譜共軛梯度算法反演航天器在軌瞬態(tài)外熱流

于 洋，楊國棟，田宇沃，張 航，張慶新

(沈陽航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，沈陽 110136)

地球軌道運行的航天器在軌運行期間，主要受到來自太陽的直接輻射、太陽自地球的反射和來自地球的紅外輻射。衛(wèi)星的空間外熱流對確定衛(wèi)星的極端工況、熱控系統(tǒng)設(shè)計、熱保護系統(tǒng)影響很大。目前，確定衛(wèi)星空間外熱流的方法主要為工況遍歷方式，工作量較大。對衛(wèi)星空間外熱流的計算和分析目前還缺乏行之有效的方法。

因此，為了防止航天器因外部熱流的影響導(dǎo)致熱控制系統(tǒng)故障，J.X.Wang等[1]提出了一種采用分布式熱控制策略的新型主動抽運回路熱控制系統(tǒng)。W.F.Wu等[2]提出了可用于航天器的形狀穩(wěn)定的相變材料(PCM)，該材料具有高導(dǎo)熱性，不需要緊密包裝。但他們并沒有對航天器外熱流進行估計。目前一些研究人員開始對航天器外熱流進行計算，劉洋等[3]等基于積分定義法、平行光線法、近似法和插值法提出了太陽系行星際軌道航天器的外熱流計算方案。李世俊等[4]為了得到準確的二維變姿態(tài)空間相機外熱流數(shù)據(jù)，提出了一種在J2000坐標系下進行二維變姿態(tài)空間相機的外熱流算法。謝吉慧等[5]為提高外熱流模擬的準確性，針對如何確定外熱流模擬裝置與航天器的結(jié)構(gòu)匹配性這個難題，依托三維掃描技術(shù)建立了一套數(shù)字化結(jié)構(gòu)匹配方法，解決了多站測量拼接誤差累積問題。以上在航天器外表面直接測量熱流的方法需要消耗重量、空間和功率等航天資源，加重了航天器運行負擔(dān)。因此本項目考慮非線性反問題的方法辨識航天器表面外熱流。反問題方法是根據(jù)可觀測量的測量值反演系統(tǒng)中的參數(shù)或未知信息。目前，該方法在航空航天領(lǐng)域中的導(dǎo)彈制導(dǎo)[6]、火箭推進系統(tǒng)故障[7]等方面得到了良好的應(yīng)用。熱傳導(dǎo)反問題是反問題的一個分支，一般是通過測量溫度反演和計算熱傳導(dǎo)模型邊界條件的物性參數(shù)。對于熱流的反演，B.Ghadimi等[8]和H.Wang等[9]分別使用了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法反演估計熱流。H.Wang等[10]為了測量表面?zhèn)鲗?dǎo)或?qū)α鞯臒崃髁糠植?，提出了一種基于紅外(IR)技術(shù)和逆熱傳導(dǎo)的非接觸測量方法。M.Cui 等[11-12]對Levenberg- Marquardt 算法進行改進，估計了二維熱傳導(dǎo)方程的邊界熱流。Y.Yu 等[13]提出改進的權(quán)最小二乘差分進化算法辨識鑄坯二維熱傳導(dǎo)模型的換熱系數(shù)。A.V.Nenarokomov等[14]基于熱傳導(dǎo)反問題的方法估算先進材料表面的熱流。宋馨等[15]采用共軛梯度算法反演了航天器的外熱流。

但是這些研究方法并沒有考慮測量誤差對反演結(jié)果的影響。航天器外熱流的反演會產(chǎn)生反問題的不適定性，即測量數(shù)據(jù)中含有少量的誤差就會引起計算結(jié)果偏離真實值很遠，如何解決反演熱流中存在的不適定性，消除測量誤差對反演結(jié)果的影響，是一個值得從理論和實際中研究的問題。因此，本文建立了熱傳導(dǎo)反問題的數(shù)學(xué)模型，提出了基于偏差原則的譜共軛梯度算法，Matlab仿真結(jié)果驗證了本文方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型

本文所研究的航天器外熱流為一維瞬態(tài)導(dǎo)熱問題，一維瞬態(tài)導(dǎo)熱方程為

(1)

式中：T為溫度(K)；τ為時間(s)；k為熱傳導(dǎo)系數(shù)(W/(m·K))；ρ為密度(kg/m3)；cp為比熱容(J/(kg·K))。

內(nèi)側(cè)即朝向航天器內(nèi)部的一側(cè)(x=0)為絕熱邊界條件：

(2)

外側(cè)即朝向外界空間環(huán)境的一側(cè)(x=L) 使用第3類邊界條件:

(3)

式中:q為研究對象的吸收外熱流值(W·m)，包括吸收的太陽輻射、天體的紅外輻射以及天體反照的太陽輻射；ε為半球向發(fā)射率；σ為斯蒂芬-波爾茲曼常數(shù)。初始條件為:

T(x,0)=T0

(4)

式中:T0為初始溫度(K)。

本文研究反問題是通過測量航天器表面溫度數(shù)據(jù)反演出外熱流q值。從式(3)中可看出，由于外界空間環(huán)境中引入了表征輻射熱流的4次方的非線性項，大大增加了導(dǎo)熱反問題的不適定性。因此本文提出了基于偏差原則的譜共軛梯度算法對航天器表面熱流進行反演。

2 基于偏差原則的譜共軛梯度算法對外熱流的反演

2.1 譜共軛梯度算法

共軛梯度法的目標函數(shù)為

(5)

其中Tcal,n為溫度計算值(K)；Tmea,n為溫度在軌遙測值(K)；n為測量溫度點的數(shù)量，外熱流值q=[q1,…,qn]，其迭代式為

qb+1=qb+db

(6)

其中b為迭代次數(shù)；db的計算式為

(7)

(8)

(9)

由式(5)對qn求微分得到計算式

(10)

(11)

譜共軛梯度法的收斂標準可由偏差原則[16]得到。偏差原則的表述為

(12)

2.2 基于偏差原則的譜共軛梯度算法對熱流的反演

步驟1：求解熱傳導(dǎo)方程(1)得到與測量點對應(yīng)的溫度值Tcal,i;

步驟3：根據(jù)溫度計算值，判讀是否滿足偏差原則;如果滿足，則停止迭代，否則，轉(zhuǎn)入步驟4；

步驟4：根據(jù)公式(7)公式計算迭代方向db；

3 仿真驗證與結(jié)果分析

研究對象為高度30 mm的鋁合金圓柱體，圓柱體除一個端面朝向空間環(huán)境通過輻射交換熱量外，其余各面均為絕熱邊界。因此沿軸向可視為一維導(dǎo)熱；計算網(wǎng)格為沿軸向劃分5個節(jié)點;熱物理參數(shù)取值為密度ρ=2 700 kg/m3，比熱容cp=900 J/(kg·K)，熱傳導(dǎo)系數(shù)k=120 W/(m·K)，輻射邊界半球向發(fā)射率ε=0.6。

數(shù)值試驗1給出1組吸收外熱流值qmeq,如圖1所示。數(shù)值試驗1給出的吸收外熱流曲線能夠代表目前多數(shù)地球軌道航天器和深空探測航天器在軌吸收外熱流變化趨勢。采樣取出一組離散點qn，通過求解導(dǎo)熱正問題得到溫度測量值Tmea并作為導(dǎo)熱反問題的輸入條件，采用譜共軛梯度法反演吸收外熱流值qcgm。共軛梯度法迭代200次后滿足停止準則，查看導(dǎo)熱反問題反演出的溫度值Tcgm與測量溫度值Tmea,從圖2可以看到兩者符合得很好。圖 3 為導(dǎo)熱反問題反演出的吸收外熱流值qcgm與真實值qmea的比較。為了更好地觀察譜共軛梯度法反演結(jié)果，給出目標函數(shù)J隨迭代次數(shù)的變化情況，將其與文獻[15]的共軛梯度算法進行對比，對比結(jié)果如圖4所示。從對比的結(jié)果可以看出，本文提出的譜共軛梯度算法可以加快算法的收斂速度，減少迭代次數(shù)。

圖1 吸收外熱流曲線

圖2 溫度反演值與測量值的比較

圖3 數(shù)值試驗1的吸收外熱流反演值與真實值比較

圖4 目標函數(shù)J隨迭代次數(shù)的變化情況

為了驗證算法消除不適定性的性能，在測量值Tmea上加入2%的誤差，再次反演出新的外熱流值qerr，并與真實值qmea做比較，其比較結(jié)果如圖5所示。將求出與qmea的相對偏差的絕對值，在圖6中給出。最終得出當(dāng)測量值中加入2%的測量誤差后，反演值與真實值的最大相對偏差為3.68%，表明了本文的基于偏差原則的譜共軛梯度方法能夠克服反問題的不適定性。

圖5 數(shù)值試驗1的吸收外熱流誤差反演值與真實值比較

圖6 反演熱流qmea值的相對偏差

4 結(jié)論

本文研究了航天器設(shè)備在軌遙測溫度值反演出航天器瞬態(tài)外熱流的反問題方法。首先建立了反演航天器表面熱流的數(shù)學(xué)模型；其次為了消除反問題的不適定性和加快共軛梯度算法的收斂速度，本文提出了基于偏差原則的譜共軛梯度算法；最后根據(jù)大多數(shù)地球軌道航天器以及深空探測航天器在軌吸收外熱流的特點進行仿真實驗，利用數(shù)值實驗對本文的算法進行了驗證。計算結(jié)果表明本文研究的方法能夠反演出航天器的外熱流，并且基于偏差原則的譜共軛梯度算法加快了算法的收斂速度，克服了測量誤差對反演結(jié)果的不適定性。航空器外熱流反演的研究，可以避免航天器熱控系統(tǒng)故障，為研制形狀穩(wěn)定的相變材料的研究提供幫助。