壽命服從Weibull分布時高價值彈藥導彈抽樣方法

牛躍聽， 趙暉， 李妍， 穆希輝， 張國志

(1.沈陽理工大學 裝備技術研究院， 遼寧 沈陽 110159; 2.32181部隊， 河北 石家莊 050000; 3.哈爾濱理工大學 數(shù)學系， 黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

近期局部戰(zhàn)爭表明，高價值彈藥導彈已成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭依賴的主要彈種。世界各國爭相研制、裝備大量的高價值簡易制導彈藥、導彈。研制生產(chǎn)單位通常會給出高價值彈藥導彈一個大概的質(zhì)保期，如10 a、5 a. 但是，由于高價值彈藥結構的復雜性、構成材料的多樣性，以及其承受不同環(huán)境載荷的差異性[1]，導致這個給定的質(zhì)保期往往和其實際壽命有很大差異，一般給出的質(zhì)保期都較為保守。

針對臨近質(zhì)保期的高價值彈藥導彈，世界各國通常的作法是：選取一定數(shù)量的高價值彈藥導彈開展壽命試驗[2-4]，同時結合自然貯存歷程中的環(huán)境載荷，分析光學、機械、電子、化學等部組件失效模式、失效機理[5]，分析各部組件壽命匹配的差異性，揚長補短進行延壽修復[6-10]，此舉可節(jié)約大筆軍費，經(jīng)濟效益顯著。表1為美軍和我軍部分高價值彈藥導彈延壽情況。

表1 部分戰(zhàn)術導彈、火箭彈、末敏彈延壽情況

表1中的數(shù)據(jù)來源于美軍導彈研究發(fā)展工程中心的導彈壽命周期系統(tǒng)工程面臨的挑戰(zhàn)[11]和我軍有關研究成果。

在高價值彈藥導彈貯存期間內(nèi)的不同階段，抽取一定數(shù)量的樣本進行可靠性試驗時，由于諸多方面的原因，不能像傳統(tǒng)低價值彈藥那樣獲取同年份批次、大樣本來試驗，通常希望通過最小數(shù)量的試驗樣本進行統(tǒng)計推斷[12]。但是，樣本容量少，推斷的精度就要減??；另外，高價值彈藥導彈貯存年限不一，如何對其抽樣也對統(tǒng)計推斷的精度產(chǎn)生影響。高價值彈藥導彈樣本數(shù)量的確定問題，至今領域內(nèi)沒有明確的科學依據(jù)，各單位只是根據(jù)工程實踐經(jīng)驗，選取6～12個樣本進行評估，缺乏必要的理論依據(jù)，有很大的主觀隨意性，對于“抽取多少枚樣本進行壽命評估、抽取貯存了多長時間的樣本、抽取的樣本量和壽命評估精度之間的關系”這一現(xiàn)實問題，很難給出令人信服的答案。

1 考慮貯存時間因素的高價值彈藥導彈抽樣模型

在統(tǒng)計學中,從母體中抽取一個子樣, 確定最少樣本個數(shù)，也就相當于確定最小子樣容量。文獻[13]研究了機械行業(yè)產(chǎn)品在疲勞壽命試驗過程中最少樣本容量的確定方法。高價值彈藥導彈樣本抽樣有其自身特點：可供研究的樣本數(shù)量少、樣本的貯存限對壽命評估有一定的影響[14]、貯存期內(nèi)有大量的質(zhì)量監(jiān)測數(shù)據(jù)。統(tǒng)計分析這些檢測數(shù)據(jù)，假設其服從正態(tài)分布、指數(shù)分布、極值分布、Weibull分布等，運用統(tǒng)計學方法可以得到其最為合適的自然貯存壽命分布函數(shù)[15-16]。

貯存的高價值彈藥導彈定期進行質(zhì)量狀態(tài)檢測，抽樣模型符合定時截尾特征。高價值彈藥導彈抽樣時間示意圖如圖1所示。圖1中，X′為貯存期內(nèi)高價值彈藥導彈壽命變量，X為貯存t1時間后的高價值彈藥導彈壽命變量，Xt2為貯存t2時間后的高價值彈藥導彈壽命變量。

圖1 高價值彈藥導彈抽樣時間圖示Fig.1 Sample time for high-value ammunitions

取分別來自總體Xt1(貯存t1時間后)及Xt2(貯存t2時間后)的兩組樣本，采用定時截尾樣本：

1) 設a1

2) 設q1

統(tǒng)計分析我國某型高價值彈藥導彈長期檢測數(shù)據(jù)，抽測數(shù)量為××××枚，通過壽命分布函數(shù)擬合，得出：其自然貯存壽命服從Weibull分布，且形狀參數(shù)m=2.3.

(1)

變換形式后，得

(2)

(3)

(4)

(5)

由(5)式可得

(6)

數(shù)理統(tǒng)計學中有重期望公式：

E(Z)=EE(Z|K).

(7)

因此，在給定ht0條件下，(4)式可變換為

(8)

在高價值彈藥導彈可靠性評估中，由于Xt0服從Weibull分布，所以高價值彈藥導彈樣本壽命的數(shù)學期望為

(9)

將μ置信度為1-α的置信下限估計記為L，可得

(10)

高價值彈藥導彈可靠性評估采用如(11)式精度度量方式：

(11)

式中：n為高價值彈藥導彈樣本的容量。

聯(lián)立(8)式、(9)式、(10)式、(11)式，可得

(12)

r2即為滿足一定評估精度要求條件下，所需要的最小失效樣本數(shù)量。由于高價值彈藥導彈可供研究的樣本數(shù)量少，因此在工程實踐中為了使其樣本量達到最小(滿足一定評估精度前提下)，可取最小樣本容量與r2相等，即：通過壽命試驗，使得選取最小樣本容量的高價值彈藥導彈全部失效，進而通過統(tǒng)計分析的方法評估其壽命。

設定某個精度δ>0，精度要求滿足δn≤δ條件的最小樣本容量n可由(13)式求出：

(13)

運用(13)式可以計算得出滿足一定可靠性評估精度要求下，不同貯存時間高價值彈藥導彈的最小樣本容量。

2 ht0的估計

由數(shù)理統(tǒng)計學F分布函數(shù)的定義可知：

(14)

(15)

那么，由數(shù)理統(tǒng)計學可知：

ht0置信度為1-α的置信區(qū)間為

(16)

若ht0服從均勻分布，即ht0～U(a,b),0

(17)

(18)

4 算例

抽測了某型高價值彈藥導彈長期檢測數(shù)據(jù)，抽測數(shù)量范圍××××枚，通過壽命分布函數(shù)擬合，獲得某型高價值彈藥導彈壽命符合Weibull分布，且形狀參數(shù)m=2.3. 其中分別在2011年和2013年抽測的2005年生產(chǎn)某型高價值彈藥導彈統(tǒng)計失效情況如見表2所示，并對數(shù)據(jù)進行了分析(見表3和表4)。

表2 2005年生產(chǎn)的某型高價值彈藥檢測情況

表3 2011年檢測數(shù)據(jù)分析

表4 2013年檢測數(shù)據(jù)分析

取置信度1-α=0.9，查表得：

由(16)式可得ht0(0

表5 最小樣本容量與可靠性評估精度計算結果

由表5分析可知：

1) 針對2005年生產(chǎn)的某型高價值彈藥導彈，在2013年抽樣并進行可靠性試驗時，在置信度0.9、可靠性評估精度指標0.15條件下，最小樣本容量取9.

2) 在同一置信度下，可靠性評估精度指標要求越高(δ數(shù)值越小)，需要的某型高價值彈藥導彈最小樣本數(shù)量越多。

5 結論

1) 高價值彈藥導彈壽命評估中，可供試驗研究的樣本少，對評估精度影響較大，需要利用統(tǒng)計推斷的理論方法，合理地確定最小樣本容量，為科學評估其貯存壽命提供理論支撐。

2) 高價值彈藥壽命服從Weibull分布時，本文定義了其精度度量方式，研究了樣本容量、貯存時間、可靠性評估精度之間的內(nèi)在關系，給出了揭示三者關系的數(shù)學公式，解決了單發(fā)價值高、可供試驗研究的樣本少、貯存年限不一的高價值彈藥導彈可靠性試驗最小樣本容量問題。

3) 任何理論都有使用范圍，本研究中的模型要求p0(p0是[0，t0]區(qū)間高價值彈藥導彈的失效率)比較小。工程實際中，貯存10 a的某型高價值彈藥導彈失效率低于5‰，符合這一要求。如果p0大了，模型的誤差就會變大，本文中結論就不再成立。