基于最優(yōu)控制理論的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)定價(jià)模型

亢男 蔣煒

摘 要： 車(chē)險(xiǎn)市場(chǎng)長(zhǎng)期受到道德風(fēng)險(xiǎn)與逆向選擇的困擾。車(chē)載數(shù)據(jù)采集裝置可以收集大量有關(guān)駕駛員駕駛行為與風(fēng)險(xiǎn)因素的信息，保險(xiǎn)公司可基于駕駛行為與風(fēng)險(xiǎn)因子設(shè)定動(dòng)態(tài)保費(fèi)，從而緩解道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。同時(shí)，保險(xiǎn)公司可根據(jù)觀察到的風(fēng)險(xiǎn)因子減輕逆向選擇問(wèn)題。利用最優(yōu)控制理論分析車(chē)聯(lián)網(wǎng)背景下駕駛員與保險(xiǎn)公司的最優(yōu)決策，研究發(fā)現(xiàn)相比于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品，車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)能夠在提高保險(xiǎn)受益的情況下獲取更大的市場(chǎng)份額，并有效誘導(dǎo)不同類(lèi)型的投保駕駛員謹(jǐn)慎駕駛，從而提高社會(huì)交通安全福利。

關(guān)鍵詞： 車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn);道德風(fēng)險(xiǎn);逆向選擇;最優(yōu)控制;合同設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)： F 224.11 ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Abstract： Vehicle insurance market has been chronically plagued by moral hazard and adverse selection problems. Vehicle-implemented devices can collect massive data containing information revealing driving behavior and risk factors， thus allowing firms to dynamically set premium based on information acquired and alleviate both the moral hazard and adverse selection problems. In this paper， an optimal control approach is proposed to analyze optimal decisions for both drivers and firms under Internet of Things setting. Analysis shows that vehicle insurances based on Internet of Things can cover a larger market share and therefore guarantee higher profit in comparison to traditional vehicle insurances. In addition， Internet of Things vehicle insurances can induce drivers of different types to exert efforts at efficient levels and therefore raise the social traffic safety.

Key words： internet of things vehicle insurance; moral hazard; adverse selection; optimal control; contract design

截至2019年6月15日，我國(guó)的民用汽車(chē)保有量已達(dá)3.35億輛，位居世界第一名。作為占比非壽險(xiǎn)保費(fèi)收入85%的車(chē)險(xiǎn)業(yè)務(wù)，其盈利狀況直接影響著保險(xiǎn)公司財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的盈利狀況。在車(chē)險(xiǎn)市場(chǎng)中，許多因素（如駕駛員年齡、職業(yè)、工作或家庭住址、已行駛里程等）會(huì)對(duì)事故發(fā)生概率產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響保險(xiǎn)公司的收益。然而，當(dāng)駕駛員出險(xiǎn)時(shí)，保險(xiǎn)公司往往難以獲取駕駛員的駕駛水平與習(xí)慣、駕駛時(shí)間、駕駛地點(diǎn)等隱藏風(fēng)險(xiǎn)因素。保險(xiǎn)公司與駕駛員之間的信息不對(duì)稱(chēng)引入了道德風(fēng)險(xiǎn)與逆向選擇兩大問(wèn)題。

道德風(fēng)險(xiǎn)是指保險(xiǎn)合同簽訂后，由于存在信息不對(duì)稱(chēng)，被保險(xiǎn)方在追求自身利益最大化的過(guò)程中損害保險(xiǎn)方利益的行為方式。例如駕駛員在與保險(xiǎn)公司簽訂合同后，由于保險(xiǎn)公司難以實(shí)時(shí)監(jiān)控駕駛員的駕駛行為，駕駛員便存在不謹(jǐn)慎駕駛的行為動(dòng)機(jī)，從而導(dǎo)致事故概率的提升。

逆向選擇源于保險(xiǎn)商在無(wú)法觀測(cè)到用戶(hù)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型的情況下難以對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行精確分割的問(wèn)題。由于保險(xiǎn)商難以確定用戶(hù)的真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)與安全駕駛所需付出的努力，其在設(shè)定保費(fèi)時(shí)往往只能參考市場(chǎng)平均風(fēng)險(xiǎn)水平進(jìn)行均一化定價(jià)。這時(shí)，由于風(fēng)險(xiǎn)水平低于市場(chǎng)均值的駕駛員更傾向于不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司通常僅能與風(fēng)險(xiǎn)較高的駕駛員簽訂保險(xiǎn)合同。

在市場(chǎng)存在逆向選擇的情況下，保險(xiǎn)合同難以覆蓋整個(gè)市場(chǎng)，同時(shí)由于道德風(fēng)險(xiǎn)與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的存在，保險(xiǎn)公司面臨一種兩難困境：提高保費(fèi)會(huì)造成部分客戶(hù)流失，而降低保費(fèi)會(huì)使得盈利收入難以彌補(bǔ)出險(xiǎn)費(fèi)用支出，進(jìn)而造成企業(yè)虧損。2018年，我國(guó)共有55家保險(xiǎn)企業(yè)的車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品承保規(guī)模過(guò)億元，合計(jì)車(chē)險(xiǎn)保費(fèi)達(dá)到7799億元，然而55家企業(yè)中僅有14家實(shí)現(xiàn)盈利，市場(chǎng)凈承保利潤(rùn)僅為24.2億元。如何緩解車(chē)險(xiǎn)市場(chǎng)中嚴(yán)重的信息不對(duì)稱(chēng)，從而提高資源配置效率與社會(huì)福利，成了保險(xiǎn)領(lǐng)域亟待解決的一大難題。

隨著物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，新興的車(chē)載傳感器設(shè)備使得保險(xiǎn)公司實(shí)時(shí)采集投保駕駛員的駕駛信息成為可能。例如美國(guó)的州立農(nóng)場(chǎng)（State Farm）保險(xiǎn)公司于2011年率先開(kāi)展“InDrive”車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)項(xiàng)目。參與項(xiàng)目的投保人在同意裝載車(chē)載設(shè)備后，保險(xiǎn)公司能夠?qū)崟r(shí)采集用戶(hù)的駕駛行為與習(xí)慣，從而對(duì)其駕駛風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行推斷。若用戶(hù)的駕駛行為顯示其為低風(fēng)險(xiǎn)用戶(hù)，便可獲得一定的保費(fèi)折扣。隨著我國(guó)商業(yè)車(chē)險(xiǎn)費(fèi)率逐步放開(kāi)，平安財(cái)險(xiǎn)、人保財(cái)險(xiǎn)等企業(yè)也在部分省份開(kāi)展了車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)實(shí)踐。

本文在車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)的設(shè)定下基于最優(yōu)控制理論搭建了駕駛員策略行為的理論框架，分析了不同類(lèi)型的駕駛員在駕駛過(guò)程中的不同策略與現(xiàn)行傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)在定價(jià)時(shí)面臨的兩難問(wèn)題。進(jìn)一步，本文基于車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)產(chǎn)品對(duì)信息不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的削弱提出了一種保險(xiǎn)公司基于其觀測(cè)到的駕駛員動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)信息對(duì)駕駛員進(jìn)行動(dòng)態(tài)返利的新型定價(jià)策略。結(jié)果表明，車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)產(chǎn)品相較于傳統(tǒng)保險(xiǎn)產(chǎn)品能夠捕捉到更大的市場(chǎng)份額，從而提高保險(xiǎn)公司的盈利能力。

1 文獻(xiàn)綜述

道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題由Arrow于1963年在醫(yī)療保險(xiǎn)領(lǐng)域提出，并指出道德風(fēng)險(xiǎn)是投保人受到保障后前后行為不一致的傾向。Arrow指出，對(duì)損失的不完全承保是緩解道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)企業(yè)利潤(rùn)負(fù)面影響的解決途徑。之后，一系列實(shí)證文獻(xiàn)如Cohen檢驗(yàn)了駕駛員風(fēng)險(xiǎn)與其所選擇保額之間的正相關(guān)性，即選擇保額更高的駕駛員具有更高的出險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而證明了車(chē)輛保險(xiǎn)市場(chǎng)中道德風(fēng)險(xiǎn)的存在。我國(guó)學(xué)者趙萍在研究車(chē)險(xiǎn)市場(chǎng)中的雙重道德風(fēng)險(xiǎn)后指出保險(xiǎn)公司只有加大審核力度與合同約束規(guī)范，才可對(duì)道德風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率進(jìn)行約束，但此類(lèi)約束措施并不會(huì)使保險(xiǎn)公司的利益得到提升。對(duì)于當(dāng)前保險(xiǎn)公司普遍采用的成本共擔(dān)模式（如對(duì)保費(fèi)設(shè)置免賠額與部分賠償?shù)龋珻handra等人的研究表明此類(lèi)成本分擔(dān)模式對(duì)保險(xiǎn)公司的盈利提升效果十分有限。

逆向選擇問(wèn)題由Akerlof、Rothschild與Stiglitz提出，指出了由于雙邊信息不對(duì)稱(chēng)的存在，保險(xiǎn)公司難以區(qū)分投保者的異質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)水平從而導(dǎo)致的市場(chǎng)低效率問(wèn)題。我國(guó)學(xué)者張歡采用ASI分析法對(duì)社會(huì)保險(xiǎn)中存在的逆向選擇問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)證研究。在車(chē)輛保險(xiǎn)領(lǐng)域，Puelz與王珺等人利用實(shí)證分析方法驗(yàn)證了車(chē)險(xiǎn)市場(chǎng)中存在逆向選擇問(wèn)題。為應(yīng)對(duì)逆向選擇問(wèn)題，保險(xiǎn)公司往往會(huì)依據(jù)駕駛員的個(gè)人資料（如性別、年齡、職業(yè)等）與歷史交通安全記錄對(duì)駕駛員進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)畫(huà)像與個(gè)性化保費(fèi)調(diào)整，但Desyllas等人在2013年的實(shí)證研究中指出，此類(lèi)個(gè)人信息與駕駛員事故概率相關(guān)性并不顯著。

隨著物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，保險(xiǎn)公司可以通過(guò)保險(xiǎn)協(xié)議約定在投保者汽車(chē)中安裝一些智能車(chē)載設(shè)備，從而實(shí)時(shí)捕捉保險(xiǎn)存續(xù)期內(nèi)駕駛員的駕駛行為特征（如急剎車(chē)、急轉(zhuǎn)彎、超速行駛等）與駕駛習(xí)慣（如高頻活動(dòng)區(qū)域、駕駛時(shí)間等），這大大降低了保險(xiǎn)雙方的信息不對(duì)稱(chēng)性。目前已有一系列文獻(xiàn)對(duì)駕駛行為與駕駛風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證研究，如Paefgne等人的研究表明實(shí)際駕駛里程與事故風(fēng)險(xiǎn)之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系，而Soleymanian等人的研究結(jié)果表明急剎車(chē)等危險(xiǎn)駕駛行為頻率的降低能夠顯著降低事故風(fēng)險(xiǎn)。我國(guó)學(xué)者高光遠(yuǎn)等人基于廣義可加模型與核估計(jì)方法從駕駛員的駕駛行為中提取了費(fèi)率厘定因子，并通過(guò)實(shí)證研究手段驗(yàn)證了基于駕駛行為的費(fèi)率因子對(duì)事故率的顯著影響。在車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)定價(jià)方面，劉蕙在5G通信的背景下對(duì)未來(lái)車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)的費(fèi)率厘定和產(chǎn)品設(shè)計(jì)進(jìn)行了展望。盡管現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)駕駛風(fēng)險(xiǎn)行為與出險(xiǎn)頻率的相關(guān)性進(jìn)行了實(shí)證研究，但在車(chē)聯(lián)網(wǎng)背景下的市場(chǎng)刻畫(huà)與保險(xiǎn)定價(jià)機(jī)制仍然有待研究。本文在物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)介入車(chē)輛保險(xiǎn)的背景下，基于最優(yōu)控制理論分析了駕駛員的理性決策行為，并以此為依據(jù)設(shè)計(jì)了一種在保險(xiǎn)存續(xù)期內(nèi)對(duì)購(gòu)保者進(jìn)行動(dòng)態(tài)返利的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同。分析結(jié)果表明，這種新型的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同能夠在獲取更大市場(chǎng)份額的基礎(chǔ)上提升保險(xiǎn)公司利潤(rùn)，并有效引導(dǎo)全部投保者對(duì)自身駕駛行為進(jìn)行控制，從而減少道路交通安全隱患。

2 被保險(xiǎn)方?jīng)Q策模型

本章利用最優(yōu)控制方法將策略型被保險(xiǎn)方（車(chē)險(xiǎn)背景下即投保駕駛員）在一段時(shí)期[0，T]內(nèi)的決策過(guò)程建模為連續(xù)時(shí)間下的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，策略型駕駛員會(huì)動(dòng)態(tài)地對(duì)謹(jǐn)慎駕駛成本與駕駛風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行權(quán)衡并選擇施加最優(yōu)控制。通過(guò)求解該優(yōu)化問(wèn)題，可以得到不同類(lèi)型的被保險(xiǎn)方所持有的保留價(jià)格。

2.1 模型假設(shè)

假設(shè)1：出險(xiǎn)事件服從一速率為λ（t）的非齊次泊松過(guò)程，在初始時(shí)刻駕駛員的出險(xiǎn)速率為λi。為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)駕駛員單次出險(xiǎn)的貨幣損失期望值為一常數(shù)D。

解釋?zhuān)河捎诔鲭U(xiǎn)事件為一計(jì)數(shù)過(guò)程，其速率受到駕駛員謹(jǐn)慎駕駛等因素的影響，參照Gallego等人的模型設(shè)定，將其建模為非齊次泊松過(guò)程。

假設(shè)2：駕駛員的效用函數(shù)由兩部分構(gòu)成：由出險(xiǎn)或購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)帶來(lái)的貨幣支出Cm與謹(jǐn)慎駕駛所引入的控制成本Cu。施加u單位的控制所引入的控制成本為Cu=12 ku2，其中k為控制邊際成本系數(shù)。

解釋?zhuān)厚{駛員對(duì)謹(jǐn)慎駕駛所做出的控制存在成本，本文遵循Basu與Rao等人的模型設(shè)定，將其建模為二次函數(shù)形式。在此設(shè)定下，駕駛員謹(jǐn)慎駕駛引入的邊際成本隨著控制力度的增加遞增。

假設(shè)3：駕駛員對(duì)于出險(xiǎn)造成的經(jīng)濟(jì)損失是損失厭惡的，即對(duì)于無(wú)保險(xiǎn)情形Cam=γCm，其中γ>1為駕駛員的損失厭惡系數(shù)。

解釋?zhuān)篔indal等人的研究顯示保險(xiǎn)領(lǐng)域中被保險(xiǎn)人的損失厭惡現(xiàn)象普遍存在，考慮到事故會(huì)為駕駛員帶來(lái)除金錢(qián)損失之外的負(fù)效用，本文遵循Wang等人的設(shè)定，對(duì)事故引入的損失添加損失厭惡系數(shù)。

假設(shè)4：駕駛員的駕駛風(fēng)險(xiǎn)λ（t）與其所施加控制u滿(mǎn)足微分方程：dλ=-u（λ-λ）dt，其中λ為事故風(fēng)險(xiǎn)下限。

解釋?zhuān)焊鶕?jù)Taniguchi等人的研究，駕駛風(fēng)險(xiǎn)與駕駛員所施加控制存在負(fù)反饋關(guān)系，且控制力度越大，駕駛風(fēng)險(xiǎn)下降越顯著，因此我們將出險(xiǎn)速率與控制力度之間在連續(xù)時(shí)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)關(guān)系建模為以上的微分方程結(jié)構(gòu)。考慮到駕駛過(guò)程會(huì)引入駕駛行為無(wú)法控制的外部風(fēng)險(xiǎn)因素，此處設(shè)置λ為事故風(fēng)險(xiǎn)下限，表示社會(huì)行車(chē)事故率的最小值。

2.2 無(wú)保險(xiǎn)時(shí)駕駛員的控制決策

基于上一小節(jié)中的模型假設(shè)，將駕駛員未購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)時(shí)在時(shí)期[0，T]內(nèi)最小化期望總成本的優(yōu)化問(wèn)題建模為一決策變量為控制力度u的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題：

若駕駛員在時(shí)期[0～T]內(nèi)不施加任何控制，則由于控制變量u=0，其風(fēng)險(xiǎn)水平為初值λi不變，在時(shí)間T內(nèi)其所面臨的期望成本為Cu=γλiTD。

策略型駕駛員會(huì)對(duì)Ca與Cu進(jìn)行比較，若Ca

命題 1：隨著控制成本k的增加，受控駕駛成本Ca遞增。

證明：Cak=2T2（λi-λ）γDk-32[2（λi-λ）γD+2（λi-λ）γDk]2>0，對(duì)于k≥0，故Ca隨k單調(diào)增加，證畢。

命題2：對(duì)于 γ，T，D，λi，λ>0，k*，使得k

證明：施加控制時(shí)，需保證Ca

4kTT2k（λi-λ）γD+2k（λi-λ）γD<（λi-λ）γDT?？梢越獾茫寒?dāng)且僅當(dāng)k

命題1與2表明，駕駛員的駕駛成本為一關(guān)于控制成本k的分段單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)其控制成本k ? ? 基于本章得到的駕駛員最優(yōu)控制策略，可知策略型駕駛員會(huì)基于其自身?yè)p失厭惡程度與謹(jǐn)慎駕駛成本決定是否在駕駛過(guò)程中進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制，當(dāng)控制成本與期望事故支出之和小于無(wú)控制狀態(tài)下的期望支出時(shí)，駕駛員選擇施加控制，反之則不施加控制。基于駕駛員中的這一決策異質(zhì)性，我們可將整個(gè)市場(chǎng)分割為AM（會(huì)施加控制的駕駛員構(gòu)成的子市場(chǎng)）部分與PM（無(wú)控制行為的駕駛員構(gòu)成的子市場(chǎng)）部分。

3 傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品與車(chē)聯(lián)網(wǎng)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品對(duì)比分析

本節(jié)基于上一節(jié)的分析結(jié)果對(duì)傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)設(shè)定下與車(chē)聯(lián)網(wǎng)車(chē)險(xiǎn)設(shè)定下風(fēng)險(xiǎn)中性的寡頭壟斷保險(xiǎn)公司的合同設(shè)計(jì)分別加以討論，為簡(jiǎn)化分析并凸顯車(chē)聯(lián)網(wǎng)技術(shù)革新對(duì)信息不對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象的削弱效果，本章對(duì)全額理賠保險(xiǎn)合同設(shè)計(jì)加以討論。分析表明，車(chē)聯(lián)網(wǎng)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品能夠覆蓋更廣泛的市場(chǎng)群體并有效抑制逆向選擇與道德風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)象，從而在提升保險(xiǎn)公司盈利水平的同時(shí)，引導(dǎo)更多駕駛員謹(jǐn)慎駕駛，從而提升社會(huì)交通安全水平。

3.1 傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同設(shè)計(jì)

在傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)的設(shè)定下，由于保險(xiǎn)合同簽訂前保險(xiǎn)公司難以獲取投保人的風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型等私有信息，合同簽訂后保險(xiǎn)公司也難以在保期內(nèi)及時(shí)獲取與投保者駕駛行為相關(guān)的信息，保險(xiǎn)公司在設(shè)計(jì)合同時(shí)面臨逆向選擇與道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。由于駕駛行為不受保險(xiǎn)公司監(jiān)控，在簽訂合同之后所有的駕駛員都不會(huì)施加控制，理性的保險(xiǎn)公司在設(shè)定保費(fèi)時(shí)會(huì)考慮放棄AM子市場(chǎng)的駕駛員而收取PM子市場(chǎng)中的駕駛員的保留價(jià)格Cu=γλiTD，則保險(xiǎn)公司每份合同的期望利潤(rùn)為π0=（γ-1）λiTD。

在傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同設(shè)定下，保險(xiǎn)公司為規(guī)避投保者的道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，會(huì)選擇將保費(fèi)設(shè)置在控制成本較高的客戶(hù)群體的保留價(jià)格Cu上，并賺取正的期望利潤(rùn)。但在此合同下，保險(xiǎn)公司將流失控制成本較低的客戶(hù)群體，市場(chǎng)中逆向選擇問(wèn)題依然存在。同時(shí)，在傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同下PM子市場(chǎng)的駕駛員不會(huì)對(duì)其駕駛行為施加控制，社會(huì)交通風(fēng)險(xiǎn)從而維持不變。

3.2 車(chē)聯(lián)網(wǎng)背景下的車(chē)險(xiǎn)合同設(shè)計(jì)

在車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)設(shè)定下，保險(xiǎn)公司可通過(guò)車(chē)載傳感器實(shí)時(shí)接收駕駛員的駕駛行為數(shù)據(jù)從而分析駕駛風(fēng)險(xiǎn)。通過(guò)實(shí)時(shí)接收并分析駕駛員駕駛行為數(shù)據(jù)，駕駛員對(duì)安全行車(chē)所施加的控制u（t）成為投保駕駛員與保險(xiǎn)公司的公有信息。我們考慮保險(xiǎn)商的如下合同：在合同簽訂初期，保險(xiǎn)雙方約定被保險(xiǎn)人繳納初始保費(fèi)P，保險(xiǎn)公司基于其在保期內(nèi)觀測(cè)到的控制狀態(tài)u（t）對(duì)投保人按照r（u（t））進(jìn)行返利。返利機(jī)制r（u（t））在合同簽訂時(shí)約定，此時(shí)策略型投保人會(huì)選擇控制策略使得其保期內(nèi)期望成本最小。

我們提出一種旨在激勵(lì)駕駛員安全駕駛的線(xiàn)性返利策略，內(nèi)容如下：合同簽訂時(shí)，投保者向保險(xiǎn)公司報(bào)告自身控制成本k并依據(jù)合同約定保險(xiǎn)公司支付初始保費(fèi)P，此后保險(xiǎn)公司根據(jù)保險(xiǎn)存續(xù)期內(nèi)觀察到的投保者駕駛控制行為u（t）按照 r（u（t） ）=bu（t）對(duì)投保者進(jìn)行返利，其中b為一非負(fù)常數(shù)且在保險(xiǎn)合同簽訂時(shí)確定。

其中：Ca、Cu分別為投保者在無(wú)保險(xiǎn)情況下施加與不施加駕駛控制時(shí)的駕駛成本;約束P-b2T2k≤min{Ca，Cu}表明對(duì)決策變量P、b的選取應(yīng)當(dāng)保證合同下投保者的期望成本小于其保留價(jià)格。為最大化自身期望利潤(rùn)πf，保險(xiǎn)公司會(huì)選取P=b2T2k+min{Ca，Cu}，即將保險(xiǎn)合同價(jià)格設(shè)置在投保者的保留價(jià)格上。最后一個(gè)約束表明保險(xiǎn)公司提供的合同將為其帶來(lái)非負(fù)的期望收益，若某份合同為保險(xiǎn)公司帶來(lái)的期望收益為負(fù)值，則公司選擇不出售該合同。

結(jié)論1：在線(xiàn)性返利合同中，存在唯一的b*>0使得保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)πf最大。

證明：將 P=b2 T2k+min{Ca，Cu}代入πf，得到πf=min{Ca，Cu}-Dλ）T-Dkb（λi-λ）1-e-bkT+b2 T2Dk。πf對(duì)b的一階偏導(dǎo)數(shù)為πfb=-Dk（λi-λ）-b-21-e-Tkb+b-1Tk e-Tk b-Tkb，πf對(duì)b的二階偏導(dǎo)數(shù)為2πfb2=-Dk（λi-λ）2b-3-2b-3 e-Tk b+2 Tkb-2 e-Tk b-Tk2 b-1 e-Tk b

-Tk?？紤]eTk b在b=0處的泰勒展開(kāi)式：eTk b=1+ Tk b+T22k2b2+o（b）>1-Tk b+T22k2b2，其中o（b）為b的高階小量。由此可得到2b-3-2b-3e-Tkb+2Tkb-2e-Tk b-Tk2 b-1e-Tkb=2[eTk b-（1-Tkb+T22k2b2）]b3 eTk b>0，從而2πfb2<0，即πf為b的嚴(yán)格凹函數(shù)。

當(dāng)b→0+時(shí)，可求得極限limb→0+πfb=T2D（λi-λ）2k>0;而b→+∞時(shí)，πfb→-∞。由πfb的單調(diào)性與連續(xù)性可知，存在唯一的b*>0使得πf取得全局最大值。

結(jié)論1表明在線(xiàn)性返利的保險(xiǎn)合同下，保險(xiǎn)企業(yè)總能夠找到一個(gè)最優(yōu)的返利費(fèi)率b*>0使得保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)高于不返利的情況。在最優(yōu)返利的情況下，保險(xiǎn)公司通過(guò)返利機(jī)制激勵(lì)投保者在駕駛過(guò)程中施加某種程度的控制從而降低公司承擔(dān)的潛在事故損失。下面我們將證明相對(duì)于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同，線(xiàn)性返利的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同能夠獲得更大的市場(chǎng)份額。

引理 1：πf中g(shù)（k，b）=-Dkb（λi-λ）1-e-bkT+b2 T2Dk部分關(guān)于參數(shù)b的最大值g（k，b*）關(guān)于k單調(diào)遞減。

證明：πfb=gb=-Dk（λi-λ2b-3-2b-3 e-Tk b+2Tkb-2e-Tk b-Tk2 b-1e-Tk b-Tk=0時(shí)，g（k，b）取得最大值。此時(shí)，根據(jù)一階條件在最大值處如下等式成立：e-Tk b*=D（λi-λ）k2-Tb*3D（λi-λ）k（k+Tb*）。將此等式代入函數(shù)g（k，b）對(duì)k的一階偏導(dǎo)數(shù)：gk=D（λi-λ）bk+bTke-Tk b-1+Tb22k2得到gk|b=b*=-Tb*22k2<0。證畢。

結(jié)論2：帶線(xiàn)性返利的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同能夠覆蓋整個(gè)PM子市場(chǎng)并取得比傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同更大的期望利潤(rùn)

證明：由性質(zhì)2可知，當(dāng)k≥k*=γDT2（λi-λ）2時(shí)，投保者的保留價(jià)格為Cu=γλiTD，此時(shí)保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)函數(shù)為πf=γλiTD-DλT-Dkb（λi-λ）1-e-bk T+b2T2Dk，由結(jié)論1可知存在一個(gè)最優(yōu)的b*>0使得πf最大化。當(dāng)b→0+時(shí)，由于Dkb（λi-λ）1-e-bkT+b2T2Dk→D（λi-λ）T，πf→（γ-1）λiTD。當(dāng)保險(xiǎn)公司對(duì)PM子市場(chǎng)的投保者停止返利時(shí)，線(xiàn)性返利合同逐漸退化為傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同，此時(shí)由于πf（b*）>πf（0+）>0，保險(xiǎn)公司可以用帶線(xiàn)性返利的車(chē)險(xiǎn)合同獲取全部的PM子市場(chǎng)份額并取得相對(duì)于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同更大的期望利潤(rùn)，證畢。

結(jié)論2表明帶線(xiàn)性返利的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同能夠在保證不流失PM子市場(chǎng)的基礎(chǔ)上取得比傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品更大的期望利潤(rùn)。同時(shí)，由于帶返利的合同激勵(lì)PM子市場(chǎng)的投保者施加=bk的駕駛控制率，社會(huì)交通安全福利得到了提升。

結(jié)論3：帶線(xiàn)性返利的車(chē)險(xiǎn)合同可根據(jù)γλ TD與λiTD的相對(duì)關(guān)系覆蓋整個(gè)或者一部分AM子市場(chǎng)。

證明：由于在k=k*時(shí)帶返利的合同的期望利潤(rùn)嚴(yán)格大于傳統(tǒng)合同，可得g（k*，b*）>-（λi-λ）DT。當(dāng)0≤kg（k*，b*）>-（λi-λ）DT。由于0≤k<λitd，則存在一個(gè)常數(shù)，0<0;若γλ TD≥λiTD，則對(duì)于任意k∈[0，k*），πf>0成立。即帶線(xiàn)性返利的車(chē)險(xiǎn)合同可以在確保覆蓋整個(gè)PM子市場(chǎng)的基礎(chǔ)上，根據(jù)γλ TD與λiTD的相對(duì)關(guān)系覆蓋整個(gè)或者一部分AM子市場(chǎng)，證畢。

車(chē)聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的引入不僅削弱了道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)保險(xiǎn)公司帶來(lái)的潛在不利影響，更使得逆向選擇問(wèn)題得到緩解。由于投保者控制行為u（t）對(duì)于保險(xiǎn)公司成了可觀測(cè)信息，保險(xiǎn)公司可在保險(xiǎn)存續(xù)期內(nèi)對(duì)投保者所申報(bào)的個(gè)人信息k進(jìn)行后驗(yàn)。若其實(shí)際的控制力度偏離，那么保險(xiǎn)企業(yè)便可反推出其真實(shí)控制成本信息=b*（k）并在保期結(jié)束時(shí)對(duì)其增加違約費(fèi)用d=max{0，C（）-C（k）}，其中C（x）代表無(wú)保險(xiǎn)情況下邊際控制成本為x的駕駛員的保留價(jià)格。

在違約費(fèi)用機(jī)制的引入下，投保者若未如實(shí)申報(bào)其控制邊際成本信息則將面臨一個(gè)大小為L(zhǎng)=max{0，b*2 （k）2k-b*2（k）2}的或有損失。在此情況下，保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)將不會(huì)受到投保者信息申報(bào)真實(shí)性的影響，而隱瞞真實(shí)的駕駛類(lèi)型對(duì)于投保者也變得無(wú)利可圖。再考慮到對(duì)自身社會(huì)信用造成的或有額外風(fēng)險(xiǎn)，投保者在申報(bào)信息時(shí)會(huì)選擇真實(shí)反映自身風(fēng)險(xiǎn)的控制成本。

相對(duì)于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同為規(guī)避道德風(fēng)險(xiǎn)選擇放棄AM子市場(chǎng)，帶線(xiàn)性返利的車(chē)險(xiǎn)合同對(duì)這部分市場(chǎng)完成了部分或全部覆蓋，從而緩解了傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品所面臨的擴(kuò)大市場(chǎng)規(guī)模與暴露在道德風(fēng)險(xiǎn)下的兩難局面。由于帶線(xiàn)性返利的車(chē)險(xiǎn)合同在PM子市場(chǎng)中可獲取更高的預(yù)期利潤(rùn)的同時(shí)，在AM子市場(chǎng)中獲取正的預(yù)期利潤(rùn)，因此這種新型的車(chē)險(xiǎn)合同相對(duì)于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同具備更強(qiáng)的盈利能力。同時(shí)，由于帶有返利機(jī)制的車(chē)險(xiǎn)合同使得隱藏自身風(fēng)險(xiǎn)控制成本在經(jīng)濟(jì)上變得無(wú)利可圖，投保者傾向于真實(shí)申報(bào)個(gè)人信息，從而削弱了逆向選擇的不利影響。

4 數(shù)值算例

前文討論了寡頭壟斷的保險(xiǎn)市場(chǎng)下傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)與車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同對(duì)保險(xiǎn)公司盈利能力與市場(chǎng)份額和社會(huì)總體交通安全水平的影響，證明了車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同具備更全面的市場(chǎng)覆蓋功能與更強(qiáng)的盈利能力。由于模型中重要參數(shù)的求解涉及超越方程因此難以求取解析解，本章通過(guò)數(shù)值仿真的方法對(duì)模型中的主要性質(zhì)與結(jié)論進(jìn)行分析與說(shuō)明。

首先考慮對(duì)比傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)與車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同的盈利能力，在此我們?nèi)p失厭惡系數(shù)γ=1.2，保險(xiǎn)存續(xù)期T=1（年），單次事故平均損失D=5000（元），無(wú)控制下的行車(chē)事故率λi=1（次/年），行車(chē)事故率下界λ=0.1（次/年），則在此參數(shù)下AM與PM子市場(chǎng)的臨界點(diǎn)k*=2700。我們考慮市場(chǎng)總體中每個(gè)個(gè)體的駕駛控制成本參數(shù)k取值范圍為[0，5400]。帶有線(xiàn)性返利的車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)合同與傳統(tǒng)保險(xiǎn)合同在k∈[0，5400]的區(qū)間內(nèi)期望利潤(rùn)隨k變化的曲線(xiàn)如圖1所示。

圖1顯示，傳統(tǒng)合同的利潤(rùn)曲線(xiàn)為階躍型，在AM子市場(chǎng)中傳統(tǒng)合同由于定價(jià)高于所有投保者保留價(jià)格，故期望利潤(rùn)為0，而在PM子市場(chǎng)中可獲取π1=（γ-1）λiTD=1000元/份的期望利潤(rùn)。線(xiàn)性返利車(chē)險(xiǎn)合同的利潤(rùn)曲線(xiàn)根據(jù)參數(shù)k的取值分為三部分：當(dāng)0

其次，考慮線(xiàn)性返利合同對(duì)PM子市場(chǎng)投保者駕駛風(fēng)險(xiǎn)的影響。我們采用數(shù)值方法計(jì)算得到對(duì)應(yīng)不同參數(shù)k的最優(yōu)返利費(fèi)率b*，計(jì)算其期望事故損失DλT+kb*（λi-λ）1-e-b*k T并與傳統(tǒng)合同下的駕駛風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。

以上數(shù)值算例表明，線(xiàn)性返利合同可通過(guò)設(shè)置合理的返利費(fèi)率，在擴(kuò)大市場(chǎng)覆蓋率的同時(shí)，增加保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)，并引導(dǎo)在傳統(tǒng)合同下不對(duì)駕駛行為進(jìn)行控制的投保人謹(jǐn)慎駕駛，從而降低了社會(huì)交通安全風(fēng)險(xiǎn)。

5 結(jié)論與展望

本文以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，研究了策略型車(chē)險(xiǎn)投保者在無(wú)保險(xiǎn)情形下的控制行為，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)的車(chē)險(xiǎn)合同并與傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同進(jìn)行了對(duì)比分析，以下為主要結(jié)論：

駕駛員的謹(jǐn)慎駕駛成本會(huì)影響駕駛員對(duì)駕駛行為的控制決策，對(duì)于已知的時(shí)間區(qū)間與平均事故費(fèi)用，存在可以解析形式表示的駕駛控制邊際成本的閾值，控制邊際成本低于此閾值的駕駛員會(huì)在駕駛期間施加合理的控制以最小化期望駕駛成本，控制邊際成本高于此閾值的駕駛員則不會(huì)施加控制以降低行車(chē)風(fēng)險(xiǎn)，市場(chǎng)從而被分割為由施加控制與不施加控制的駕駛員群體所組成的子市場(chǎng)，分別用AM與PM表示。

由于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同面臨信息不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，保險(xiǎn)公司為規(guī)避道德風(fēng)險(xiǎn)往往會(huì)將保費(fèi)水平設(shè)定在不施加控制的子市場(chǎng)的保留價(jià)格上。這將帶來(lái)兩大弊端：首先，保險(xiǎn)公司由于流失部分客戶(hù)，利潤(rùn)水平降低;其次，謹(jǐn)慎駕駛的客戶(hù)群體反而不受到保險(xiǎn)產(chǎn)品的保障，市場(chǎng)中存在嚴(yán)重的逆向選擇現(xiàn)象。信息不對(duì)稱(chēng)使得道德風(fēng)險(xiǎn)與逆向選擇兩大問(wèn)題難以被同時(shí)消除，當(dāng)保險(xiǎn)公司期望通過(guò)降低保費(fèi)以獲取更大的市場(chǎng)份額時(shí)，由于其難以觀測(cè)合約簽訂后投保者的行為，所以很可能由于暴露在投保者的道德風(fēng)險(xiǎn)傾向中而面臨虧損。

由于車(chē)聯(lián)網(wǎng)技術(shù)能夠使駕駛員的駕駛信息從駕駛員的私有信息轉(zhuǎn)化為保險(xiǎn)公司與駕駛員之間的公有信息，保險(xiǎn)公司可基于投保者的實(shí)時(shí)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)設(shè)計(jì)“固定初始費(fèi)率+動(dòng)態(tài)返利”形式的線(xiàn)性返利車(chē)險(xiǎn)合同。本文證明，此類(lèi)合同能夠基于對(duì)投保者行為的反饋控制引導(dǎo)不同類(lèi)型的投保者施加與自身類(lèi)型相匹配的控制力度，從而同時(shí)緩解逆向選擇與道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。此外，由于基于車(chē)聯(lián)網(wǎng)的車(chē)險(xiǎn)合同能夠通過(guò)不同的收費(fèi)水平吸引不同類(lèi)型的投保者，這種差異化定價(jià)的模式相較于傳統(tǒng)車(chē)險(xiǎn)合同能夠?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司帶來(lái)更多的期望利潤(rùn)。在如今車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品日趨同質(zhì)化、競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的背景下，掌握車(chē)聯(lián)網(wǎng)技術(shù)并設(shè)計(jì)個(gè)性化車(chē)險(xiǎn)合同有利于保險(xiǎn)公司定位更廣闊的需求市場(chǎng)，從而避免進(jìn)入激烈的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，這對(duì)業(yè)務(wù)線(xiàn)條較為精專(zhuān)、資金實(shí)力相對(duì)薄弱的中小型保險(xiǎn)企業(yè)尤其具有啟發(fā)性。

本文豐富與細(xì)化了車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)這一熱點(diǎn)問(wèn)題的研究?jī)?nèi)容，揭示了車(chē)聯(lián)網(wǎng)技術(shù)在緩解保險(xiǎn)市場(chǎng)中的逆向選擇與道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題上所起到的關(guān)鍵作用，并設(shè)計(jì)了車(chē)聯(lián)網(wǎng)背景下的線(xiàn)性返利車(chē)險(xiǎn)合同。研究結(jié)果表明車(chē)聯(lián)網(wǎng)保險(xiǎn)產(chǎn)品在提升保險(xiǎn)公司利潤(rùn)與優(yōu)化保險(xiǎn)市場(chǎng)資源配置兩方面均可起到積極作用，為保險(xiǎn)企業(yè)的新產(chǎn)品研發(fā)與設(shè)計(jì)提供了思路與依據(jù)?？紤]到保險(xiǎn)市場(chǎng)中參與者的多樣性與復(fù)雜性，本文研究尚不夠全面，如保險(xiǎn)公司對(duì)駕駛員風(fēng)險(xiǎn)信息的推斷可能存在延遲或噪聲，掌握車(chē)聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的保險(xiǎn)企業(yè)與傳統(tǒng)保險(xiǎn)企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)行為等問(wèn)題尚待進(jìn)一步研究。

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