帶推力高超聲速飛行器非連續(xù)點(diǎn)火再入軌跡研究

藺君， 何英姿， 黃盤(pán)興

(1.北京控制工程研究所， 北京 100190； 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100190)

0 引言

高超聲速飛行器再入包含飛行器控制、制導(dǎo)與規(guī)劃等方面，是一個(gè)高度復(fù)雜的綜合性問(wèn)題。再入軌跡規(guī)劃是分析飛行器再入能力的重要手段，是現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)中的重要內(nèi)容。特別是針對(duì)現(xiàn)代隨控布局飛行器，軌跡規(guī)劃影響著總體、氣動(dòng)布局、制導(dǎo)控制、動(dòng)力和結(jié)構(gòu)等多個(gè)分系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

再入軌跡規(guī)劃包含直接法和間接法。直接法通過(guò)將連續(xù)的最優(yōu)控制問(wèn)題離散化、參數(shù)化，轉(zhuǎn)化為包含優(yōu)化指標(biāo)及參數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，利用優(yōu)化方法得到最優(yōu)解。間接法則基于極值原理和變分法將最優(yōu)控制變量表示成狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量的函數(shù)，將最優(yōu)軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為哈密頓邊值問(wèn)題(HBVP)，通過(guò)求解該HBVP，獲得相應(yīng)的最優(yōu)控制變量和最優(yōu)軌跡[1]。

間接法求解最優(yōu)軌跡問(wèn)題時(shí)，協(xié)態(tài)方程與橫截條件等求解過(guò)程復(fù)雜繁瑣，且對(duì)初值估計(jì)精度要求較高。高超聲速飛行器的非線(xiàn)性特性及再入過(guò)程的多種約束條件，進(jìn)一步增加了間接法求解過(guò)程的復(fù)雜度[2]。無(wú)實(shí)際物理意義的協(xié)態(tài)變量加大了初值估計(jì)的難度；在含有路徑約束時(shí)，必須將路徑約束轉(zhuǎn)化為終端約束才能解算；含隱式約束條件時(shí)，相應(yīng)的Legendre乘子很難消去，進(jìn)一步加大了計(jì)算量。間接法的這些局限性限制了其應(yīng)用和發(fā)展。直接法根據(jù)參數(shù)化方法的不同，可分為僅離散控制變量的直接打靶法和同時(shí)離散控制變量與狀態(tài)變量的配點(diǎn)法。單純離散化和參數(shù)化控制輸入的直接打靶法對(duì)初值較為敏感。直接配點(diǎn)法則同時(shí)離散化和參數(shù)化控制和狀態(tài)，為了克服等距離配點(diǎn)易引起“龍格”現(xiàn)象，正交配點(diǎn)法(也稱(chēng)為偽譜法)選取全局插值多項(xiàng)式近似狀態(tài)量和控制量[3]。

高斯偽譜法(GPM)是Benson在Legendre偽譜法基礎(chǔ)上提出的一種改進(jìn)方法[4]。GPM將狀態(tài)和控制時(shí)間歷程在一系列高斯點(diǎn)上離散化，然后用這些離散的狀態(tài)與控制分別構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式去逼近真實(shí)的狀態(tài)與控制，再通過(guò)對(duì)狀態(tài)量求導(dǎo)來(lái)代替動(dòng)力學(xué)微分方程，將連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為受一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。GPM可保證轉(zhuǎn)化得到的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題卡羅需- 庫(kù)恩- 塔克(KKT)條件均與其1階最優(yōu)性條件兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的離散形式完全等價(jià)。Huntington對(duì)Benson的工作做了進(jìn)一步擴(kuò)展，證明了在動(dòng)力學(xué)約束和路徑約束同時(shí)存在的條件下，用GPM離散得到的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題KKT條件仍與HBVP等價(jià)[5]。

基于偽譜法的軌跡優(yōu)化，已在貨運(yùn)飛船返回艙返回軌道設(shè)計(jì)[6]、火箭上升段軌跡優(yōu)化[7-8]及在線(xiàn)軌跡優(yōu)化和再入制導(dǎo)[9]、月球定點(diǎn)著陸[10]、制導(dǎo)炸彈最大射程優(yōu)化[11]、高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化[3]以及帶有禁飛區(qū)[12-14]、航路點(diǎn)約束[15]、總吸熱量約束[16]的再入軌跡優(yōu)化等領(lǐng)域得到應(yīng)用。為了提高軌跡優(yōu)化的時(shí)效性，火箭返回著陸軌跡優(yōu)化結(jié)合凸優(yōu)化理論及方法，對(duì)推力進(jìn)行無(wú)損松弛，快速得到再入優(yōu)化軌跡[17]。

然而，針對(duì)高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化這一問(wèn)題，現(xiàn)階段研究較多的是針對(duì)無(wú)動(dòng)力再入展開(kāi)。為了提高再入過(guò)程飛行器的任務(wù)靈活性和機(jī)動(dòng)能力，發(fā)展帶推力高超聲速飛行器，可在再入過(guò)程中進(jìn)行多次點(diǎn)火、熄火，從而改變飛行器再入軌跡和落點(diǎn)。本文針對(duì)再入過(guò)程中多次點(diǎn)火這一需求，展開(kāi)帶推力高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化研究。

1 帶推力高超聲速飛行器再入軌跡規(guī)劃建模

1.1 帶推力再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

考慮如下帶推力高超聲速飛行器再入動(dòng)力學(xué)模型[18]：

(1)

式中：r為地心距；θ為經(jīng)度；φ為緯度；v為飛行器飛行速度；γ為航跡角；ψ為航向角；T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；α為攻角；FD為阻力，F(xiàn)D=ρv2CDSref2，ρ為大氣密度，CD為阻力系數(shù)，Sref為飛行器參考面積；m為飛行器質(zhì)量；g為重力加速度；Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度；FL為升力，F(xiàn)L=ρv2CLSref2，可通過(guò)國(guó)際大氣數(shù)據(jù)表查得，CL為升力系數(shù)；σ為傾側(cè)角；ce為發(fā)動(dòng)機(jī)燃料質(zhì)量流量。

1.2 再入約束

為了保證飛行器結(jié)構(gòu)安全，飛行器再入過(guò)程需要滿(mǎn)足如下動(dòng)壓、過(guò)載、熱流密度等強(qiáng)約束條件：

動(dòng)壓：

Q=ρv2/2≤Qmax,

(2)

過(guò)載：

(3)

熱流密度：

(4)

為成功保證飛行任務(wù)，飛行器接近任務(wù)終端時(shí)，需要滿(mǎn)足終端約束條件，通常包括如下約束：

終端高度約束：

|hf-h|≤Δh,

(5)

式中：hf為終端高度；h為高度；Δh為高度允許偏差。

終端速度約束：

|vf-v|≤Δv,

(6)

式中：vf為終端速度；Δv為速度允許偏差。

落點(diǎn)位置約束：

|θf(wàn)-θ|≤Δθ，|φf(shuō)-φ|≤Δφ,

(7)

式中：θf(wàn)為終端經(jīng)度；Δθ為經(jīng)度允許偏差；φf(shuō)為終端緯度；Δφ為緯度允許偏差。

飛行器再入過(guò)程中需要考慮控制量約束，即

|α|≤αmax，|σ|≤σmax,

(8)

式中：αmax為最大攻角；σmax為最大傾側(cè)角。

帶推力再入飛行器還應(yīng)滿(mǎn)足如下發(fā)動(dòng)機(jī)工作總時(shí)長(zhǎng)約束：

(9)

式中：N為發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火次數(shù)；κν為第ν次點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)；tz由發(fā)動(dòng)機(jī)比沖及推進(jìn)劑總量決定。

2 再入軌跡優(yōu)化方法

2.1 高斯偽譜法

考慮如下一般性非線(xiàn)性系統(tǒng)：

(10)

式中：t為時(shí)間；x(t)為狀態(tài)；u(t)為控制輸入；t0為初始時(shí)間；tf為終端時(shí)間。

再入過(guò)程應(yīng)滿(mǎn)足的邊界條件為

Υ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0,

(11)

路徑約束為

Γ(x(t),u(t),t)≤0.

(12)

對(duì)一般性的Bolza型最優(yōu)控制性能指標(biāo)，形如(13)式，

(13)

式中：Φ(x(t0),t0,x(tf),tf)表示初始和終端狀態(tài)性能指標(biāo)；G(x(t),u(t),t)表示積分性能指標(biāo)。

(14)

(11)式可改寫(xiě)為

Υ(x(-1),t0,x(1),tf)=0,

(15)

(12)式可改寫(xiě)為

Γ(x(τ),u(τ),τ)≤0,

(16)

(13)式可改寫(xiě)為

(17)

高斯偽譜法通過(guò)選取M階Legendre-Gauss(LG)點(diǎn)，并以τ0τ(0)=-1為初始節(jié)點(diǎn)，在LG點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)方程進(jìn)行離散[19]。

(14)式在選取的LG節(jié)點(diǎn)可改寫(xiě)為代數(shù)約束形式，即

(18)

式中：Dki為微分矩陣，由Legendre多項(xiàng)式遞推關(guān)系及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式迭代計(jì)算；X(τk為狀態(tài)變量x在LG節(jié)點(diǎn)τk處的值；U(τk為輸入量u在τk處的值；f(X(τk),U(τk);t0,tf)表示(10)式在LG節(jié)點(diǎn)τk處的值。

(17)式由高斯積分公式，可近似為

(19)

式中：τf為終端歸一化時(shí)間；ωk為L(zhǎng)G點(diǎn)權(quán)值；G(X(τk),U(τk),τk;t0,tf)表示積分性能指標(biāo)G(x(t),u(t),t)在LG節(jié)點(diǎn)τk處的值。

則(14)式在終端時(shí)刻可轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束，即

(20)

同理，(15)式在LG節(jié)點(diǎn)離散化后，近似為

Υ(X(τ0),t0,X(τf),tf)=0,

(21)

于是(16)式變?yōu)?/p>

Γ(X(τk),U(τk),τk;t0,tf)≤0,k=1,2,…,M.

(22)

最終，(14)式～(17)式的解，可通過(guò)求解含有多種約束條件(18)式～(22)式的非線(xiàn)性規(guī)劃來(lái)確定。

2.2 分段高斯偽譜法

帶推力高超聲速飛行器發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)機(jī)時(shí)間對(duì)再入軌跡影響顯著。發(fā)動(dòng)機(jī)的不連續(xù)點(diǎn)火將再入軌跡分割成多個(gè)階段，再入軌跡在優(yōu)化過(guò)程中需要考慮分段點(diǎn)處系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入的連接問(wèn)題。

假設(shè)1每次點(diǎn)火時(shí)刻為tν，點(diǎn)火推進(jìn)時(shí)長(zhǎng)為κν，ν= 1, 2,…,N.

忽略發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)機(jī)的動(dòng)態(tài)特性，帶推力高超聲速飛行器再入過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火N次，則利用高斯偽譜法進(jìn)行再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題被分為2N+1段。若每段包含LG節(jié)點(diǎn)數(shù)均為K，則分段高斯偽譜法總的配點(diǎn)數(shù)為(2N+1)×(K+1)+1. 假設(shè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維度為n，系統(tǒng)控制輸入維度為q，則分段高斯偽譜法總的優(yōu)化參數(shù)量為((2N+1)×(K+1)+1)×(n+q)。

(23)

從而總的性能指標(biāo)為

(24)

在各個(gè)時(shí)間區(qū)間，路徑約束和邊界約束為

(25)

(26)

(14)式在離散高斯點(diǎn)轉(zhuǎn)化為如下多段代數(shù)方程：

(27)

在各個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，終端狀態(tài)約束為

(28)

為了保證各段區(qū)間的連續(xù)性，系統(tǒng)狀態(tài)和時(shí)間應(yīng)滿(mǎn)足如下條件：

(29)

在各個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)控制輸入及飛行器質(zhì)量還應(yīng)滿(mǎn)足如下連續(xù)性約束：

(30)

帶推力高超聲速飛行器采用分段GPM進(jìn)行再入軌跡優(yōu)化時(shí)，飛行器的控制輸入選取為攻角和傾側(cè)角。

在各個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)控制輸入及飛行器質(zhì)量還應(yīng)滿(mǎn)足連續(xù)性約束。即對(duì)于采用火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在再入段進(jìn)行推進(jìn)以增加飛行器機(jī)動(dòng)能力和飛行航程時(shí)，推進(jìn)劑耗盡后，如果本級(jí)火箭推進(jìn)器被拋掉，則此時(shí)飛行器總質(zhì)量應(yīng)滿(mǎn)足：

(31)

由于飛行器重量及結(jié)構(gòu)限制，再入飛行器多級(jí)點(diǎn)火增加飛行器航程及機(jī)動(dòng)能力的方式不能采用過(guò)多級(jí)的推進(jìn)器。本文假設(shè)飛行器可最多進(jìn)行2次點(diǎn)火助推，以兼顧性能提升和結(jié)構(gòu)限制。

通過(guò)如上數(shù)值離散化，帶推力高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題即可以轉(zhuǎn)化為分段高斯偽譜法求解目標(biāo)函數(shù)(23)式和(24)式、路徑約束(25)式、邊界條件約束(26)式、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程(27)式、終端狀態(tài)約束(28)式及分段高斯偽譜法連續(xù)性約束(29)式、(30)式或(31)式的最優(yōu)控制問(wèn)題。

3 仿真校驗(yàn)

以美國(guó)波音公司CAV-H高超聲速飛行器為例，對(duì)再入飛行器無(wú)動(dòng)力再入與帶推力再入進(jìn)行對(duì)比。飛行器質(zhì)量m=907.2 kg，參考面積Sref=0.483 9 m2，Kn=1.65×10-8.

3.1 氣動(dòng)數(shù)據(jù)建模及攻角剖面

由CAV-H飛行器氣動(dòng)力系數(shù)，將其進(jìn)行近似化處理，阻力系數(shù)和升力系數(shù)[20-21]可描述為

CD=0.024 67+0.000 714 3α2+0.325 2e-0.279Ma,

(32)

CL=-0.234 2+0.051 36α+0.294 3e-0.100 7Ma，

(33)

式中：Ma為馬赫數(shù)。

由(32)式和(33)式給出的飛行器阻力系數(shù)和升力系數(shù)，可得到CAV-H飛行器最大升阻比攻角剖面，如圖1所示。

圖1 最大升阻比攻角剖面Fig.1 Angle of attack profile for max lift-to-drag ratio

假設(shè)CAV-H飛行器再入的初始條件和終端條件如表1所示。

表1 再入初始和終端條件

3.2 無(wú)動(dòng)力再入軌跡規(guī)劃

選取目標(biāo)函數(shù)為橫向航程最大，在選取初始航向角為90°時(shí)，最大橫向航程可等效為最大緯度，即J=maxφf(shuō)，φf(shuō)為終端時(shí)刻緯度。在MATLAB軟件仿真環(huán)境下，利用GPM進(jìn)行軌跡規(guī)劃，無(wú)動(dòng)力再入過(guò)程優(yōu)化變量為攻角和傾側(cè)角。采用文獻(xiàn)[20]中的方法，得到無(wú)動(dòng)力再入軌跡。

仿真結(jié)果表明，再入軌跡的最大橫向航程可達(dá)48.136 7°，約為5 358.4 km，縱向航程可達(dá)50.690 5°，約為5 642.7 km. 高超聲速飛行器再入軌跡，包括高度、速度、航跡傾斜角、航跡方位角、終端條件均可滿(mǎn)足，且再入攻角和傾側(cè)角均位于控制輸入邊界以?xún)?nèi)；動(dòng)壓、過(guò)載、熱流密度均小于允許的最大值。無(wú)動(dòng)力再入時(shí)，高超聲速飛行器再入軌跡較平滑。

3.3 再入點(diǎn)火時(shí)刻點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)分析

在無(wú)動(dòng)力再入軌跡優(yōu)化基礎(chǔ)上，分別在不同時(shí)刻施加發(fā)動(dòng)機(jī)推力，并考慮再入過(guò)程路徑約束和邊界約束，研究發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻以及點(diǎn)火助推時(shí)長(zhǎng)對(duì)再入飛行器估計(jì)的影響。選取如圖2所示A、B、C、D共4個(gè)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)再入初始時(shí)刻A、再入過(guò)程中度過(guò)最大熱流密度時(shí)刻后，飛行器高度再次達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)刻C、點(diǎn)火時(shí)刻A和點(diǎn)火時(shí)刻C對(duì)應(yīng)中間高度時(shí)刻B，此時(shí)飛行器處于接近最大下降速度以及將近飛行器接近半程航程時(shí)刻D.

3.3.1 再入點(diǎn)火時(shí)刻分析

假設(shè)2發(fā)動(dòng)機(jī)空質(zhì)量為18 kg，推力為10 kN，發(fā)動(dòng)機(jī)比沖Isp為260 s，助推時(shí)間為20 s.

發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火后，一次性充分燃燒推進(jìn)劑，完成助推。由ce=T/(Ispg0)(g0為海平面重力加速度)可知，質(zhì)量流量為3.925 2 kg/s. 由假設(shè)2可知，推進(jìn)劑總質(zhì)量為78.5 kg.

圖2 帶推力再入點(diǎn)火時(shí)刻Fig.2 Ignition timing of powered reentry

帶推力飛行器再入初始質(zhì)量為1 003.7 kg，采取與無(wú)動(dòng)力再入相同的初始條件(見(jiàn)表1)及約束條件，在給定A、B、C、D4個(gè)時(shí)刻分別進(jìn)行點(diǎn)火助推。帶推力飛行器達(dá)到終端時(shí)刻質(zhì)量為飛行器質(zhì)量與發(fā)動(dòng)機(jī)空質(zhì)量之和，為925.2 kg. 帶推力再入與無(wú)動(dòng)力再入終端狀態(tài)如表2所示。

圖3所示為點(diǎn)火時(shí)刻助推軌跡。由圖3可見(jiàn)，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火助推可滿(mǎn)足再入軌跡對(duì)終端狀態(tài)的約束包括速度和高度要求。飛行器在再入初期維持大攻角，飛行器氣動(dòng)力達(dá)到一定臨界值后，飛行器轉(zhuǎn)入最大升阻比攻角飛行器，以獲得最大的飛行航程和側(cè)向航程。由圖3(a)可見(jiàn)，發(fā)動(dòng)機(jī)在時(shí)刻A和時(shí)刻B點(diǎn)火后，飛行器再入軌跡變化不大，基本與再入無(wú)動(dòng)力軌跡類(lèi)似，但飛行時(shí)間、橫程、縱程較無(wú)動(dòng)力明顯增大。在點(diǎn)火時(shí)刻C和時(shí)刻D點(diǎn)火后，飛行器軌跡出現(xiàn)小幅波動(dòng)。飛行器在到達(dá)時(shí)刻C之前，氣動(dòng)力已經(jīng)產(chǎn)生明顯作用，通過(guò)點(diǎn)火增加飛行器速度后，為了滿(mǎn)足飛行器終端約束保證速度和高度要求，再入軌跡需要進(jìn)行多次調(diào)整，導(dǎo)致軌跡出現(xiàn)一定波動(dòng)。

表2 不同點(diǎn)火時(shí)刻助推及無(wú)動(dòng)力再入終端狀態(tài)對(duì)比

由圖3仿真結(jié)果可知，帶推力高超聲速飛行器可大幅提高飛行器再入射程。發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)間越早，飛行器射程增加越大，但飛行器飛行時(shí)間也越長(zhǎng)，導(dǎo)致飛行器總的吸熱量增加。飛行器在時(shí)刻A和時(shí)刻B點(diǎn)火需要進(jìn)行攻角和傾側(cè)角的雙重調(diào)整，從大攻角調(diào)整至11°左右的最大升阻比攻角，傾側(cè)角調(diào)整至0°，需要利用飛行器姿控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行調(diào)姿，能量消耗較大。在時(shí)刻C和時(shí)刻D點(diǎn)火僅需要利用飛行器氣動(dòng)力進(jìn)行操控，能量損耗小。

3.3.2 再入點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)分析

在圖2所示的4個(gè)時(shí)刻火點(diǎn)，分別施加不同推力大小、不同助推時(shí)長(zhǎng)的再入點(diǎn)火助推形式，對(duì)飛行器最終狀態(tài)進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。

圖3 不同點(diǎn)火時(shí)刻助推軌跡Fig.3 Powered reentry trajectories at different ignition times

表3 不同點(diǎn)火助推時(shí)長(zhǎng)終端狀態(tài)對(duì)比

由表3可知：在再入初始時(shí)刻A施加不同時(shí)長(zhǎng)的助推，相當(dāng)于改變?cè)偃氤跏妓俣?，?duì)飛行器總的飛行時(shí)間有影響，但改變較??；在時(shí)刻B點(diǎn)火，由于飛行器氣動(dòng)能力不足，難以保持平衡滑翔姿態(tài)，點(diǎn)火助推加劇飛行器下降速度，導(dǎo)致再入飛行時(shí)間變短；在時(shí)刻C和時(shí)刻D，升力已足夠維持飛行器平衡滑翔，點(diǎn)火后，飛行時(shí)間均有小幅增長(zhǎng)。由此也可推斷，在時(shí)刻C之后點(diǎn)火助推，飛行器飛行時(shí)間較無(wú)動(dòng)力時(shí)，均會(huì)增加，且助推時(shí)間越長(zhǎng)，總飛行時(shí)間也相應(yīng)增加。在4個(gè)時(shí)刻點(diǎn)火，當(dāng)總沖一定時(shí)，飛行器終端狀態(tài)變化不大。即大推力短時(shí)間助推和小推力長(zhǎng)時(shí)間助推，在選取最大橫向航程的目標(biāo)函數(shù)下，對(duì)飛行器終端改變基本一致。

3.4 帶推力再入軌跡規(guī)劃

為了進(jìn)一步說(shuō)明發(fā)動(dòng)機(jī)推力在不同點(diǎn)火時(shí)刻的作用，將發(fā)動(dòng)機(jī)推力分為兩次進(jìn)行點(diǎn)火助推，分別在時(shí)刻C和時(shí)刻D進(jìn)行增程助推設(shè)計(jì)。

假設(shè)3再入過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)可進(jìn)行兩次點(diǎn)火，即p=2，且點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)均為10 s.

帶推力高超聲速飛行器的再入初始狀態(tài)和終端狀態(tài)與無(wú)動(dòng)力再入時(shí)相同(見(jiàn)表1)，目標(biāo)函數(shù)為橫向跨度最大。根據(jù)假設(shè)3，完整的再入軌跡分為5段，飛行器質(zhì)量為

再入過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)，攻角維持在最大升阻比攻角，傾側(cè)角維持在0°. 采用分段高斯偽譜法和數(shù)值積分對(duì)帶推力高超聲速飛行器進(jìn)行再入軌跡優(yōu)化后，得到再入軌跡如圖4所示。

由地面經(jīng)緯圖4(a)顯示，帶推力再入軌跡的最大橫向航程可達(dá)51.754 8°，約為5 761.2 km，縱向航程可達(dá)54.054 0°，約為6 017.1 km，飛行器射程為8 330.5 km. 高超聲速飛行器再入軌跡如圖4(b)～圖4(e)所示，包括高度、速度、航跡傾斜角、航跡方位角，且均滿(mǎn)足終端約束條件。再入攻角和傾側(cè)角如圖4(f)～圖4(g)所示，再入攻角和傾側(cè)角均位于控制輸入邊界以?xún)?nèi)，在分段點(diǎn)處對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行兩次點(diǎn)火，分別產(chǎn)生推力，使飛行器速度增加，再入攻角和傾側(cè)角對(duì)應(yīng)當(dāng)前環(huán)境的最大升阻比攻角和0°傾側(cè)角。動(dòng)壓、過(guò)載、熱流密度如圖4(h)～圖4(j)均小于允許的最大值。由圖4(k)帶推力再入三維軌跡可見(jiàn)，高超聲速飛行器可平穩(wěn)滑翔飛行。帶推力高超聲速飛行器質(zhì)量變化如圖4(l)所示。

圖5所示為高超聲速飛行器帶推力與無(wú)動(dòng)力再入軌跡對(duì)比。由圖5可見(jiàn)：高超聲速飛行器帶推力較無(wú)動(dòng)力再入時(shí)，經(jīng)度增大約為3.363 5°，緯度增大3.618 1°，飛行距離增加約為549.907 7 km；再入過(guò)程中由于發(fā)動(dòng)機(jī)兩次點(diǎn)火以及傾側(cè)角保持在0°，再入軌跡較無(wú)動(dòng)力時(shí)，呈現(xiàn)一定的波動(dòng)。

3.5 關(guān)于發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻攻角和傾側(cè)角的討論

圖6所示為高超聲速飛行器不同點(diǎn)火時(shí)刻助推與無(wú)動(dòng)力再入攻角對(duì)比。由圖6可見(jiàn)，在點(diǎn)火時(shí)刻C和D，攻角基本維持在最大升阻比攻角，因此將點(diǎn)火后助推段的攻角剖面選擇為最大升阻比攻角[22]。傾側(cè)角維持在0°，以保持飛行器升力僅存在于飛行航跡方向，從而盡量拉升飛行器，以取得最大的航程。

圖4 分段GPM帶推力再入軌跡優(yōu)化Fig.4 Powered reentry trajectory optimization using MGPM

圖5 帶推力與無(wú)動(dòng)力三維再入軌跡對(duì)比Fig.5 Comparison of 3D powered and unpowered reentry trajectories

圖6 不同點(diǎn)火時(shí)刻助推與無(wú)動(dòng)力再入攻角對(duì)比Fig.6 Comparison of angles of attack at different ignition times during powered and unpowered reentries

3.6 標(biāo)稱(chēng)軌跡下飛行器制導(dǎo)終端狀態(tài)

利用高斯偽譜法得到的飛行器再入攻角和傾側(cè)角指令后，飛行器利用數(shù)值積分方法可得到在標(biāo)稱(chēng)軌跡下的飛行器飛行軌跡。表4所示為跟蹤標(biāo)稱(chēng)軌跡終端狀態(tài)對(duì)比。由表4可見(jiàn)，帶推力高超聲速飛行器可較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)標(biāo)稱(chēng)軌跡的跟蹤，飛行器終端狀態(tài)誤差很小。

表4 跟蹤標(biāo)稱(chēng)軌跡終端狀態(tài)對(duì)比

4 結(jié)論

本文給出基于分段GPM和數(shù)值積分對(duì)帶推力高超聲速飛行器非連續(xù)點(diǎn)火再入軌跡進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化求解到的軌跡滿(mǎn)足分段GPM連續(xù)性約束及過(guò)載、動(dòng)壓、熱流密度約束。分段GPM方法將再入軌跡在發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻進(jìn)行分段，發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)利用分段GPM進(jìn)行軌跡優(yōu)化，發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)后利用數(shù)值積分，計(jì)算再入軌跡。

數(shù)值算例結(jié)果顯示，分段GPM和數(shù)值積分可以有效生成滿(mǎn)足連續(xù)性約束及常規(guī)約束的再入軌跡，在總沖一定時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻對(duì)再入軌跡影響明顯。高超聲速飛行器兩次點(diǎn)火產(chǎn)生的速度增量可有效增加飛行器的縱向航程和橫向航程，并有效提高飛行器再入機(jī)動(dòng)能力和靈活性；分段GPM規(guī)劃得到的控制輸入可作為參考標(biāo)稱(chēng)軌跡指令，輔助制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。