“平面直角坐標(biāo)系”學(xué)習(xí)指導(dǎo)

王宗信

學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)，可以幫助我們建立圖形與數(shù)量間的聯(lián)系，并為幾何問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化打下基礎(chǔ).

一、認(rèn)識(shí)有序?qū)崝?shù)對(duì)

人們?cè)诔俗熊嚮蝻w機(jī)出行時(shí)需要購(gòu)買車票或機(jī)票，車票或機(jī)票上標(biāo)明了乘客的具體座位.到電影院看電影需購(gòu)買進(jìn)場(chǎng)票，票上明確標(biāo)出座位在第幾行第幾列（幾排幾號(hào)）.同樣，教室里的座位也是用這種方法來(lái)描述的，同時(shí)我們也知道，在同一個(gè)電影院里.3排4號(hào)與4排3號(hào)不是同一個(gè)位置，所以可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示位置，3排4號(hào)用有序?qū)崝?shù)對(duì)（3，4）表示，4排3號(hào)用有序?qū)崝?shù)對(duì)（4，3）表示，利用有序?qū)崝?shù)對(duì)，可以準(zhǔn)確地表示一個(gè)位置.

氣象部門用經(jīng)緯度來(lái)描述臺(tái)風(fēng)中心的位置變化，這也是用數(shù)量來(lái)描述位置變化的.數(shù)量與位置之間有著緊密的聯(lián)系.

二、平面直角坐標(biāo)系

用一對(duì)數(shù)確定一點(diǎn)位置的做法，在日常生活中很常見(jiàn).在上一章里，我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，數(shù)軸上每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)叫作這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo).例如，圖l中，點(diǎn)A在數(shù)軸上的坐標(biāo)是0.6，點(diǎn)B在數(shù)軸上的坐標(biāo)是-1.5.

如圖2.我們可以在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.水平的叫戈軸或橫軸，取向右為正方向;豎直的叫y軸或縱軸，取向上為正方向.x軸與y軸的交點(diǎn)叫平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).兩條坐標(biāo)軸的原點(diǎn)必須重合，單位長(zhǎng)度可以相同，也可以不相同.

有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點(diǎn)就可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示了，例如，在圖3中，由點(diǎn)A分別向x軸和y軸作垂線段，垂足在x軸上的坐標(biāo)是4，我們把這個(gè)數(shù)叫作點(diǎn)A的橫坐標(biāo);垂足在y軸上的坐標(biāo)是5，我們把這個(gè)數(shù)叫作點(diǎn)A的縱坐標(biāo).也就是說(shuō)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是4，縱坐標(biāo)是5，有序?qū)崝?shù)對(duì)（4，5）就叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，注意橫坐標(biāo)要寫(xiě)在前，縱坐標(biāo)要寫(xiě)在后，順序不可亂.

點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）來(lái)表示，a表示這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，b表示這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在括號(hào)內(nèi)橫坐標(biāo)寫(xiě)在前，縱坐標(biāo)寫(xiě)在后，中間用“，”隔開(kāi)，順序不可隨意更換.用同樣的方法可以確定下頁(yè)圖4中點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，一1），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2.5，-2）.同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在y軸上，如何確定它的坐標(biāo)呢？方法是不變的，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足在x軸上的坐標(biāo)是O，過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線，垂足在y軸上的坐標(biāo)是-4，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-4）.通過(guò)作圖找點(diǎn)E的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)y軸上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是0.請(qǐng)同學(xué)們思考：x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)是多少呢？請(qǐng)?jiān)趚軸上任取若干點(diǎn)確定它們的坐標(biāo)，你會(huì)有所發(fā)現(xiàn)的！

反過(guò)來(lái)，如果知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么我們可以通過(guò)作圖找到這個(gè)點(diǎn)，比如已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），我們這樣來(lái)找這個(gè)點(diǎn)：在x軸上找到坐標(biāo)為4的點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作x軸的垂線，再在y軸上找到坐標(biāo)為3的點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作y軸的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)就是我們需要尋找的點(diǎn)（4，3），即圖4中的點(diǎn)F.

建立平面直角坐標(biāo)系后，這個(gè)平面稱為坐標(biāo)平面，整個(gè)坐標(biāo)平面被兩條坐標(biāo)軸分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)部分（如圖5），每個(gè)部分稱為象限，x軸正半軸與y軸正半軸所夾部分稱為第一象限，x軸負(fù)半軸與，軸正半軸所夾部分稱為第二象限，x軸負(fù)半軸與y軸負(fù)半軸所夾部分稱為第三象限，x軸正半軸與y軸負(fù)半軸所夾部分稱為第四象限.同學(xué)們可以結(jié)合圖4中B，C，D，F(xiàn)四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)發(fā)現(xiàn)四個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，完成表1的填空.

三、利用平面直角坐標(biāo)系解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題

例1如圖6，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，如果以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么y軸是哪條線？寫(xiě)出正方形的頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo).

分析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB所在直線為石軸”：雙向延長(zhǎng)線段AB得到直線AB，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以向右的方向?yàn)檎较?，直線AB為x軸，因?yàn)檎叫沃蠰DA B=900，所以AD⊥AB，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的定義，可以建立平面直角坐標(biāo)系，如圖7.

解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖7，直線AD為y軸.

點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（0，0），（6，0），（6，6），（0，6）.

請(qǐng)同學(xué)們思考：直線BC上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么共同之處？直線CD上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么共同之處？你能得到哪些結(jié)論？

請(qǐng)同學(xué)們以正方形的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)，邊AD，BC的中點(diǎn)所在直線為x軸，邊AB，CD的中點(diǎn)所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出正方形的頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，你會(huì)有哪些發(fā)現(xiàn)？

練一練

如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）寫(xiě)出平行四邊形ABCD各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）把平行四邊形ABCD向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到平行四邊形A'B'C'D '，請(qǐng)畫(huà)出平行四邊形ABC'D，并寫(xiě)出它的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，

參考答案：（1）點(diǎn)A（-3，3），B（-5，-2），C（4，-2），D（6，3）. （2）略.