0）和（m2，0）呈軸對(duì)稱分布，獲知m1+m2=2-t，基于上述已知條件，能夠順勢(shì)求解.

3.梳理解題思路

數(shù)學(xué)題解答的過程中，高中生應(yīng)分析題干條件、求解目標(biāo)等內(nèi)容間的聯(lián)系，實(shí)則，即數(shù)學(xué)定理、定義、性質(zhì)在其中靈活運(yùn)用的過程.對(duì)此，應(yīng)梳理解題思路，將理論內(nèi)容與求解要素相匹配，以便實(shí)現(xiàn)多條件求解目標(biāo).

如上述例題所示，在解題思路的正確引導(dǎo)下，逐步獲知m21+（t-2）m1+t-1=0、m22+（t-2）m2+t-1=0、m1+m2=2-t等條件，最后通過三元二次方程組求得t值.

同一數(shù)學(xué)題的解題方法有多種，但解題的前提，即掌握審題技巧，這能為后期數(shù)學(xué)題順利解答助力.下文詳盡分析數(shù)學(xué)題解答的有效方法，希望能為高中生提供幫助.

三、高中數(shù)學(xué)解題方法

1.轉(zhuǎn)化法

轉(zhuǎn)化法又被稱為轉(zhuǎn)換法，通過轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)思維、拓展題干分析思路來獲知解題對(duì)策.該方法實(shí)踐的過程，即復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)簡單化、抽象知識(shí)點(diǎn)具體化的過程.對(duì)于解題主體——高中生來說，能夠樹立解題自信心，并從中感受解題樂趣，最終數(shù)學(xué)題能夠順利解答.

例如，函數(shù)H=Bx2-x-B（B>0，B≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，求B取值范圍.

解析 數(shù)學(xué)解題思想轉(zhuǎn)變后，可知解題切入點(diǎn)為零點(diǎn)定義、區(qū)間、意義等.應(yīng)用轉(zhuǎn)化法將這一函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)，即H=Bx2（B>0，B≠1）;H=x+B.畫圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)數(shù)量為一個(gè)，對(duì)應(yīng)的區(qū)間即01，這符合題干立意.

又如，3m+4n+P=0和（m=1+cosθ，n=-2+sinθ），二者無公共點(diǎn)，求參數(shù)P取值范圍.

解析 根據(jù)題干信息進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，即4sinθ+3cosθ=5-P，由于直線與圓無交點(diǎn)，且15≤4sinθ+3cosθ≤5，求得，P>10或P<0.

2.反證法

反證法在數(shù)學(xué)題解答中較常用，即在逆向思維的輔助下推理式分析，最終證實(shí)結(jié)論與數(shù)學(xué)定理、定義相背離，間接得知原始命題的合理性.對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說，慣用正向思維來求解，實(shí)際上，正向推理分析法并不適用于所有數(shù)學(xué)題的求解，相反，反向推理分析法能夠挖掘潛條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)求解目的.

例如，某高校二年級(jí)630人，針對(duì)每位學(xué)生的課余時(shí)間利用情況調(diào)查分析，通過抽取年級(jí)段30%學(xué)生予以調(diào)查.其中，顯性條件即年級(jí)人數(shù)和百分比，得知，調(diào)查學(xué)生數(shù)量為189人.若命題不成立，需假設(shè)推理，直到獲知與原題存在出入之處，憑借對(duì)比依據(jù)來求解.

又如，已知A≠0，證方程Ax=B僅一個(gè)根.

解析 應(yīng)用反證法對(duì)其闡述，假設(shè)Ax+B=0（A≠0）根數(shù)量最少為兩個(gè)，設(shè)根分別為P和Q，且P≠Q(mào)，故而，AP=B，AQ=B，AP=AQ，即A（P-Q）=0.由于P≠Q(mào)，意味著P-Q≠0，等式成立的前提條件，即A=0，這與題干A≠0這一條件相矛盾，即假設(shè)不成立，因此，Ax=B僅一個(gè)根.

3.換元法

高中數(shù)學(xué)題多以整式形式呈現(xiàn)，如果學(xué)生僅從整式入手，這不僅會(huì)浪費(fèi)解題時(shí)間，且求解結(jié)果的準(zhǔn)確性得不到保證.解答此類數(shù)學(xué)題時(shí)，運(yùn)用換元法來求解是極為必要的，即通過變量替換來整合表達(dá)式，最后通過求解替換變量來實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

例如，實(shí)數(shù)m、n滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)K=x2+y2，求代數(shù)式1Kmax+1Kmin的值.

解析 為實(shí)現(xiàn)整式優(yōu)化目的，憑借換元法完成K=x2+y2的替換.在此期間，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)輔助求解，因sin2a+cos2a=1，將其替換題干x值和y值，最后通過整式代入求得x=ksina，y=kcosa，最后代入4x2-5xy+4y2=5這一方程，根據(jù)三角函數(shù)值域-1，1求值.

換元法的解題實(shí)用性較強(qiáng)，對(duì)此，高中生應(yīng)掌握換元法應(yīng)用技巧，以此提高解題效率.這對(duì)日后數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和習(xí)題解答能夠起到基礎(chǔ)鋪墊作用，最終保證求解準(zhǔn)確性和全面性.

4.討論法

討論法在數(shù)學(xué)題解答中較常用，這一方法應(yīng)用的過程，即高中生思維能力鍛煉、全局意識(shí)培養(yǎng)的過程.分類討論法應(yīng)用期間，遵循對(duì)象確定→擬定分類標(biāo)準(zhǔn)→討論分析→獲知討論結(jié)果.

例如，假設(shè)集合M={a∈P|a2+4a=0}，集合N={a∈P|a2+2（t+1）a+t2-1=0，t∈P}，若集合N包含于集合M，求實(shí)數(shù)t的范圍.

解析 已知集合M={0，-4}，且集合N包含于集合M，情況一，當(dāng)M=N時(shí)，N={0，-4}，即-2（t+1）=-4，t2-1=0，得出t=1.當(dāng)N≠M(fèi)時(shí)，N同樣分為兩種情況，分析如下：

當(dāng)N=時(shí)，Δ=4（t+1）2-4（t2-1）<0，得出t<-1.

當(dāng)N≠時(shí)，即N={0}或者是N={-4}.

當(dāng)a=0時(shí)，t=±1，而當(dāng)a=-4時(shí)，t=7或者是t=1，由于Δ=4（t+1）2-4（t2-1）=0，故而，t=-1.

可知，實(shí)數(shù)t的取值范圍是t=1或者t≤-1.

5.特值法

特值法用于解答高中數(shù)學(xué)題，既能節(jié)省大量的解題時(shí)間，又能全面把控求解誤差.下文進(jìn)行實(shí)例分析，以期了解特值法的應(yīng)用價(jià)值.

例如，等差數(shù)列{an}，它的前m項(xiàng)之和等于30，前2m項(xiàng)之和等于100，求前3m項(xiàng)之和.

解析 假設(shè)m=1，等差數(shù)列的前m項(xiàng)之和、前2m項(xiàng)之和分別為S1=30，S2=100.第一段P1=S1=30，第二段P2=S2-S1=70，段公差D=P2-P1=40，則第三段P3=P2+D=110.那么前3m項(xiàng)之和等于P1+P2+P3=30+70+110=210.

6.排除法

應(yīng)用排除法進(jìn)行數(shù)學(xué)題求解時(shí)，往往通過選項(xiàng)排除的方式來尋找正確答案，可見，該方法在選擇題型中較常用.

例如，不等式mn2+2mn-4<2n2+4n恒成立，則m的范圍是（）.

解析 當(dāng)m=2時(shí)，則-4<0，這與題目立意一致，故而，A選項(xiàng)和B選項(xiàng)排除.當(dāng)m=-2時(shí)，則（m+1）2≥0，不恒成立，此時(shí)排除選項(xiàng)C，最終正確答案為D.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)題解答的過程中，應(yīng)掌握審題技巧，并合理運(yùn)用解題方法，這既能提高解題效率，又能保證求解的準(zhǔn)確性.可見，本文通過理論與實(shí)例結(jié)合的方式進(jìn)行論題探究，這能為數(shù)學(xué)教學(xué)者以及高中生提供參考，確保數(shù)學(xué)解題任務(wù)順利完成.

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[責(zé)任編輯：李 璟]