基于類比思想的教學策略與實踐

◎任 玲 （江蘇省邳州市八義集初級中學，江蘇 徐州 221361）

人類總是喜歡比較一些具有相似性質(zhì)的事物，或者習慣于把取得成功的事物之經(jīng)驗應用于另一些相似的事物，這就是類比思想．類比思想是初中數(shù)學學習階段重要的思想方法之一，也是由特殊到特殊的一種推理思想．具體來說，“所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個（兩類）對象進行比較，根據(jù)兩個（兩類）對象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個對象還具有其他的屬性，由此推出另一個對象也具有相似的其他屬性的結(jié)論”．

常用的類比思想有降維類比、簡化類比、結(jié)構(gòu)類比、有限類比四種．在初中數(shù)學教學中，教師運用這些類比思想組織教學，能提升學生分析與解決問題的能力，利于新知的學習，有助于學生鞏固舊知識，達到溫故知新的效果，更有助于開發(fā)學生的智力．所以說類比思想在初中數(shù)學中特別重要，它給初中數(shù)學的教和學的過程帶來了不容小覷的方便和好處．下面筆者將根據(jù)教學實踐談談在初中數(shù)學教學中應用類比思想的幾個教學策略．

一、用降維類比思想助力學生解決問題

我們都知道“維數(shù)”是線性空間理論里面的概念，即線、面、體分別對應著一維、二維和三維空間．所謂降維類比，就是在研究高維問題時，先思考解決與它類似的低維問題，再解決高維問題．降維類比思想能幫助學生簡化探索問題所運用的知識，降低思考的難度，從而順理成章地獲?。?/p>

課例一：探究“勾股定理的應用”

有這樣一個問題：如圖1，一個圓柱形玻璃杯的高度為16 cm，底面周長為30 cm．一只螞蟻在這個玻璃杯外壁上距離玻璃杯上沿4 cm 的點A 處，它發(fā)現(xiàn)與它相對的玻璃杯底部有一滴蜂蜜．這只螞蟻想盡快吃到蜂蜜，求螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B 處的最短距離（玻璃厚度忽略不計）．

圖1

我們知道，螞蟻需要從A 處在外壁沿某條路線爬到玻璃杯上沿的某一點，再沿內(nèi)壁的某條路線爬到B 處，也就是說要求的是這兩段路程之和的最小值．

教師引導：平面圖形中，有一種求解直線上一動點到直線同側(cè)的兩點距離之和最小問題的方法，請大家回顧．

我們先來看這樣一個問題：如圖2，一段高速公路a 的同一側(cè)有A，B 兩個村莊，要在這段高速公路a 上設一個出口P，使A，B 兩個村莊到P 的距離之和最小，如何設？

圖2

學生回顧并展示解決方法：作點A 關(guān)于a 的對稱點A′，連接A′B，則A′B 與a 的交點即為所求的點P．

這時，運用降維類比思想將圓柱的一半側(cè)面展開，作點A 關(guān)于EF 的對稱點A′，可知A′B 的長度即為所求（如圖3）．

圖3

這是一個在立體圖形中求最短距離的問題，我們運用降維類比思想，將其類比轉(zhuǎn)化為在平面圖形中求最短距離的問題加以解決．

二、用簡化類比思想幫助學生理清知識點的區(qū)別與聯(lián)系

簡化類比就是將原問題類比到比原問題更加簡單的類似問題中，即通過類比簡單問題的處理辦法和解題思路，從中獲得啟發(fā)，從而尋求待解決問題的解題思路和處理辦法的過程．

課例二：探究“三元一次方程組的解法”

教師提問：怎樣解二元一次方程組？

學生回顧二元一次方程組的解法．

學生發(fā)現(xiàn)①式中的5y 和②式中的-5y 互為相反數(shù)，故①＋②便可消去未知數(shù)y 得到一元一次方程，從而先求出x，再將x 的值代入①求出y，得到方程組的解．

師：解二元一次方程組的關(guān)鍵是消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．

那么，怎樣解下面這個方程組呢？

生：既然二元一次方程組可以通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，那么三元一次方程組也可以通過消元轉(zhuǎn)化為二元一次方程組．

運用簡化類比思想，將三元一次方程組類比更為簡單的二元一次方程組，從而輕松探究出三元一次方程組的解法．這樣，學生就弄清了三元一次方程組和二元一次方程組的關(guān)系，同時認識到二者的解法又是有區(qū)別的，教學目標從而順利實現(xiàn)．

三、用結(jié)構(gòu)類比思想促進學生建構(gòu)知識體系

不是所有的問題都有現(xiàn)成的類比物可供觀察和借鑒，所以上述的類比思想不是萬能的．那么可以應用定義和性質(zhì)對問題加以類比分析，再借助結(jié)構(gòu)相似性搜尋類比問題，從而將原問題轉(zhuǎn)化成類比問題加以解決．所以，結(jié)構(gòu)類比思想可以幫助學生自主地形成知識體系，讓學生對知識進行整體把握．

課例三：探究“矩形、菱形、正方形的判定”

教師提問：請大家回憶并交流，平行四邊形的判定條件有哪些？ 這些條件是如何得到的？

學生回顧：根據(jù)平行四邊形的邊、角、對角線的性質(zhì)得出逆命題，經(jīng)歷比較、猜想、驗證的探究過程，從而得出平行四邊形的判定條件．

教師追問：矩形有哪些性質(zhì)？

學生：既然平行四邊形的判定條件是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)探究得到的，而矩形又是特殊的平行四邊形，那么也應該根據(jù)矩形的性質(zhì)得出矩形的判定條件．

教師引導，學生為主體，運用結(jié)構(gòu)類比思想探索矩形的判定條件．首先，學生由矩形的性質(zhì)進行逆向思考：邊、角、對角線滿足什么條件的四邊形才能是矩形？ 然后，學生猜想、嘗試、分析、證明、總結(jié)，從而明確矩形的判定條件．

探究“菱形的判定”時，教師先引導學生結(jié)構(gòu)類比矩形的判定條件的探索過程和方法，結(jié)合菱形的性質(zhì)得出菱形的判定條件，最后結(jié)構(gòu)類比矩形和菱形的判定條件的探索過程和方法，進行知識的升華，得出正方形的判定條件．

這樣，運用結(jié)構(gòu)類比思想一步步形成了環(huán)環(huán)相扣的知識鏈，從而把從平行四邊形到矩形、菱形最后到正方形這一系列知識融合為整體，便于學生準確高效地把握各種平行四邊形的性質(zhì)和判定．

四、用有限類比思想增強學生的應用意識和開放性思維

當遇到無限的問題時，如曲線，可以先研究類似的有限問題，如直線，再把解決有限問題所用的方法應用到解決無限問題中，這就是有限類比思想．有限類比思想有助于培養(yǎng)學生的開放性思維，增強學生的應用意識．

課例四：探究“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”

教師提出：請回憶一次函數(shù)的表達式中的自變量和函數(shù)值的取值范圍是什么．

學生：自變量x 和函數(shù)值y 都可以取任意實數(shù)．

教師：一次函數(shù)的圖像是什么樣的？ 畫圖像的一般步驟是什么？

在教師的引導下，學生運用有限類比思想提出新的問題：既然一次函數(shù)的圖像是直線，也就是說直線是一次函數(shù)的圖像，那么曲線是哪種函數(shù)的圖像呢？

教師：反比例函數(shù)的表達式中的自變量和函數(shù)值的取值范圍是什么？ 反比例函數(shù)的圖像是什么形狀的？ 如何畫呢？

學生運用有限類比思想進一步發(fā)現(xiàn)問題：一次函數(shù)的表達式中的自變量和函數(shù)值都可以為0，所以一次函數(shù)的圖像可以與坐標軸相交．但是反比例函數(shù)的表達式中的自變量x≠0，函數(shù)值y≠0，所以反比例函數(shù)的圖像是曲線，而且不能與坐標軸相交．

教師：畫反比例函數(shù)的圖像需要描幾個點呢？

學生運用有限類比思想更進一步發(fā)現(xiàn)問題：畫一次函數(shù)的圖像時，根據(jù)“兩點確定一條直線”只描兩個點便可以準確畫出，但是要想比較準確地畫出反比例函數(shù)的圖像就需要多描點．然后學生類比畫一次函數(shù)的圖像的步驟，即列表、描點、連線，繪制出反比例函數(shù)的圖像．

運用有限類比思想，學生根據(jù)一次函數(shù)的圖像的有關(guān)知識進行拓展延伸，得到反比例函數(shù)的圖像的新知．

結(jié) 語

綜上所述，類比思想對于初中數(shù)學教學有著十分重要的意義．類比思想能讓復雜的問題簡單化，讓抽象的問題具體化，讓分散的知識體系化，可以使學生不滿足已有知識現(xiàn)狀，勇于提出新問題，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識和應用意識，從而使數(shù)學的教與學更加高效，更有價值．