借助幾何直觀發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

李延江 王俊玲

[摘要]借助“幾何直觀”用數(shù)學(xué)圖形或符號(hào)表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀;數(shù)學(xué)思考;核心素養(yǎng)

[中圖分類(lèi)號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）26-0063-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。”也就是說(shuō)，幾何直觀可以把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)數(shù)學(xué)圖形或符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。對(duì)此，筆者以蘇教版教材六年級(jí)“圓柱和圓錐”的有關(guān)問(wèn)題為例，談?wù)勅绾谓柚鷰缀沃庇^發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、借助直觀，化靜為動(dòng)，培養(yǎng)抽象思維

數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)是抽象，因此給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難，而幾何直觀既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以幫助學(xué)生理解題意，把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象。

例如，教材上的一道習(xí)題（如圖1），由于題中給出直觀圖示，學(xué)生很容易找到兩個(gè)圓柱的底面半徑和高，進(jìn)而解決問(wèn)題。

可是學(xué)生在解決“把一張長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形紙分別繞它的長(zhǎng)和寬旋轉(zhuǎn)一周，形成兩個(gè)圓柱，它們的體積分別是多少？”這一問(wèn)題時(shí)，卻出現(xiàn)把旋轉(zhuǎn)的一條邊當(dāng)作直徑來(lái)計(jì)算的問(wèn)題，究其原因是題目的文字表達(dá)比較抽象，難以理解。通過(guò)操作長(zhǎng)方形學(xué)具，學(xué)生明白：旋轉(zhuǎn)時(shí)，長(zhǎng)方形的一條邊就是所形成圓柱的底面半徑，另一條邊就是所形成圓柱的高。借助幾何直觀能幫助學(xué)生直觀理解，糾正偏差。接著師生進(jìn)一步交流討論：

師：兩個(gè)圓柱的體積哪個(gè)大？為什么？

生1：通過(guò)計(jì)算我發(fā)現(xiàn)，短邊為軸，長(zhǎng)邊就是所形成圓柱的底面半徑，這時(shí)圓柱的體積大。

師：任意一個(gè)長(zhǎng)方形繞著它的長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)一周，形成的圓柱體積都有這樣的規(guī)律嗎？

（學(xué)生小組合作，舉例驗(yàn)證了這個(gè)規(guī)律）

師：如果用a表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，6表示長(zhǎng)方形的寬，你能證明自己的發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：V1=πa2b，V2=πb2a。兩個(gè)體積公式中相同的部分是πab，只需要比較a和b的大小。因此，長(zhǎng)邊為半徑、短邊為軸時(shí)所形成的圓柱體積大。

師：把一個(gè)長(zhǎng)是18.84厘米，寬是12.56厘米的長(zhǎng)方形紙，沿著它的長(zhǎng)或?qū)捑沓蓛蓚€(gè)大小不同的圓柱，怎樣卷得到的圓柱體積大？為什么？

生3：把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)作為圓柱的底面周長(zhǎng)，這時(shí)卷成的圓柱體積大。（如圖2）

師：你又什么發(fā)現(xiàn)？

生5：不管是沿著邊旋轉(zhuǎn)還是卷起來(lái)，只要半徑大，所形成的圓柱體積就大。

生6：畫(huà)圖作用非常大，它可以把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象。

借助直觀圖，化靜為動(dòng)，不僅使學(xué)生解決了“哪個(gè)圓柱體積大？”的問(wèn)題，學(xué)生還在觀察、比較、操作和驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)了這類(lèi)問(wèn)題的共性及規(guī)律，同時(shí)也讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)了從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維。

二、運(yùn)用直觀，以分聚合，發(fā)展推理能力

數(shù)學(xué)中的有些問(wèn)題不僅抽象而且隱蔽，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)，而運(yùn)用幾何直觀則可以把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得具體可視、簡(jiǎn)潔明了，便于學(xué)生理解和掌握。

例如，對(duì)于“一根圓柱體木料的底面半徑是0.3米，長(zhǎng)是2米，把它平均截成4段后，這些木料的表面積比原來(lái)木料的表面積增加了多少平方米？”有學(xué)生提出：用平均截成4段后這些木料的表面積之和減去原來(lái)木料的表面積，就知道增加了多少。之所以提出這種解決方案，是因?yàn)閷W(xué)生缺乏對(duì)題目的直觀理解。這時(shí)，教師可啟發(fā)學(xué)生先想象如何用一個(gè)“圖”來(lái)表示題意，然后再把它畫(huà)出來(lái)。（展示學(xué)生作品，如圖3）

通過(guò)直觀圖，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)：把圓柱體木料平均截成4段，其表面積比原來(lái)增加了6個(gè)（2x3）圓柱的底面積，而且這種方法比上述方法更加簡(jiǎn)便。

教師再給出題目：一根圓柱體木料的底面半徑是0.3米，長(zhǎng)是2米，把它平均截了4次后，這些木料的表面積比原來(lái)木料的表面積增加了多少平方米？

有了之前畫(huà)圖的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就會(huì)用畫(huà)圖表示題意，于是發(fā)現(xiàn)：把圓柱體木料平均截了4次后，其表面積就增加了8個(gè)圓柱的底面積。在比較中，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律：每截1次圓柱體木料，其表面積就增加它的2個(gè)底面積。

又如，“把一個(gè)高為10厘米的圓柱沿著它的底面直徑切成相等的兩半，其表面積增加了8C平方厘米，這個(gè)圓柱的體積是多少立方厘米？”根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)通過(guò)畫(huà)圖尋找表面積增加的部分在哪里。（展示學(xué)生作品，如圖4）

在直觀圖的幫助下，學(xué)生很容易看出表面積增加的部分就是2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱體的高，寬是圓柱體的底面直徑，問(wèn)題便輕松得以解決。

面對(duì)圓柱的分割問(wèn)題，學(xué)生很難找到解決問(wèn)題的突破口，運(yùn)用幾何直觀，以“分”聚“合”，就可以把抽象的文字以及學(xué)生看不到的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，再通過(guò)觀察、比較等活動(dòng)，學(xué)生不僅解決了問(wèn)題，還掌握了這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)及規(guī)律，發(fā)展了推理能力。

三、把握直觀，由此及彼，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性強(qiáng)、邏輯嚴(yán)密的學(xué)科，在教學(xué)中教師要善于利用幾何直觀，幫助學(xué)生探索解決問(wèn)題的思路，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)及內(nèi)涵。

例如，一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為12.56厘米的正方形，如果將這個(gè)圓柱切拼成長(zhǎng)方體，它的表面積增加多少平方厘米？

從條件中可以知道圓柱的高，也能求出它的底面半徑，但表面積增加的部分在哪里、是什么形狀的，學(xué)生都不清楚，這時(shí)就要鼓勵(lì)學(xué)生腦中有“圖”，于是學(xué)生想到了圓柱體積公式的推導(dǎo)，并主動(dòng)拿出學(xué)具進(jìn)行操作（如圖5）。

通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圓柱被切拼成長(zhǎng)方體后，它的體積沒(méi)有變化，表面積卻增加了.且增加的表面積就是長(zhǎng)方體中左右2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的高，寬是圓柱的底面半徑。

又如，一種玻璃水瓶（如圖6），下部是圓柱形，上部是一個(gè)不規(guī)則的立體圖形。瓶子里面裝有180毫升的水，瓶子平置時(shí)水的高度如圖7，倒置時(shí)無(wú)水部分的高度如圖8，求這個(gè)玻璃瓶的容積。

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生感到很茫然，因?yàn)檫@個(gè)瓶子是一個(gè)不規(guī)則的立體圖形，無(wú)法直接用某一公式來(lái)計(jì)算它的容積。為此，教師可利用直觀圖形啟發(fā)學(xué)生思考：玻璃水瓶水平倒置前后，什么變了，什么沒(méi)有變？交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無(wú)論玻璃水瓶是否倒置，玻璃水瓶的容積=瓶?jī)?nèi)水的體積+無(wú)水部分的體積;玻璃水瓶倒置前后，水的體積與無(wú)水部分的體積都沒(méi)有變化;倒置前，瓶?jī)?nèi)水的形狀是一個(gè)圓柱，而倒置后，無(wú)水部分的形狀變成一個(gè)圓柱，這兩個(gè)圓柱的體積之和就是玻璃水瓶的容積;等等。

通過(guò)學(xué)具操作，由“此”及“彼”，復(fù)雜問(wèn)題變得更加形象、簡(jiǎn)單，學(xué)生在“變”與“不變”中理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，不僅知其然還知其所以然。這一過(guò)程，學(xué)生不僅解決了問(wèn)題，還從中感受轉(zhuǎn)化的思想方法，體會(huì)同中求異、異中求同的辯證思維，更為重要的是發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，感悟了數(shù)學(xué)思想。

總之，幾何直觀不僅僅存在于“圖形與幾何”這一領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。教學(xué)師要充分利用幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單形象，把抽象問(wèn)題變成具體可視，把未知轉(zhuǎn)化成已知的學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生不斷積累利用幾何直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

中華人民共和國(guó)教育部，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[s].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)編黃春香）