“四問(wèn)法”在初中數(shù)學(xué)中列方程解應(yīng)用題的有效教學(xué)實(shí)踐

陳旭旋

【摘要】? 數(shù)學(xué)應(yīng)用題難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象一直困擾著我們教師和學(xué)生，在實(shí)際教學(xué)中教師都清楚“如何準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列方程”是教學(xué)的難點(diǎn)，教師們也做了各種教學(xué)研究，想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)，但實(shí)際教學(xué)效果一般，學(xué)生大多還是不會(huì)找，另外，學(xué)生一見實(shí)際問(wèn)題就“一個(gè)頭兩個(gè)大”，要么直接放棄，要么做了半天依舊不知如何下手。

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué) 列方程解應(yīng)用題 有效教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類號(hào)】? G633.6? ?? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A ? ? 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2020）23-080-02

筆者在近年的“實(shí)際問(wèn)題”教學(xué)實(shí)踐中，借助四個(gè)問(wèn)題追問(wèn)法引導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系，取得很好的效果，尤其對(duì)于七年級(jí)剛接觸列方程解一元一次方程的學(xué)生，效果更加明顯，應(yīng)用題的測(cè)試成績(jī)高于其他班級(jí)的2倍以上。下面筆者就2019年12月參加教學(xué)能力大賽的獲得第一名的《一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題》這節(jié)課進(jìn)行部分課堂實(shí)錄整理，談?wù)勅绾斡谩八膯?wèn)法”有效提高學(xué)生準(zhǔn)確列方程解應(yīng)用題的教學(xué)效果，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，與同行們共勉。

一、情境引入，引出課題

【情境1】

教師：孩子們，你們從圖片看到了什么？

學(xué)生：春運(yùn)

教師：春運(yùn)又讓你想到什么？

學(xué)生1：想回家過(guò)年

學(xué)生2：買票難

……

教師：嗯，有句歌詞：“有錢沒(méi)錢，回家過(guò)年……”但是票卻不容易購(gòu)買，現(xiàn)在大多可以網(wǎng)上提前購(gòu)票，2020年的春運(yùn)（春運(yùn)指當(dāng)年的臘月十五或十六開始到第二年的正月廿五結(jié)束。）從雙十二那天開始也拉開了搶票的序幕。下面請(qǐng)同學(xué)們看大屏幕上的兩張火車票：

【情境2】以下是兩張不同類型火車的車票：（“D×××次”表示動(dòng)車，“G×××次”表示高鐵）：

已知該動(dòng)車和高鐵的平均速度分別為200km/h，300km/h，如果兩車均按車票信息準(zhǔn)時(shí)出發(fā)，且同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，求A，B兩地之間的距離。

教師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成情境問(wèn)題。

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視。

二、例題剖析，提煉方法

以【情境2】作為例題

教師：請(qǐng)同學(xué)們停下來(lái)，從剛剛巡視發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)無(wú)法動(dòng)筆，能談?wù)勀悴粫?huì)做的原因是什么嗎？

學(xué)生1：看不懂題目，不會(huì)找已知量、未知量（原因：閱讀理解能力差）

學(xué)生2：不知道已知量和未知量有什么聯(lián)系，好亂，完全無(wú)思路，不知從何下手（原因：數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，有隱蔽的數(shù)量關(guān)系，路程=速度×?xí)r間，還有題目中顯性的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，學(xué)生思維無(wú)序）

學(xué)生3：不知怎么設(shè)未知數(shù)（原因：多個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)選擇的靈活性）……

教師：好，大家說(shuō)的正是我們列方程解應(yīng)用題“因何而難”的原因：（1）題目文字多，一看就怕;（2）數(shù)量關(guān)系復(fù)雜：既有隱藏的數(shù)量關(guān)系如行程問(wèn)題中的路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，如利潤(rùn)問(wèn)題涉及進(jìn)價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、利潤(rùn)率等之間的數(shù)量關(guān)系;又有題目所給的各種顯性數(shù)量關(guān)系;（3）用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系能力差，如何用代數(shù)式來(lái)表示各個(gè)已知量和未知量呢，無(wú)從下手（4）題目中未知量往往有多個(gè)，不知選擇哪個(gè)來(lái)設(shè)未知數(shù)。

教師：下面老師帶領(lǐng)大家用“四步追問(wèn)法”克服這些困難，輕松建立一元一次方程（數(shù)學(xué)模型）解決實(shí)際問(wèn)題。

教師：首先，我們一起來(lái)看看，你能從兩張火車票獲取什么信息？

學(xué)生4：路程相同，都是從A地到B地。

學(xué)生5：出發(fā)時(shí)間不同，動(dòng)車是20：00，高鐵是21：00，晚一個(gè)小時(shí)。

學(xué)生6：兩張票都是從A地購(gòu)買，價(jià)格不同。

……

教師：票面信息可真多呀，但是有些是題目中有用的信息，有些是非數(shù)學(xué)元素的干擾信息，我們需要剔除掉，下面請(qǐng)同學(xué)思考：

問(wèn)題1：例題中共有幾個(gè)量？哪些是已知量？哪些是未知量？需要求什么？請(qǐng)同學(xué)們一句一句閱讀題目，用圈劃方法獲取信息。

學(xué)生：已知量有動(dòng)車的平均速度200km/h，高鐵的平均速度300km/h，動(dòng)車和高鐵出發(fā)的時(shí)間。

學(xué)生：未知量有A地到B地的路程，動(dòng)車行駛的時(shí)間，高鐵行駛的時(shí)間。

教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書如下：

問(wèn)題2：?jiǎn)栴}1中各個(gè)量之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（一隱性二顯性關(guān)系）

教師：路程、時(shí)間、速度有什么數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生：路程=速度*時(shí)間①（可變形）

教師板書并提問(wèn)：這個(gè)數(shù)量關(guān)系是題目告訴我們的嗎？

學(xué)生：不是，是行程問(wèn)題中的公式。

教師：很好，這類公式如行程問(wèn)題中路程=速度*時(shí)間，工程問(wèn)題中工作量=工作效率*工作時(shí)間等屬于應(yīng)用題中的隱性數(shù)量關(guān)系，需要我們平時(shí)掌握的。

教師：題目中明確告訴我們的，有哪些數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生7：動(dòng)車從A到B地所用的時(shí)間比高鐵從A到B地所用的時(shí)間多1小時(shí)

學(xué)生8：動(dòng)車行駛的路程和高鐵行駛的路程相同，都是從A地到B地。

教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行如下右邊的板書：

問(wèn)題3：如何選擇未知量設(shè)未知數(shù)？其他各量又怎樣表示？

教師：現(xiàn)在題目中有四個(gè)未知量，選擇哪個(gè)未知量設(shè)未知數(shù)呢？一般我們習(xí)慣問(wèn)什么設(shè)什么，所以我們?cè)O(shè)A、B兩地間的距離為xkm，那其他未知量如何用未知數(shù)x來(lái)表示呢？

教師根據(jù)學(xué)生回答進(jìn)行如下板書：

問(wèn)題4：你能用表格的形式對(duì)以上分析進(jìn)行直觀化展示嗎？

教師：對(duì)于剛才我們的分析板書看起來(lái)有些凌亂，你能否利用表格將這些量進(jìn)行分析并列出方程？哪位同學(xué)嘗試以下。

學(xué)生9展示如下：

教師：你怎么想到的？

學(xué)生9：剛才數(shù)量關(guān)系①③都用來(lái)表示各個(gè)未知量了，所以只能選擇數(shù)量關(guān)系②時(shí)間差作為等量關(guān)系列出方程。

教師：分析很到位，一個(gè)應(yīng)用題中有多個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)，如果你選擇其他的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示未知量，那么就不能再作為等量關(guān)系來(lái)列方程了，否則就會(huì)解不出來(lái)，課后同學(xué)們可以嘗試一下就明白了。這也是老師為什么要求同學(xué)們一定要先找到所有的數(shù)量關(guān)系，然后再根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系來(lái)設(shè)未知數(shù)列方程，可以將我們無(wú)序的思維有序化，這樣解應(yīng)用題時(shí)就能清晰知道用哪個(gè)等量關(guān)系來(lái)列方程了。明白了嗎？

學(xué)生：明白了。

教師：那老師來(lái)考考你們。例題中若選擇動(dòng)車的時(shí)間這個(gè)未知量來(lái)設(shè)未知數(shù)x，你會(huì)用含x的代數(shù)式表示其他未知量并列出方程嗎？請(qǐng)同學(xué)動(dòng)手嘗試一下。

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視

學(xué)生展示如下：

教師：很棒，我們來(lái)對(duì)比這兩種設(shè)法列方程的優(yōu)缺點(diǎn)？談?wù)勀愀矚g哪一種？

學(xué)生：……

教師：很好，通過(guò)剛才例題的學(xué)習(xí)，我們回過(guò)頭來(lái)總結(jié)一下，我們是怎么找到等量關(guān)系列出方程的？

師生共同完成：先讀題找已知量未知量，找全數(shù)量關(guān)系，再用含未知數(shù)的代數(shù)式表示各個(gè)未知量，用表格直觀化根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程了。

教師：老師把這個(gè)過(guò)程稱之為“四步追問(wèn)法”，簡(jiǎn)稱“四問(wèn)法”，也就是我們?cè)诮鈶?yīng)用題的時(shí)候不要急于設(shè)未知數(shù)，直接就列方程，而是先進(jìn)行自我四問(wèn)，在草稿紙上分析數(shù)量關(guān)系，這對(duì)于我們剛學(xué)應(yīng)用題時(shí)至關(guān)重要，可以避免審題時(shí)遺漏條件，弄錯(cuò)數(shù)量關(guān)系列出方程。另外，我們?cè)诮柚砀駥?duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析時(shí)，我們習(xí)慣把各個(gè)考查對(duì)象放表格豎列，把各個(gè)數(shù)量放在橫列。

……

“問(wèn)題1”是一個(gè)去情境化實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，從復(fù)雜的實(shí)際情境中剔除無(wú)效信息的干擾，提取有效信息，將學(xué)生的思維引向?qū)Α耙阎俊薄拔粗俊钡姆治?，明確問(wèn)題目標(biāo)，為進(jìn)一步分析數(shù)量關(guān)系奠定基礎(chǔ);

“問(wèn)題2”是通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，完成隱性的數(shù)量關(guān)系顯性化、并找到情境中的顯性的所有數(shù)量關(guān)系的程序，為將各量關(guān)系從文字語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換奠定基礎(chǔ);

“問(wèn)題3”既是為了避免學(xué)生在將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程中往往會(huì)因?yàn)樗季S的隨意性而漏掉重要的數(shù)學(xué)條件，所以通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)的方式，讓學(xué)生將無(wú)序思維有序化又是為了在設(shè)未知數(shù)x并用含x的代數(shù)式表示其他各個(gè)未知量的過(guò)程中，緊緊抓住各量之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生深刻體會(huì)關(guān)系的橋梁作用;

“問(wèn)題4”是在分析了各個(gè)量以及其中的各種數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，再去利用表格進(jìn)行分析，再次強(qiáng)化對(duì)各量之間關(guān)系的分析，使得各種抽象關(guān)系直觀化。表格或圖是隨著數(shù)量關(guān)系的分析自然生成的，這是一種加深學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的輔助手段，和以往直接呈現(xiàn)表格分析數(shù)量關(guān)系的邏輯思維是相反的。通過(guò)這四個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，能將無(wú)序思維有序化，又將數(shù)量關(guān)系可視化，再通過(guò)一題多設(shè)、一題多列的比較，更有利于學(xué)生加深對(duì)數(shù)量關(guān)系分析的理解，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并強(qiáng)化按照步驟分析解決問(wèn)題的思維方式和能力。

“四問(wèn)法”建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，在筆者實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，尤其七年級(jí)學(xué)生剛剛接觸一元一次方程解實(shí)際問(wèn)題，能準(zhǔn)確列出方程的效果明顯提高，學(xué)生也對(duì)應(yīng)用題的心理障礙大大減少，對(duì)后續(xù)實(shí)際問(wèn)題的繼續(xù)學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用。