淺析分析與代數(shù)中一些解題技巧的交叉應(yīng)用

王昕陽(yáng)

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

每一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科都有其特有的數(shù)學(xué)思想，針對(duì)數(shù)學(xué)特性進(jìn)行研究，可以真正掌握數(shù)學(xué)精神實(shí)質(zhì)，只有充分掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能使計(jì)算發(fā)生作用。初入大學(xué)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生會(huì)認(rèn)為不同學(xué)科對(duì)應(yīng)著不同的思維方式與解題方法，大多數(shù)學(xué)生只會(huì)將學(xué)科與其對(duì)應(yīng)的解題方法進(jìn)行聯(lián)系。在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，將兩者聯(lián)系起來(lái)，才能真正解決數(shù)學(xué)分析疑難點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)分析教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率，完成數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義。為了幫助數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生理解一些數(shù)學(xué)方法的相互關(guān)聯(lián)使用，用本文將以具體實(shí)例來(lái)闡述一些技巧的交叉與應(yīng)用。

一、利用數(shù)學(xué)分析技巧解決高等代數(shù)問(wèn)題

易知每個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)都有唯一的平方根，我們將對(duì)于一般的半正定矩陣考慮其平方根的存在性以及唯一性。

例題2.1：假設(shè)A為n階非負(fù)定矩陣，則存在唯一的n階非負(fù)定矩陣B使得A=B2。

證明：首先證明存在性。先給出正定的定義，實(shí)二次型f（x1，x2，…，xn）稱(chēng)為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)c1，c2，…，cn都有f（c1，c2，…，cn）>0。因A為n階非負(fù)定矩陣，根據(jù)[1]可得存在正交矩陣T以及對(duì)角上全為非負(fù)數(shù)d1，d2，…，dn的對(duì)角矩陣D使得

令F為對(duì)角矩陣D的主對(duì)角元素d1，d2，…，dn的根號(hào)值矩陣，

有B2=BB=T'FTT'FT=T'DT，即得B2=A。則存在性得證。

下面證明這個(gè)平方根的唯一性。假設(shè)存在另一個(gè)非負(fù)定矩陣C使得A=C2，然后證明兩個(gè)非負(fù)定矩陣B、C為同一矩陣即可。以下我們從高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的兩種角度分別考慮。

根據(jù)T，S均為正交矩陣，通過(guò)觀察A的特征值我們不妨假設(shè)di=li2，i=1，2，…，n。

高等代數(shù)方法：將A，B，C看做是n維歐式空間上的線性變換。設(shè)λ0為A的特征值，Vλ0為所對(duì)應(yīng)的特征子空間，因此注意到AB=BA，AC=CA，可得Vλ0為B，C的不變子空間。記則易得B1，C1依然正定，并且，其中E為對(duì)應(yīng)Vλ0上的單位矩陣，所以得到B1=C1。而A可以對(duì)角化，其所有特征子空間的基可組成整個(gè)線性空間的一組基，從而存在一組基使得B，C在其上作用相同，因此B=C。

數(shù)學(xué)分析方法：Stone-Weierstrass定理定義為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式級(jí)數(shù)一致逼近和閉區(qū)間上周期為2π的連續(xù)函數(shù)可用三角函數(shù)級(jí)數(shù)一致逼近。

所以根據(jù)Stone-Weierstrass定理，存在一列實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式

根據(jù)（1），（2）可得

進(jìn)而對(duì)任意實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f（x）我們有

在上式中分別用fk替換f，并令k→+∞，我們可得B=C。證畢。

然而取一組多項(xiàng)式進(jìn)行逼近是數(shù)學(xué)分析里的常規(guī)思路，事實(shí)上在代數(shù)的思想中，處理有限個(gè)數(shù)，通過(guò)范德蒙行列式表明，是存在一個(gè)具體的多項(xiàng)式G，使得i=1，2，…，n。因此，除了數(shù)學(xué)分析中的逼近思想以外，代數(shù)中取具體的多項(xiàng)式也可以得到一樣的結(jié)果。

對(duì)于代數(shù)中常用的克拉默法則，如果線性方程組

的系數(shù)矩陣A的行列式，即系數(shù)行列式d=|A|≠0，那么該線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以通過(guò)系數(shù)表為，其中dj是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…，bn所成的矩陣的行列式。在[1]中有習(xí)題，設(shè)a1，a2，a3，…，an是數(shù)域P中互不相同的數(shù)，b1，b2，b3，…，bn是數(shù)域P中任一組給定的數(shù)，那么用克拉默法則可以證明，存在唯一的數(shù)域P上的多項(xiàng)式f（x）=c0x（n-1）+c1x（n-2）+c2x（n-3）+…+cn-1，使f（ai）=bi，i=1，2，…，n。

以下我們?cè)俳o出一個(gè)利用數(shù)學(xué)分析技巧快速解題的例子。

例題2.2：假設(shè)A是n階<實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。如果存在兩個(gè)n維實(shí)向量X1，X2使得X1tAX1<0，X2tAX2>0，則存在非零的n維實(shí)向量X0使得X0tAX0=0 。

該例子為[2]中一個(gè)習(xí)題，在代數(shù)方法中我們一般會(huì)通過(guò)分別說(shuō)明A的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)都為正數(shù)，繼而構(gòu)造相應(yīng)的X0，我們以下提供一個(gè)數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用介值定理的簡(jiǎn)易證明。

首先易見(jiàn)X1，X2線性無(wú)關(guān)，我們構(gòu)造函數(shù)

f(t）=((1-t）X1+tX2)′A((1-t）X1+tX2)，t∈ [0,1]。

根據(jù)已知f(0)<0，f(1)>0且f(t）在[0,1]上連續(xù)，根據(jù)介值定理，存在t0∈(0,1)使得f(t0）=0。取X0=(1-t0)X1+t0X2，根據(jù)X1，X2線性無(wú)關(guān)，可得X0為非零的n維實(shí)向量且滿足題目要求。證畢。

我們繼續(xù)通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明代數(shù)與分析對(duì)于對(duì)象的結(jié)構(gòu)刻畫(huà)的不同。

例題2.3：假設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在c>0使得A+cE為正定矩陣。

證明：由于A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以顯然對(duì)任意c>0，A+cE仍然為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。我們從特征值和所對(duì)應(yīng)二次型的正定型兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行刻畫(huà)。

高等代數(shù)方法：因?yàn)锳是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以它最多具有n個(gè)特征值均為實(shí)數(shù)，故存在c>0，使得對(duì)任意A的特征值λ，有λ+c>0。注意到λ為A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ+c為A+cE的特征值。故A+cE的特征值全為正數(shù)，因此A+cE為正定矩陣。證畢。

數(shù)學(xué)分析方法：對(duì)任意n維實(shí)列向量x=(x1,x2,…,xn)t∈Rn，定義其長(zhǎng)度為。易見(jiàn)映射x→xtAx為Rn→R的連續(xù)映射，則該映射在有界閉集上有界。記。故對(duì)任意非零n維實(shí)列向量。因此A+cE為正定矩陣。證畢。

二、結(jié)語(yǔ)

高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析雖為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的兩門(mén)基礎(chǔ)課，但是這兩門(mén)課卻貫穿整個(gè)大學(xué)期間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，所以不僅僅要學(xué)好這兩門(mén)課，更重要的是理解兩者的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)待不同的題目靈活使用最恰當(dāng)?shù)姆椒ā?duì)于兩者的區(qū)別，前者研究出發(fā)點(diǎn)是基、變換與空間構(gòu)造等；而后者研究的出發(fā)點(diǎn)是連續(xù)、極限、可導(dǎo)可積，以及各種數(shù)學(xué)變換等等。所以高等代數(shù)從整個(gè)空間著手；而數(shù)學(xué)分析更多研究的是空間內(nèi)部元素的數(shù)理關(guān)系，元素是連續(xù)還是離散的，其變化率是否有某種規(guī)律，是否可求面積體積等。當(dāng)然萬(wàn)變不離其宗，我們不要將兩門(mén)課割裂了再學(xué)習(xí)，它們只是從不同的角度來(lái)看待數(shù)學(xué)的世界。高等代數(shù)關(guān)于空間的深刻研究，通過(guò)基和運(yùn)算法則構(gòu)造空間，同時(shí)可通過(guò)基的變換從不同的角度來(lái)描述空間，這正好對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)分析中各種的變換技巧。數(shù)學(xué)分析中所謂的技巧在高等代數(shù)的角度看來(lái)本質(zhì)都是基的變換，只有對(duì)應(yīng)不同的問(wèn)題情境下采取最合適的一種技巧。

在解題過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，利用分析的技巧可以解決代數(shù)的問(wèn)題，而代數(shù)的方法比較能呈現(xiàn)出直觀的代數(shù)結(jié)構(gòu)，雖然分析方法在一些時(shí)候比較難以刻畫(huà)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，但是通過(guò)局部的刻畫(huà)，有時(shí)也能給出一些較為令人意外的結(jié)果。所以數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生無(wú)論面對(duì)哪門(mén)學(xué)科的題目，都應(yīng)該學(xué)會(huì)從不同的角度看待問(wèn)題，而不是拘泥于某一學(xué)科的固定的思路和方法。