核心素養(yǎng)為目標(biāo)導(dǎo)向 思想方法為實(shí)施載體
——高三平面解析幾何復(fù)習(xí)有效性的思考與實(shí)踐

徐建新

(福建省德化第一中學(xué) 362500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”在穩(wěn)步推進(jìn)的高考改革中，有關(guān)部門特別強(qiáng)調(diào)了在考試評價中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，提出突出學(xué)科核心素養(yǎng)、突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色、著重考查學(xué)生理性思維能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力等方面的要求．在高三復(fù)習(xí)中，只有把這些要求落實(shí)于課堂，才能精準(zhǔn)有效地做好復(fù)習(xí)教學(xué)．本文以筆者在解析幾何復(fù)習(xí)中的一些做法為例，針對以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)導(dǎo)向，以數(shù)學(xué)思想方法為載體，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力和分析問題解決問題的能力，談點(diǎn)想法，請同行不吝指教．

1 引導(dǎo)學(xué)生全面理解坐標(biāo)法

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，是研究幾何問題的“方法論”．坐標(biāo)法是用代數(shù)方法解決幾何問題的“工具”，其要點(diǎn)是“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”．為提升學(xué)生對“坐標(biāo)法”的認(rèn)識水平，筆者選用下列例題引導(dǎo)學(xué)生展開思考.

例1已知△ABC為等腰直角三角形，CA=CB，AB=4，D為AB中點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足條件：PD2=PA·PB，求CP的最小值．

師：這是一個什么問題？你打算用什么方法解決？

生1：用建系的辦法來處理．

師：為什么要用建系的辦法？

生1沒能回答這個問題．因為各種資料中的解析幾何題都不需要建系，所以學(xué)生對用坐標(biāo)法解決問題的完整過程比較朦朧，這正是解析幾何高考復(fù)習(xí)需要認(rèn)真對待的問題．

師：本題是純幾何問題，自然先從平面幾何角度分析問題．從哪個角度觀察，如何分析圖形的特征呢？一般而言，我們從構(gòu)成平面圖形的要素，即點(diǎn)與線入手，分析它們之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．

△ABC涉及的幾何元素及其關(guān)系是清晰的，但點(diǎn)P的位置卻是變化的，它與A，B，C三點(diǎn)的關(guān)系如何呢？不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P的變化，受幾何條件PD2=PA·PB的制約．在此條件下，點(diǎn)P的位置確定嗎？如果不確定，那么點(diǎn)P將如何變化，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是什么？這正是本題的關(guān)鍵所在．

為表達(dá)點(diǎn)P運(yùn)動變化的軌跡、以及點(diǎn)P與A，B，C，D的關(guān)系，單純依賴平面幾何知識不易實(shí)現(xiàn)．在我們學(xué)過的知識中，向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識與方法都可以用來處理幾何問題．本題涉及動點(diǎn)軌跡、動點(diǎn)與多個定點(diǎn)的聯(lián)動關(guān)系，這正是坐標(biāo)法可以發(fā)揮威力的地方，所以我們用解析幾何的方法來解決．下面請生1介紹他的建系方法，以及對建系的思考．

生1：根據(jù)條件CA⊥CB，因此以C為原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系．

師：好．請生1板書解答過程，同學(xué)們按此方法建系求解．

圖1

設(shè)P(x，y)，則由PD2=PA·PB知

兩邊平方得

展開并化簡，得

所以CP2=x2+y2=(x+y)2-2xy

CP2取最小值4．

所以，CP的最小值為2．

師：這是按照生1建系方式的解答過程(實(shí)際上生1沒有完成解答過程，是筆者幫助補(bǔ)充完成的)．我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算過程比較復(fù)雜，而且很多同學(xué)想不到將xy作為整體視為一個變量，導(dǎo)致半途而廢．為什么會如此復(fù)雜呢？是不是這種建系方法沒有充分體現(xiàn)這個問題的幾何特征？有沒有其他建系的方法呢？

生2：根據(jù)等腰直角三角形的對稱性，以D為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系．

師：好．請生2板書解答過程，同學(xué)們按生2的建系方法獨(dú)立解答．

解：如圖2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．則D(0，0)，A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2)．

圖2

設(shè)P(x，y)，由PD2=PA·PB，知

兩邊平方得

(x2+y2)2=(x2+y2+4+4x)(x2+y2+4-4x)，

化簡得x2-y2=2，

所以CP2=x2+(y-2)2=y2+2+y2-4y+4

=2(y-1)2+4．

所以，CP的最小值為2．

師：比較兩種解法，大家有什么想說的？

生：第二種方法簡單多了．

師：請同學(xué)們思考一下，使第二種方法的運(yùn)算相對簡單的原因是什么？

經(jīng)過討論，大家認(rèn)為，第二種方法充分利用了等腰直角三角形的對稱性，使A，B，C，D的坐標(biāo)簡單了，從而簡化了CP的表達(dá)式．

教學(xué)思考等腰直角三角形是本題的“主圖”，學(xué)生想到的上述兩種建系方法其實(shí)都很自然，但不同的建系方法對解答過程的繁簡程度卻產(chǎn)生了很大影響，這給學(xué)生以強(qiáng)烈刺激．實(shí)際上，選用第1種方法建系的學(xué)生較多，他們并沒有考慮如何建系才能簡化CP的表達(dá)式，僅僅根據(jù)條件的“方便”就做出了選擇．此題的解答和反思使學(xué)生認(rèn)識到，認(rèn)真觀察圖形的特征，分析清楚圖形中相關(guān)元素及其基本關(guān)系，再根據(jù)這些特征以及解決問題的需要選擇坐標(biāo)系，這是用坐標(biāo)法解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)之一．

2 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合地分析條件，優(yōu)化解題過程

在分析幾何問題(圖形)的基礎(chǔ)上探索解決問題的思路，是解析幾何的“基本之道”．掌握這一基本之道，是學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合地解決問題的具體表現(xiàn)，也是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的發(fā)展契機(jī)．因此，解析幾何復(fù)習(xí)中，要采取切實(shí)有效的措施，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合觀點(diǎn)分析幾何條件，探索和優(yōu)化解題思路，提升學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法的認(rèn)知水平與應(yīng)用能力．

例1要求學(xué)生根據(jù)圖形的幾何特征和解題需要選擇建系，那么在確定的坐標(biāo)系下解決問題是不是就不需要顧及圖形的幾何特征了呢？為此，筆者選擇下列高考題，要求學(xué)生先作出圖形，認(rèn)真分析題意，思考解題思路并給出解答．

在學(xué)生解答過程中，通過巡視課堂，發(fā)現(xiàn)了有代表性的四種不同解法．筆者讓這些學(xué)生展示自己的解法，并引導(dǎo)學(xué)生對如何利用問題中的幾何條件以簡化解題展開進(jìn)一步討論．

生3：由于A，B是直線F1B與兩條漸近線的交點(diǎn)，因此設(shè)直線F1B方程為y=k(x+c)，與雙曲線漸近線方程聯(lián)立得A，B坐標(biāo)．再利用A為F1B中點(diǎn)，F(xiàn)1B⊥F2B，列關(guān)系式求解．

如圖3，設(shè)直線F1B方程為y=k(x+c),

圖3

由A為F1B中點(diǎn)得

③

①式化簡得，b=3ak；②式化簡得b=3ak；③式化簡得，bk2=b-2ak．

聯(lián)立b=3ak，bk2=b-2ak，消k得b2=3a2，進(jìn)而可得e=2．

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下解題過程，你能發(fā)現(xiàn)其中的問題及其原因嗎？如何改進(jìn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，①、②兩式化簡后的結(jié)果相同，但解釋不清原因．

師：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，分析①、②式的幾何背景．由點(diǎn)A坐標(biāo)的形成過程可知它在直線F1B上(A點(diǎn)坐標(biāo)由直線F1B方程與漸近線方程聯(lián)立而得)，等式xF1+xB=2xA，即①式的幾何背景(元素間的位置關(guān)系)是A為線段F1B的中點(diǎn)．同理，②式的幾何背景也是A為線段F1B的中點(diǎn)．兩者的幾何背景相同，都是點(diǎn)A，F(xiàn)1，B位置關(guān)系的表示．因此①式、②式是等價的，化簡后的結(jié)果自然相同，選擇其中一個化簡即可．形式上看②式比①式簡單，可選擇②式化簡．

教學(xué)思考實(shí)際上，有不少學(xué)生都如生3一樣同時列出①式、②式，不僅在解題過程中做了無用功導(dǎo)致解題效果差，而且有的學(xué)生因為無法解釋化簡后結(jié)果相同而造成困惑，從而影響后續(xù)的解答．有些學(xué)生完成了解答，但以“得出正確答案”為滿足，不注意解題后的回顧與反思，說明解題的盲目性較大，學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，這也是學(xué)習(xí)效率不高、解題能力提高不快的重要原因．這里筆者抓住學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生對代數(shù)表達(dá)式的幾何意義進(jìn)行思考，通過“復(fù)盤”解題思路，找到產(chǎn)生問題的原因，形成優(yōu)化解題思路的策略．

由△F1BF2為直角三角形得

如圖3，不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，B(x，y),

生5：由OA∥F2B與F1A⊥OA可得直線BF2、F1A的斜率和方程，將這兩條直線的方程與漸近線方程聯(lián)立可得A、B的坐標(biāo)，再由A為F1B中點(diǎn)列式求解．

師：這兩種解法簡潔明了．注意生5的解法中只求出A、B的橫坐標(biāo)，而無需求出縱坐標(biāo)．上述三種不同的解法中,都涉及到求點(diǎn)B的坐標(biāo)，請大家分析一下它們的共性與差異．

為了清晰地說明求點(diǎn)B坐標(biāo)的不同方法，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考每種方法產(chǎn)生的幾何背景，使學(xué)生感知形與數(shù)之間的聯(lián)系，體會圖形關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系．通過獨(dú)立思考并進(jìn)行小組討論，學(xué)生逐漸明確了如下問題：

三種方法的共同之處都是從分析圖形的基本結(jié)構(gòu)入手，得到點(diǎn)B的位置特征，再根據(jù)坐標(biāo)法思想，將其位置特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B橫、縱坐標(biāo)間的制約關(guān)系(即橫、縱坐標(biāo)間滿足的代數(shù)關(guān)系式)，最后通過運(yùn)算得到解答．差異在于利用了點(diǎn)B位置特征的不同表征，因而得到的方程組也不同．

從思維過程看，三種解法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，以及借助幾何直觀獲取圖形特征和數(shù)量關(guān)系的信息，都經(jīng)歷了從點(diǎn)B的位置特征到點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系的過程，即從“形”到“數(shù)”的過程．每一種求點(diǎn)B坐標(biāo)的方法都有其特定的幾何背景，都是源于對圖形特征信息的認(rèn)識與加工，都是以點(diǎn)B的位置特征為依據(jù)，是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物．導(dǎo)致解法差異的原因在于對圖形特征信息的認(rèn)識、加工與轉(zhuǎn)化方式的不同，對點(diǎn)B的位置特征理解的不同．

如圖3，由條件知，OA為△F1BF2的中位線，OA∥F2B，∠BF2O=∠AOF1=∠BOF2．

在直角三角形△F1BF2中，|OB|=|OF2|，∠BF2O=∠OBF2．

師：請大家仔細(xì)分析一下這一解法，你能說明生6的解法為什么會那么簡捷嗎？

教學(xué)思考在本題的解答中，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將向量關(guān)系表達(dá)的條件轉(zhuǎn)化為圖形基本元素間的關(guān)系．結(jié)合平面幾何知識得出圖形的幾何特征，再緊緊圍繞圖形的幾何特征建立雙曲線基本量a，b，c間的關(guān)系．我們看到，對圖形幾何特征認(rèn)識的差異和幾何性質(zhì)使用的差異，直接影響著解題過程的簡捷程度．可見，把握幾何圖形的特征、充分運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)、重視平面幾何基本知識的運(yùn)用是解答解析幾何問題的基礎(chǔ)；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將問題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系、以及對問題中的代數(shù)關(guān)系賦予一定幾何意義或給出幾何解釋，從而有效地建立數(shù)與形之間的聯(lián)系是解決解析幾何問題的“靈魂”．對于學(xué)生在解析幾何中出現(xiàn)的問題，老師們的一致看法是“學(xué)生的運(yùn)算技能不過關(guān)”．殊不知，解析幾何中的運(yùn)算是帶有幾何特征的“算”，如果僅僅從代數(shù)運(yùn)算角度分析原因，那么就沒有準(zhǔn)確地反映解析幾何的這一特點(diǎn)，教學(xué)效果也只能是事倍功半．

結(jié)束語

坐標(biāo)法是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn)．面臨具體問題，用數(shù)形結(jié)合的眼光去看，從幾何、代數(shù)的不同角度去分析，就使我們對問題的條件、結(jié)論以及它們的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方式有了多角度的理解，從而也就可以使條件、結(jié)論得到不同形式的表達(dá)，形成多樣化的解題方法，使得幾何直觀、代數(shù)推理綜合地發(fā)揮作用，這就是解析幾何中解決問題的方法總是不唯一，且有方法的難易、代數(shù)運(yùn)算的繁簡之分的原因．事實(shí)上，用坐標(biāo)法解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地看問題，探尋簡潔的解題方法并深入思考其原因，就是在解析幾何中發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措．