關(guān)于初中數(shù)學(xué)動點問題的解題策略分析

連興銘

摘 要：動點問題，既是中考數(shù)學(xué)試卷中的一個熱點，也是中考數(shù)學(xué)試卷中的一個難點。之所以會成為一個熱點，是因為動點問題能夠更為全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);而之所以會成為一個難點，是因為學(xué)生沒有熟練掌握動點問題的解題策略。文章將在深入分析初中學(xué)生解答動點問題的現(xiàn)實困境的基礎(chǔ)上，結(jié)合一些典型的動點問題案例，圍繞“化動為靜、數(shù)形結(jié)合和明辨類型”等三個方面，詳細(xì)論述解答初中數(shù)學(xué)動點問題的一些有效策略。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);動點問題;解題策略

一、 引言

近年來，動點問題成為中考數(shù)學(xué)的一個熱點，同時，也成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，成為了初中數(shù)學(xué)教師研究的焦點。事實上，動點問題，不僅僅包括“點”動，還包括“線”動和“面”動等。追本溯源，動點問題起源于特殊圖形，如，特殊角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形以及梯形等。因為這些特殊圖形的特殊性質(zhì)，所以產(chǎn)生了中考數(shù)學(xué)中形形色色的動點問題。因為動點問題是歷年中考試卷中壓軸題，綜合性比較強，一道題目中會考查多個知識點，所以有相當(dāng)一部分在解答動點問題類型的題目時，無從下手、經(jīng)常失分。也正因為如此，動點問題成了廣大初中數(shù)學(xué)教師研究的焦點。

二、 解決動點問題的困境

為了指導(dǎo)學(xué)生更為準(zhǔn)確、更為有效地解答動點問題，首先，教師必須要明確學(xué)生解決動點問題的現(xiàn)實困境。唯有如此，教師才能夠“對癥下藥”，才能夠指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握并靈活運用解答動點問題的有效策略。

（一）理不清數(shù)量關(guān)系

學(xué)生解答動點問題的關(guān)鍵在于理清題目中的數(shù)量關(guān)系。然而，相比于普通題目而言，動點問題中既有變量，又有常量。不僅如此，這些常量與變量之間的關(guān)系也若隱若現(xiàn)。正因為如此，有相當(dāng)一部分學(xué)生在解答動點問題類型的題目時，自始至終理不清題目中的數(shù)量關(guān)系。而這也是大部分初中學(xué)生解答動點問題時所面對的一大困境。

例題一：已知在平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°，當(dāng)點P從點A沿邊AB向點B運動，速度為1cm/s，時間為t（s）。當(dāng)t為何值時，△PBC為等腰三角形？

在解答這道題目時，許多學(xué)生覺得無從下手。追本溯源，是因為這部分學(xué)生理不清這道題目中的數(shù)量關(guān)系。

（二）打不開空間思維

相比于普通問題而言，動點問題中所描述的情景是運動的，因此，學(xué)生在解答這類問題的時候，必須要展開豐富的想象力。然而，因為部分學(xué)生空間想象能力有限，所以導(dǎo)致他們對動點問題中所描述的運動情景理解不夠透徹。正因為如此，打不開空間思維是部分學(xué)生解答動點問題所面臨的現(xiàn)實困境之一。

例題二：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P由點A出發(fā)，沿AC向C運動，速度為2cm/s，同時，點Q由AB中點D出發(fā)，沿DB向B運動，速度為1cm/s，連接PQ，若設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t為何值時，（0

在解答這道題目時，因為題目中沒有給出相對應(yīng)的圖形，所以有許多學(xué)生僅僅根據(jù)文字描述，無法想象題目中所描述的動點問題。如此一來，學(xué)生無法打開思維空間，解決動點問題也就困難重重。

（三）找不到解題入口

無論是解答何種類型的題目，學(xué)生都必須要找準(zhǔn)解題入口。在解答動點問題時，部分學(xué)生之所以找不到解題入口，主要是因為他們對動點問題的類型辨識不清。

根據(jù)動點的背景不同，可以將動點問題分為在三角形邊上的動點、在特殊四邊形邊上的動點、在直線上的動點以及在拋物線上的動點等。盡管處于不同圖形上的動點，其解題方法不盡相同，但是，處于相同圖形上的動點，其解題方法是大同小異的。

因此，在解答動點問題時，學(xué)生無法辨識題目類型的根本原因，是對動點問題的各種類型認(rèn)識不夠，而這也是初中學(xué)生解答動點問題所面臨的一個主要困境。

三、 解決動點問題的策略

既然“理不清數(shù)量關(guān)系、打不開思維空間以及找不到解題入口”等，是初中學(xué)生解答動點問題所面臨的主要困境，那么，教師就要想方設(shè)法指導(dǎo)學(xué)生梳理題目中隱含的數(shù)量關(guān)系、拓展學(xué)生解答題目的思維空間以及找準(zhǔn)解答題目的入口等。

（一）以靜制動，梳理數(shù)量關(guān)系

盡管動點問題的關(guān)鍵在于“動”，但是，如果學(xué)生的注意力完全集中在“動”的情景之中，那么，學(xué)生是很難理清題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系的。因此，教師要想方設(shè)法“化靜為動”，進而“以靜制動”并脈絡(luò)清晰地梳理題目中的數(shù)量關(guān)系等。事實上，動也好，靜也罷，都是相對而言的，動點問題中的“動”同樣也是相對的。

教師在指導(dǎo)學(xué)生“以靜制動”解答動點問題時，首先要將題目中的“動點”固定下來，固定在某個位置。之后，在“靜”中探索、總結(jié)、歸納“動”的基本規(guī)律。緊接著，通過不斷探索、完整總結(jié)與系統(tǒng)歸納等，學(xué)生就可以逐漸猜想以及驗證圖形在運動過程中是否存在某種共同的特征。最后，學(xué)生就可以將一個完整的動態(tài)情景“分割”成幾個彼此關(guān)聯(lián)的靜態(tài)情景。聚焦靜態(tài)情景，學(xué)生就可以清晰地梳理出題目中所蘊含的數(shù)量關(guān)系。

例題三：如圖，有一張矩形的紙片，在這張矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)在，我們將這張矩形的紙片折疊。折疊之后，點D的對應(yīng)點，記為點P，而此時產(chǎn)生的折痕則記為EF。緊接著，將折疊過的紙片還原，如果點P正好落在矩形紙片的內(nèi)部，且點E和點F分別在矩形紙片的AD和DC邊上，那么，AP的最小值為多少？

為了引領(lǐng)學(xué)生準(zhǔn)確解答這道與“矩形”相關(guān)的動點問題，教師可以引領(lǐng)學(xué)生在深入淺出分析題目主旨大意的基礎(chǔ)上，“化動為靜”準(zhǔn)確作答，具體過程如下：

師：同學(xué)們，在這道題目中存在幾個動點，分別是什么？

生1：存著一個動點，是P點。

生2：不對吧！P點是矩形紙片對折之后產(chǎn)生的一個新點，盡管它是一個新點，但是，它并不是一個動點，而是一個相對固定的點。

生3：是的，P點不是動點。我覺得矩形紙片中的E點和F點是動點。之所以如此，是因為P點的位置是隨著E點和F點的變化而變化的。

師：是的，從嚴(yán)格意義上來講，P點也是處在變化之中的，是一個動點。但是，P點是運動也好，變化也罷，都是因為E點和F點的變化而變化的。因此，相對而言，P點是一個固定的點，而E點和F點才是真正的動點。那么，我們?nèi)绾尾拍茏孍點和F點，這兩個動點“停下來”呢？

生1：我們可以先將兩個動點中的其中一個固定下來，讓另一個先動。相對而言，這樣能夠簡化問題。

生2：說得有道理。如果我們先將E點固定下來，那么，P點的運動軌跡就是以E點為圓心，以ED為半徑，做一個圓周運動。如此一來，我們就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點F越靠近點C時，AP會越來越小。而當(dāng)點F與點C重合時，AP的值最小。

生3：對呀！當(dāng)F點與C點重合時，這道題也就“化動為靜”了，點F就“停止運動了”。此時的點P在以C（F）為圓心，CD為半徑的圓上面做運動，所以當(dāng)點A、P、C共線時，AP值最小，AP=5-4=1。

由此可見，教師指導(dǎo)學(xué)生“以靜制動”，能夠?qū)狱c問題轉(zhuǎn)換成普通問題，能夠化難為易、化繁為簡，學(xué)生解答動點問題，也就成為水到渠成的事情。

（二）數(shù)形結(jié)合，拓展思維空間

我國近代著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一條必不可少的手段。事實上，在解答動點問題時，有相當(dāng)一部分學(xué)生是因為受到思維空間的限制，所以導(dǎo)致解題困難。而數(shù)形結(jié)合正就是打開這些學(xué)生思維空間的一把金鑰匙。一旦教師以數(shù)形結(jié)合為鑰匙，打開了學(xué)生的思維空間，那么，就可以有效突破解答動點問題的瓶頸。

例題四：如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點。P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D。

（1）求點D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）;

（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時，求m的值。

在這道題目中，P點是一個動點。很顯然，教師在引領(lǐng)學(xué)生分析這道題目中的數(shù)量關(guān)系時，不僅要字斟句酌地研讀文字，還要一絲不茍地觀察坐標(biāo)圖。而這，正是教師引領(lǐng)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，拓展思維空間，解答動點問題的一個具體過程。當(dāng)然，在教育信息化的今天，教師還可以利用玲瓏畫板等信息化手段，真正讓動點問題“動”起來。

（三）明辨類型，找準(zhǔn)解題入口

前面提到，盡管不同類型的動點問題，其解題方法也不盡相同，但是，同一種類型的動點問題，其解題方法是大同小異的。因此，初中教師在引領(lǐng)學(xué)生解答動點問題時，還要學(xué)會明辨類型，即這些動點問題是線段和、線段差中的動點，還是面積問題中的動點，是三角形中的動點，還是四邊形中的動點等。當(dāng)學(xué)生明辨了動點問題的類型之后，就可以找準(zhǔn)解題入口。

例如，如果是線段和、線段差中的動點，那么，學(xué)生可以嘗試?yán)么咕€段最短的問題，解決最大值或最小值的問題，也可以嘗試?yán)萌c共線的特征解決最大值或最小值的問題，還可以嘗試?yán)幂S對稱變換解決最大值或最小值的問題，也可以嘗試?yán)眯D(zhuǎn)變換解決最大值、最小值的問題等。

又如，如果是面積問題中的動點，那么，教師既可以引領(lǐng)學(xué)生將動點與圖形面積的定值作為解題入口，也可以引領(lǐng)學(xué)生將動點與圖形面積的比值作為解題入口，還可以引領(lǐng)學(xué)生將動點與圖形的重疊面積作為解題入口，也可以引領(lǐng)學(xué)生將動點與圖形面積的最大值或最小值作為解題入口等。

當(dāng)學(xué)生逐漸學(xué)會了通過明辨動點問題的類型，尋找解題入口之后，解答動點問題的難度就會明顯下降，解答動點問題的效度就會顯著提升等。

四、 結(jié)語

綜上所述，化動為靜、數(shù)形結(jié)合以及明辨類型是初中學(xué)生解答動點問題的有效策略。在解答動點問題時，這三種策略并不是“孤軍作戰(zhàn)”，而是“協(xié)同作戰(zhàn)”，在化動為靜的過程中，學(xué)生既要明辨類型，還要數(shù)形結(jié)合;在明辨類型的基礎(chǔ)上，還要化動為靜以及數(shù)形結(jié)合等。當(dāng)然，為了切實提升學(xué)生解答動點問題的能力，教師還必須要精心設(shè)計形形色色的關(guān)于動點問題的練習(xí)題，并以這些動點問題練習(xí)題為抓手，組織學(xué)生有的放矢、卓有成效地練習(xí)，讓學(xué)生在高效的練習(xí)中深諳方法、熟能生巧、融會貫通等。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳韌.初中數(shù)學(xué)動點問題的解題策略分析[J].課程教育研究，2018（6）：63

[2]沈小生.初中數(shù)學(xué)動點問題的解題策略研究[J].理科愛好者：教育教學(xué)版，2015（2）：47.