“圓”的課程教材設(shè)計(jì)與教學(xué)

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

人們常說，在平面幾何圖形中，三角形是最簡單的，圓是最完美的．三角形是直線型圖形的代表，圓是曲線型圖形的代表．圓自古以來就是平面幾何的主角．圓在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用非常普遍，例如圓形車輪的發(fā)明是人類交通工具發(fā)展史的里程碑．

因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)有了非常豐富的幾何圖形研究經(jīng)驗(yàn)，所以在圓的內(nèi)容處理中，讓我們有了更加廣闊的自由空間，無論是圓本身還是圓與點(diǎn)、直線、三角形、四邊形……的關(guān)系，以及研究的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、過程和方法等，都可以給學(xué)生更多的自主探索機(jī)會(huì)．

在初中平面幾何的課程設(shè)置和教材編寫中，如何充分利用圓這個(gè)載體，并通過內(nèi)容的精心選擇和妥善安排，促使學(xué)生在本單元的學(xué)習(xí)中，通過主動(dòng)思考、積極提問、自主探索，在獲得“四基”、提升“四能”的同時(shí)，在空間觀念、幾何直觀、推理能力等方面能躍上一個(gè)新臺(tái)階，需要我們認(rèn)真思考．

1 關(guān)于圓的課程與教材內(nèi)容的選擇

1.1 整體分析

對(duì)于圓的研究，有幾個(gè)基本角度．首先是對(duì)圖形本身的研究，即對(duì)圓的要素、相關(guān)要素及其基本關(guān)系的探索；第二是對(duì)圖形之間關(guān)系的研究，即圓與點(diǎn)、直線、圓之間的關(guān)系，以及與三角形、四邊形、多邊形的關(guān)系，這個(gè)方面的可選擇性很大；第三是從圖形變換的角度考慮，圓的豐富對(duì)稱性可以成為學(xué)生理解圖形變化、利用軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)等變換工具探索圖形性質(zhì)的優(yōu)良載體；第四是從度量角度考慮，這是學(xué)生第一次接觸曲線圍成的圖形度量問題，是從直線型的度量飛躍到曲線型度量的開端，這個(gè)規(guī)則曲線圖形的度量問題可以為學(xué)生理解度量問題提供典范；第五是與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)，即三角函數(shù)的內(nèi)容(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)(主要是對(duì)稱性)的解析表達(dá))；等．作為初中平面幾何課程的一個(gè)單元，主要從前四個(gè)角度考慮．

作為義務(wù)教育階段的必學(xué)內(nèi)容，顯然要從基礎(chǔ)、有用、夠用等角度思考內(nèi)容的選擇問題，但同時(shí)要注意到我國高中教育已經(jīng)普及，在確定課程內(nèi)容時(shí)要考慮為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好充分基礎(chǔ)，另外還要為那些對(duì)數(shù)學(xué)有特別興趣的學(xué)生提供拓展性學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)．所以，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)秉持保底不封頂?shù)睦砟睿瑫r(shí)，讓學(xué)生在如何確定一個(gè)幾何圖形的要素和相關(guān)要素、要素的關(guān)系指什么、如何發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系等一般觀念的引領(lǐng)下，為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)乃夭?、?gòu)建自主學(xué)習(xí)的平臺(tái)，促使學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主探究而發(fā)現(xiàn)和提出值得研究問題，這是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的關(guān)鍵舉措，是與內(nèi)容選擇相伴相隨、需要著重考慮的關(guān)鍵問題．

下面我們從圓的定義出發(fā)進(jìn)行具體分析．

1.2 圓的要素及其基本關(guān)系

圓的要素，即圓心、半徑(直徑)、圓上的點(diǎn)，它們之間的直接關(guān)系，是首先要研究的內(nèi)容．當(dāng)然，由圓的定義可以立即推出，圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑；到定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．這是很容易得到的結(jié)論，其意義在于讓學(xué)生明白如何從定義出發(fā)，由“近”及“遠(yuǎn)”地對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)展開研究．

如果局限在圓的要素的關(guān)系，可研究的問題很少．如何發(fā)現(xiàn)需要研究的其他問題呢？我們以系統(tǒng)論的觀點(diǎn)進(jìn)行分析，將圓看成一個(gè)系統(tǒng)，一是由圓心、半徑和圓上的點(diǎn)所生成的問題，這就是將圓上的點(diǎn)、圓心聯(lián)系起來，生成弦、弧、圓心角、圓周角等幾何元素，這些幾何元素是從圓這個(gè)圖形的內(nèi)部生成的，它們之間的關(guān)系就是要研究的內(nèi)容；二是圓與系統(tǒng)外的幾何元素的關(guān)系，即圓與不在圓上的點(diǎn)、圓與直線、圓與圓的關(guān)系，圓與三角形、四邊形……的關(guān)系，這是要研究的第二類問題．

1.3 圓的相關(guān)要素及其基本關(guān)系

圓的相關(guān)要素，如弧、弦、圓心角、圓周角等，它們之間的相互關(guān)系是需要研究的基本問題．不過，這些相關(guān)要素不像三角形的高、中線、角平分線、四邊形的對(duì)角線等那樣容易發(fā)現(xiàn)，如何讓學(xué)生感受到這些相關(guān)要素的重要性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們之間的關(guān)系就是圓的性質(zhì)，需要在教材編寫中加以研究．

一般而言，我們可以這樣考慮：以圓為“基準(zhǔn)”，過圓上兩點(diǎn)的連線中有兩條是特殊的，一是弧，給定圓上兩點(diǎn)，可得兩條弧——優(yōu)弧和劣??；二是弦，其中直徑是特殊的弦，它在研究相關(guān)問題時(shí)有重要作用．由此發(fā)現(xiàn)值得研究的內(nèi)容：圓的弦與弦、弧與弧、弧與弦的關(guān)系；弧、弦、半徑的關(guān)系；等等．根據(jù)幾何學(xué)的定義，這里的“關(guān)系”是指大小關(guān)系、位置關(guān)系．在分析這些關(guān)系時(shí)，可以采用從特殊到一般、從一般到特殊的思路，將之放在一個(gè)連續(xù)的變化過程中，從而實(shí)現(xiàn)有序且有邏輯的探索．

下面以圓的兩條弦之間的關(guān)系為例進(jìn)行說明．

首先，對(duì)于兩條弦的大小關(guān)系，憑直覺就可以判斷：

(1)等弦的弦心距相等，反之也對(duì)；

(2)弦心距越小，弦越大；

(3)直徑是最大的弦．

這些結(jié)論似乎很容易得出，但其中蘊(yùn)含的思想是深刻的，需要提醒學(xué)生注意：在探索圓的性質(zhì)時(shí)，要利用圓心這一圓的要素．一般地，探索一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，我們總是從定義出發(fā)．“從定義出發(fā)”的涵義就是要利用確定這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的要素．

圖1

要證明這幾個(gè)結(jié)論，需要利用圓心與半徑．例如，如圖1，AB，CD是圓O的弦，要證明當(dāng)AB=CD時(shí)，圓心O到AB，CD的距離相等，需要用到垂徑定理．所以，安排教材內(nèi)容時(shí)，垂徑定理要在這些結(jié)論之前．

其次，看兩條弦的位置關(guān)系．延續(xù)兩條直線的位置關(guān)系，區(qū)分為相交與平行，重點(diǎn)看相交．如圖2，可以分為公共點(diǎn)在圓內(nèi)(特例是兩條弦相互垂直)、在圓上和延長后相交等4類情況．

圖2

圖2(2)反映的性質(zhì)就是垂徑定理．這個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是圓的軸對(duì)稱性的一個(gè)推論，它是推導(dǎo)圓的其他性質(zhì)的基礎(chǔ)之一，應(yīng)該要求學(xué)生掌握．

分析圖2(1)、(4)，連接AD，BC，可以發(fā)現(xiàn)，無論弦的交點(diǎn)在圓內(nèi)還是在圓外(延長線的交點(diǎn))，都需要以圖2(3)作為橋梁，即要以圓周角的性質(zhì)為基礎(chǔ)，這說明“兩條弦的一個(gè)端點(diǎn)重合”這個(gè)特例很重要．為了研究相交弦問題，需要先研究圓周角．

有了圓周角定理，相交弦的問題就轉(zhuǎn)化為相似三角形問題．所以，可以把圖2(1)、(4)等作為相似三角形的綜合應(yīng)用問題，也可以考慮將其組織為一個(gè)“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的素材．

1.4 圓與點(diǎn)、圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系

首先要明確，圓與點(diǎn)、圓與直線、圓與圓位置關(guān)系的研究，仍然是利用圓心、半徑這兩個(gè)圓的要素，即探究這些關(guān)系時(shí)，我們總是把它們與圓心、半徑聯(lián)系起來，考察有怎樣的確定關(guān)系．或者說，這種“關(guān)系”要通過圓心、半徑做出表達(dá)．

(1)圓與點(diǎn)的位置關(guān)系

我們可以順著一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)、四個(gè)點(diǎn)……的路徑展開研究．

一個(gè)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓外三種，可以探究的問題是：①三種關(guān)系的判定；②圓上的點(diǎn)與圓外的一個(gè)定點(diǎn)所連線段中，什么時(shí)候最長或最短．

圖3

對(duì)于②，如圖3，設(shè)P為圓外一個(gè)點(diǎn)，Q為圓上任意一點(diǎn)．連接PO并延長與圓交于點(diǎn)A，B，再連接OQ，有OA=OB=OQ．在△POQ中，PO+OQ>PQ，PQ>PO-OQ．由此即得證明．所以，這個(gè)內(nèi)容只用到三角形的三邊關(guān)系和同圓的半徑相等，可以(作為例題)安排在圓的定義之后．

兩個(gè)點(diǎn)與圓的關(guān)系，前面已經(jīng)提到，主要是圓上兩點(diǎn)確定的弧和弦，可以和圓心角聯(lián)系起來，類比“全等”關(guān)系提出問題．在一個(gè)圓中，弧、弦、圓心角等這些相關(guān)要素的相等關(guān)系和不等關(guān)系是圓的基本性質(zhì)，應(yīng)該作為基本內(nèi)容要求學(xué)生掌握．

三個(gè)點(diǎn)與圓的關(guān)系，有非常重要的定理：過三個(gè)不共線的點(diǎn)有且只有一個(gè)圓．這個(gè)定理的證明要利用垂徑定理和平行公理，其要點(diǎn)是：如果設(shè)通過三點(diǎn)A，B，C的圓的圓心是O，那么點(diǎn)O既在弦AB的垂直平分線上，也在弦BC的垂直平分線上，即O是兩條垂直平分線的交點(diǎn)．由此，需要證明不共線三點(diǎn)A，B，C所定的三條線段AB，BC，CA的垂直平分線交于一點(diǎn)．因?yàn)橐梅醋C法，有一定的難度，可以考慮將它作為尺規(guī)作圖題，并可以讓有能力的學(xué)生進(jìn)行證明．

四個(gè)點(diǎn)的問題，如四點(diǎn)共圓的條件，可以結(jié)合圓與四邊形的關(guān)系．

(2)圓與直線的位置關(guān)系

這里可研究的內(nèi)容非常豐富．

首先，類比兩條直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，可以提出問題：圓與直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？這是一個(gè)需要研究的問題，其結(jié)論是后續(xù)討論直線與圓的關(guān)系的邏輯基礎(chǔ)．采用反證法容易證明：

圖4

如圖4，如果直線l與半徑為r的⊙O交于三點(diǎn)A，B，C，那么r=OA=OB=OC．由三角形外角大于不相鄰內(nèi)角，等腰三角形底角相等，可得∠ABO>∠C=∠A．于是，在△OAB中，有r=OA>OB=r，這與B在O為圓心、半徑為r的圓上矛盾．當(dāng)然，這個(gè)證明要用到 “大角對(duì)大邊”和“外角大于不相鄰內(nèi)角”這兩條三角形的性質(zhì)．

其次，圓與直線有相交、相切和相離三種位置關(guān)系，其中相切是分界點(diǎn)，最重要．這里有兩個(gè)基本問題，一是如何判斷三種位置關(guān)系，二是對(duì)相切這一特殊的位置關(guān)系，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，要研究判定和性質(zhì)兩個(gè)互逆的問題．

位置關(guān)系的判斷，利用圓的要素，與圓心和半徑聯(lián)系起來，通過圓心到直線的距離與半徑比大小而得出結(jié)論．

如何發(fā)現(xiàn)切線的判定與性質(zhì)？仍然要與圓的要素聯(lián)系起來．如果直線l與⊙O切于點(diǎn)A，那么OA是半徑．OA與l的關(guān)系是以直線l與⊙O相切作為大前提的，這就是切線的性質(zhì)，反過來就可以得到切線的判定，這里的邏輯基礎(chǔ)是兩條直線相互垂直的性質(zhì)．

第三，圓與兩條直線的關(guān)系．仍然沿用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，讓兩條直線從與圓相交到相切作有序運(yùn)動(dòng)，可以區(qū)分為兩條直線都與圓相交、一條相交一條相切、兩條都相切．

對(duì)于這幾種位置關(guān)系，還是要在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的數(shù)學(xué)問題上下大力氣，而其基本思想仍然是與圓的要素、相關(guān)要素聯(lián)系起來(這是一個(gè)“一般觀念”)．例如，如圖5，PA，PC是圓的兩條割線．連接AD，CB，利用圓周角定理，可以得到幾對(duì)相似三角形，得出割線定理．

圖5

圖6

在圖5的基礎(chǔ)上，讓PC運(yùn)動(dòng)到與圓相切的位置．這時(shí)，C，D將重合為一點(diǎn)，得到圖6．由此，可得切割線定理．當(dāng)然，這里要用到弦切角定理．

圖7

接著再讓PA運(yùn)動(dòng)到與圓相切的位置，如圖7，由此可得切線長定理．這里，如果和圓的切線性質(zhì)聯(lián)系起來，還可以得出別的結(jié)論．

總之，圓與直線位置關(guān)系的研究內(nèi)容非常豐富，可以作為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的優(yōu)良載體，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的好素材．這些內(nèi)容，有的可以作為必學(xué)內(nèi)容，有的可以作為探究性學(xué)習(xí)的素材．

我們認(rèn)為，這些性質(zhì)不難但內(nèi)涵豐富，對(duì)提升學(xué)生的“四能”，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、邏輯思維和推理論證能力等都有很好的作用，只要將它們按一定的邏輯順序妥加組織，以環(huán)環(huán)相扣的“性質(zhì)鏈”為線索形成系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，就不僅能使學(xué)生順利獲得相關(guān)結(jié)論，而且可以從中領(lǐng)悟研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的“味道”，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．這是高層次的解題，解決的是有數(shù)學(xué)含金量的真問題，是具有探索性、創(chuàng)造性的解題，其育人價(jià)值是教師在教學(xué)中讓學(xué)生做的那些挖空心思搞出來的題目所無法比擬的．所以，課程、教材和教學(xué)應(yīng)對(duì)這些內(nèi)容的選取和編排做出通盤考慮，以引導(dǎo)廣大師生把精力集中到這些有意義的內(nèi)容和問題上來．

需要指出的是，平面幾何課程內(nèi)容經(jīng)過幾輪改革，已經(jīng)把這些內(nèi)容都精簡掉了，不僅學(xué)生接觸不到，而且許多老師也不知道平面幾何還有如此精彩而引人入勝的內(nèi)容．但內(nèi)容的精簡并沒有把學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)減下來，反而落入負(fù)擔(dān)越來越重而數(shù)學(xué)理解水平越來越低的怪圈．究其原因，恐怕與這些好內(nèi)容被過分精簡有關(guān)系．因?yàn)閮?nèi)容過分削減后，教師覺得可教的東西太少了，于是在一個(gè)狹窄的范圍里“深挖洞”，搞出一些繁瑣乏味而沒有多少數(shù)學(xué)內(nèi)涵的題目，這種題目做得再多也不能使學(xué)生的數(shù)學(xué)水平得到提高．課改中，我們不能因?yàn)楹ε陆處熢谝?guī)定內(nèi)容基礎(chǔ)上進(jìn)行大量拓展而因噎廢食，總是想通過減少內(nèi)容來達(dá)到減輕負(fù)擔(dān)的目的，這種削足適履的做法其效果只能是適得其反．我們應(yīng)該通過提升教師的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)水平，使教師知道哪些內(nèi)容對(duì)發(fā)展學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)能力是真正重要的，從而使他們把精力聚焦在核心概念、重要知識(shí)的教學(xué)上，這才是真正的治本之舉．

(3)圓與圓的位置關(guān)系

和圓與直線的關(guān)系類似，首先需要證明，兩圓相交時(shí)最多有兩個(gè)交點(diǎn)．實(shí)際上，如果兩個(gè)圓相交于三個(gè)點(diǎn)，因?yàn)檫@三個(gè)點(diǎn)不共線，所以由垂徑定理可得這兩個(gè)圓有公共的圓心，這是不可能的．

其次，圓與圓有相交、相切和相離三種位置關(guān)系，相切有內(nèi)切或外切之分，相離時(shí)有外離或內(nèi)含之別．其中，仍然以相切為分界點(diǎn)．要研究的基本問題，一是如何判斷三種位置關(guān)系；二是對(duì)相切這一特殊位置關(guān)系的研究；三是兩圓相交時(shí)，兩交點(diǎn)的連線是兩個(gè)圓的公共弦，有什么特性．

因?yàn)檫@里涉及兩個(gè)圓，要利用兩個(gè)圓的圓心和半徑，可以把兩個(gè)圓心連起來，讓其中一個(gè)圓的圓心在連心線上運(yùn)動(dòng)，逐步出現(xiàn)各種位置關(guān)系：外離→外切→相交→內(nèi)切→內(nèi)含，如圖8所示．

圖8

設(shè)⊙O1，⊙O2的半徑分別是R1和R2，且R1R1+R2時(shí)，兩圓相離；當(dāng)d=R1+R2時(shí)，兩圓外切；當(dāng)R2-R1

我們知道，圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系問題，在解析幾何中也是基礎(chǔ)內(nèi)容，作為讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法的真諦、理解坐標(biāo)法與綜合法之間關(guān)系的載體，而且可以邏輯清晰、簡單便捷地加以解決；但平面幾何中處理這些內(nèi)容的方式與解析幾何有很大的不同，讓學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)這些基本內(nèi)容，可以有效提升他們的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，而且這樣的處理方式與學(xué)生思維發(fā)展的年齡特征相吻合，可以有效地幫助學(xué)生從直觀邏輯思維水平過渡到抽象邏輯思維水平，這也是平面幾何在促進(jìn)學(xué)生邏輯思維發(fā)展中的不可替代作用的體現(xiàn)．

1.5 圓與三角形、多邊形的關(guān)系

圓與多邊形的關(guān)系，主要是多邊形的外接圓和內(nèi)切圓，要探索圓與多邊形具有這種位置關(guān)系時(shí)，多邊形的要素或相關(guān)要素有怎樣的特性．其中尤以圓與三角形、正多邊形的關(guān)系最重要．

因?yàn)槿切蔚耐饨訄A圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(外心)，內(nèi)切圓圓心就是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)心)，前者與三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)圓等價(jià)，用垂徑定理可證，后者用圓的切線定理可得，它們可以納入到前面討論過的內(nèi)容中去，作為相關(guān)定理的應(yīng)用；圓與四邊形的關(guān)系，例如圓的內(nèi)接四邊形定理、逆定理及其推論，可以作為圓周角定理的應(yīng)用；圓與正多邊形的關(guān)系，將圓弧n等分就可以得到正n邊形，可以作為弧、弦、圓心角、弦心距等關(guān)系的應(yīng)用，并成為“割圓術(shù)”的基礎(chǔ)，從而也是關(guān)于圓的度量問題的基礎(chǔ)……

綜上可見，在圓的課程、教材內(nèi)容構(gòu)建中，從圓的定義出發(fā)，將圓的要素(圓心、半徑、圓上的點(diǎn))、相關(guān)要素(弧、弦、弦心距、圓心角、圓周角等)的關(guān)系作為奠基內(nèi)容，把圓與點(diǎn)、圓與直線、圓與圓的關(guān)系作為基本而重要的內(nèi)容，完整地讓學(xué)生學(xué)習(xí)并要求掌握．在此基礎(chǔ)上，與三角形、四邊形、多邊形等幾何圖形相結(jié)合，特別是與直角三角形、正多邊形等重要幾何圖形相結(jié)合，讓學(xué)生應(yīng)用已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)探究出一些性質(zhì)．另外，還可以安排一些有趣的定理(如希姆松定理及其逆定理、蝴蝶定理等)作為拓展性、探究性學(xué)習(xí)素材，形成平面幾何中的綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容．

2 關(guān)于圓的概念和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)示例

下面我們給出本單元中幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)概要，希望對(duì)教材編寫也有所啟發(fā)．

2.1 圓的概念

圓的概念，包括圓的定義，以及弧、弦、圓心角、圓周角的定義，這與三角形的概念包括三角形的定義以及邊、角、頂點(diǎn)等要素，高、中線、角平分線、外角等相關(guān)要素的定義是一樣的．

在《幾何原本》中，與點(diǎn)、線(直線)、面(平面)、角(平角、直角、鈍角、銳角)、圖形等最基本的幾何概念一起，圓的定義被放在第Ⅰ卷的開篇定義中，是作為最基本的概念呈現(xiàn)的：圓是由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上的點(diǎn)連接成的所有線段都相等．這個(gè)描述是比較復(fù)雜的．

從數(shù)學(xué)科學(xué)角度看，圓的定義是簡單的，如果用集合語言則非常簡潔．我們可以讓初中學(xué)生自己嘗試給出圓的定義，這給學(xué)生提供了用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)的機(jī)會(huì)．可以發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生自主定義的過程中，課堂生成是非常精彩的．

引入：同學(xué)們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過圓了，你能說說學(xué)了哪些內(nèi)容嗎？

師生活動(dòng)：先由學(xué)生回答，說出圓的面積公式、周長公式等，然后教師繼續(xù)問．

問題：你知道什么叫圓嗎？也就是說，圓的定義是什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生頭腦中有圓的清晰形象，但用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來是不容易的．在激發(fā)起學(xué)生的求知欲后，教師繼續(xù)引導(dǎo)提問．

追問：定義一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，往往從歸納具體實(shí)例的共性開始．請(qǐng)你畫一個(gè)圓，觀察畫的過程，你看到了什么？你能由此寫出圓的定義嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生畫圖、寫定義，教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生給出的各種“定義”，并拍攝、投影，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論．

在一次全國教學(xué)研討會(huì)上，由一位教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的特級(jí)教師按上述設(shè)計(jì)實(shí)施，有如下的課堂生成(1)鄭瑄等． “圓”章起始課教學(xué)的思考與實(shí)踐[J]． 中國數(shù)學(xué)教育·初中版，2019(11):49～53．：

生1：由距圓心距離相等的許多點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線．

生2：一條線段一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)另一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，圍起來．

生3：將一條線段首尾連接起來，線上的點(diǎn)到一個(gè)點(diǎn)的距離相等．

生4：在平面內(nèi)，一條固定了一端的線段，圍繞一周無數(shù)點(diǎn)組成的圖形．

生5：形狀類似字母O的物體．

生6：球體的平面．

生7：有無數(shù)條對(duì)稱軸的圖形．

生8：一條曲線構(gòu)成封閉，從一點(diǎn)到曲線上任何一點(diǎn)的長度相同的圖形．

生9：以固定一點(diǎn)，繞這一點(diǎn)，固定距離，做圓周運(yùn)動(dòng)．

生10：圓是以一點(diǎn)為中心，按照直徑不斷旋轉(zhuǎn)外端閉合的圖形．

……

教師以學(xué)生給出的“定義”為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)與圓的定義相關(guān)的關(guān)鍵詞：

(1)定點(diǎn)、定長、集合；(靜)

(2)線段OA、點(diǎn)O、點(diǎn)A、旋轉(zhuǎn)．(動(dòng))

在充分討論的基礎(chǔ)上，再給出用嚴(yán)謹(jǐn)語言表述的兩種定義．然后教師再次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，明確如下要點(diǎn)：

(1)圓是一條封閉曲線，而并非圓面；

(2)圓是平面圖形，如果不加“在一個(gè)平面內(nèi)”的限制，那么“到定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)的集合”是球；

(3)確定圓的兩個(gè)要素：圓心(位置)和半徑(大小)；等等．

設(shè)計(jì)意圖：從課堂生成看，學(xué)生的語言很生動(dòng)，而且有的學(xué)生給出的定義與《幾何原本》很接近，但從直觀描述到嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)是一個(gè)艱難的過程．先讓學(xué)生說出自己的定義，實(shí)際上就是讓學(xué)生表達(dá)自己對(duì)圓這個(gè)幾何對(duì)象本質(zhì)特征的理解，然后引導(dǎo)學(xué)生討論、反思，使學(xué)生明白自己的表述哪些地方不嚴(yán)謹(jǐn)，例如“有無數(shù)條對(duì)稱軸的圖形”確實(shí)是圓的本質(zhì)特征，但直線也是有無數(shù)條對(duì)稱軸的圖形，所以這個(gè)本質(zhì)特征不是圓所獨(dú)有的，不足以把圓與其他圖形區(qū)分開來，最后再給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，并對(duì)關(guān)鍵詞的意義進(jìn)行辨析．

數(shù)學(xué)對(duì)象抽象階段的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)有兩方面的任務(wù)，一是對(duì)象的本質(zhì)特征的抽象概括，二是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)的學(xué)習(xí)．先讓學(xué)生觀察典型豐富的實(shí)例，并用自己的語言刻畫本質(zhì)特征，然后再分析、比較、歸納而抽象出嚴(yán)謹(jǐn)定義，這是把數(shù)學(xué)語言與日常語言聯(lián)系起來的過程，由此可以使學(xué)生明確數(shù)學(xué)語言與日常語言的區(qū)別與聯(lián)系，從而為學(xué)生構(gòu)建起從直觀描述到嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的通道，這是理解抽象數(shù)學(xué)定義的必由之路．

2.2 發(fā)現(xiàn)和提出研究內(nèi)容

引入：類比三角形、四邊形的學(xué)習(xí)，得出圓的定義后，接下來你認(rèn)為要研究圓的什么內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主構(gòu)建研究一個(gè)幾何圖形的整體架構(gòu)．

在學(xué)生提出要研究圓的性質(zhì)后，接著提問：

問題1：你認(rèn)為研究圓的性質(zhì)就是要研究什么？

學(xué)生可能回答不出這個(gè)問題，在學(xué)生思考后教師接著提問．

追問1：在三角形、平行四邊形的學(xué)習(xí)中，我們得到了哪些性質(zhì)？你覺得這些性質(zhì)表明了圖形的什么特征？

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立思考、交流后總結(jié)出：這些性質(zhì)表明了圖形的要素(邊、角)、相關(guān)要素(三角形的高、內(nèi)角平分線、中線、外角，四邊形的對(duì)角線等等)的大小關(guān)系、位置關(guān)系，圖形的對(duì)稱性等等．

追問2：圓的要素有哪些？它們有怎樣的關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生容易從圓的定義得出，圓的要素有圓心、半徑和圓上的點(diǎn)，先讓學(xué)生描述這三者的關(guān)系，然后給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎觯?/p>

追問3：圓的對(duì)稱性很容易發(fā)現(xiàn)，但像三角形、平行四邊形等那樣，圓的“邊”、“角”、“對(duì)角線”等等在哪里呢？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考、討論，教師要加強(qiáng)引導(dǎo)．如教師可以問：將圓上的兩點(diǎn)連接起來得到什么？將圓心和圓上兩點(diǎn)連接起來得到什么？將圓上三點(diǎn)連接起來得到什么？……

通過上述討論，可以獲得研究內(nèi)容：圓的弧、弦、圓心角、圓周角、圓的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形……

教師可以提示：像相交線、平行線是研究兩條直線間的位置關(guān)系，全等三角形是研究兩個(gè)三角形的位置關(guān)系，這里還可以研究圓與點(diǎn)、圓與直線、圓與圓的關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)圓這個(gè)幾何對(duì)象的研究內(nèi)容非常關(guān)鍵．學(xué)生有之前研究三角形、平行四邊形的豐富經(jīng)驗(yàn)，但圓與之前的幾何對(duì)象又有本質(zhì)差異．讓學(xué)生在“幾何對(duì)象的要素、相關(guān)因素的關(guān)系就是性質(zhì)”的指導(dǎo)下，借鑒已有經(jīng)驗(yàn)，通過連線、組圖等得出圓的要素、相關(guān)要素，明確它們之間的關(guān)系以及圓與點(diǎn)、直線等圖形之間關(guān)系就是要研究的內(nèi)容，這個(gè)過程可以有力地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．

問題2：我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓的性質(zhì)，可以研究的內(nèi)容非常豐富．類比三角形和平行四邊形的研究過程，你認(rèn)為我們可以按怎樣的路徑展開研究？

師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考、討論，教師再引導(dǎo)學(xué)生確定研究的順序：弧、弦的關(guān)系→弧、弦、圓心角的關(guān)系→圓心角、圓周角的關(guān)系→圓與點(diǎn)、直線、圓的關(guān)系→圓與三角形、四邊形、正多邊形的關(guān)系；從定性關(guān)系到定量關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖：研究路徑的構(gòu)建是發(fā)展理性思維的重要契機(jī)，可以使學(xué)生養(yǎng)成有邏輯地思考的習(xí)慣，是學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)和證明圖形性質(zhì)的前提．

2.3 圓周角定理的發(fā)現(xiàn)與證明(2)章建躍,鮑建生． 深化課程改革，提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量[J].中國數(shù)學(xué)教育·上半月(初中版)，2020(4)：9.

在圓的性質(zhì)中，垂徑定理反映了圓的軸對(duì)稱性，圓周角定理反映了圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．圓周角定理的發(fā)現(xiàn)過程體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生理性思維上的力量，值得我們重視．如何提高學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的可能性，需要我們在教學(xué)設(shè)計(jì)中認(rèn)真思考．

圖9

師生活動(dòng)：由學(xué)生動(dòng)手作圖，容易發(fā)現(xiàn)，圓心角是唯一確定的，而圓周角有無數(shù)個(gè)．

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立思考、討論、交流，如果學(xué)生提出“圓周角所對(duì)的弧是同一條，要研究同弧所對(duì)的圓周角有什么特殊關(guān)系”、“同弧所對(duì)的圓周角和圓心角有什么關(guān)系”，就讓學(xué)生接著自主探究，否則繼續(xù)提問．

追問2：同弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)．因?yàn)樗鶎?duì)的弧是同一條，所以它們一定存在特殊的關(guān)系．由此你能提出什么問題？(同弧所對(duì)的圓周角有怎樣的關(guān)系？)

同樣的，因?yàn)檫@些圓周角與圓心角∠BOC所對(duì)的弧是同一條，所以它們與∠BOC也一定存在特殊關(guān)系．由此你又能提出什么問題？(同弧所對(duì)的圓周角與圓心角有怎樣的關(guān)系？)

設(shè)計(jì)意圖：上述問題及追問抓住“同弧”這一共性，采取從宏觀到微觀的遞進(jìn)式提問，從而給學(xué)生的思維以適度的挑戰(zhàn)性．其中，“因?yàn)樗鶎?duì)的弧是同一條，所以它們一定存在特殊的關(guān)系”、“因?yàn)檫@些圓周角與圓心角∠BOC所對(duì)的弧是同一條，所以它們與∠BOC也一定存在特殊關(guān)系”是從“一般觀念”上進(jìn)行引導(dǎo)的，為學(xué)生自主探究與發(fā)現(xiàn)提供了適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知臺(tái)階．

在探索過程中，可以讓學(xué)生利用信息技術(shù)，讓圓周角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，并觀察圓周角的大小變化情況而得出猜想．

問題2：通過直觀操作我們得出了圓周角定理的猜想，你認(rèn)為應(yīng)如何證明？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生思考、回答，如果學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)證明方法，教師再進(jìn)行啟發(fā)式追問．

圖10

師生活動(dòng)：在信息技術(shù)的幫助下，學(xué)生可以自主發(fā)現(xiàn)當(dāng)AB或AC經(jīng)過圓心O時(shí)是一個(gè)特殊位置(如圖10所示)，并且容易得出這時(shí)命題成立．在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生獨(dú)立完成證明．

設(shè)計(jì)意圖：通過適當(dāng)提示，讓學(xué)生在從特殊到一般的策略指導(dǎo)下，通過分類、化歸等，獨(dú)立開展猜想的證明．

對(duì)于圓與點(diǎn)、圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系，以及圓的切線性質(zhì)、圓冪定理等的教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)，前面在討論課程內(nèi)容的選擇時(shí)已經(jīng)基本闡述清楚，這里不再贅述．

3 小結(jié)

縱觀百年課改歷史，傳統(tǒng)的內(nèi)容以精簡為主.上世紀(jì)五六十年代的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”喊出“歐幾里得滾蛋”的口號(hào)，使平面幾何課程遭受滅頂之災(zāi)．我國上一輪課改也對(duì)平面幾何課程動(dòng)了大手術(shù)，必學(xué)的內(nèi)容越來越少，而且一些看上去稍有難度的內(nèi)容，或者采取“直觀感知，操作確認(rèn)”的方式，看一看、畫一畫、量一量就認(rèn)為正確，或者干脆刪除.筆者認(rèn)為，這樣的處理是比較草率的做法．事實(shí)上，類似于三個(gè)不共線的點(diǎn)確定唯一一個(gè)圓、直線與圓的交點(diǎn)最多只有兩個(gè)之類的證明，恰是培養(yǎng)理性思維、科學(xué)精神的優(yōu)良載體，而圓冪定理的探究過程也是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維、提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的好素材．這些內(nèi)容不讓學(xué)生學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)支離破碎，教學(xué)中取而代之的是那些人為制造的題目，浪費(fèi)了學(xué)生寶貴的學(xué)習(xí)時(shí)間，真是得不償失．所以，課程內(nèi)容選擇、教材編寫與課堂教學(xué)應(yīng)通力協(xié)作，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)真正的“四基”內(nèi)容、有利于提升“四能”的內(nèi)容．