一道教材習題的研究與應用

左效平 翟立英

研究教材的習題，有利于我們更好地掌握知識.

在人教版數(shù)學教科書七年級下冊第71頁有如下題目：

在平面直角坐標系中選擇一些橫、縱坐標滿足下列條件的點，標出它們的位置，看看它們在第幾象限或哪條坐標軸上：

（1）點P（x，y）的坐標滿足xy>0;

（2）點P（x，y）的坐標滿足xy<0;

（3）點P（x，y）的坐標滿足xy=0.

選擇的意義：

首先，讓同學們挑選自己喜歡的數(shù)字，為同學們提供了一次體驗“我的地盤，我做主”的機會.但是，選擇不是盲目的，隨意性的，必須使選擇滿足給定的條件，這樣的選擇才是有效的選擇，這樣的選擇才是有意義的選擇.其次，選擇時要盡量全面，對于數(shù)的選擇就要從正數(shù)、負數(shù)、零三個角度進行全面的選擇，確保接下來的解答更全面、更規(guī)范、更科學.

位置的意義：

廣義的位置：用橫坐標、縱坐標確定一個點，確定的是這個點所在的位置.因此，在坐標平面中，確定一個點的位置必須確定點的橫坐標和縱坐標.

狹義的位置：建立平面直角坐標系后，整個坐標平面被兩條坐標軸分成四個獨立的區(qū)域，為了描述得簡潔、具體、確切，從右上方的區(qū)域開始，把它們按照逆時針的方向依次命名為：

第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

這樣，平面直角坐標系中的每個點都有其固定的位置.

解法直播：

（1）因為點P（x，y）的坐標滿足xy>0，所以可取x=1，y=1，也可取x=-1，y=-1.

仔細觀察點的位置，不難發(fā)現(xiàn)，坐標滿足xy>0的點P在第一象限或第三象限.

（2）因為點P（x，y）的坐標滿足xy<0，所以可取x=1，y=-1，也可取x=-1，y=1.

不難發(fā)現(xiàn)，坐標滿足xy<0的點P在第二象限或第四象限.

（3）因為點P（x，y）的坐標滿足xy=0，所以可取x=1，y=0，也可取x=0，y=1，也可取x=O，y=0.

不難發(fā)現(xiàn)，坐標滿足xy=0的點P在x軸或），軸上，

解后反思：

確定點的坐標的過程就是確定點的位置的過程，換句話說，確定點的坐標是確定位置的基礎(chǔ)，只要坐標確定了，點的位置就確定了.

一、象限型問題

1.根據(jù)坐標定象限.

例1在平面直角坐標系中，點A（8，-6）位于（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：因為點A的坐標為（8，-6），符號特征為（+，一），所以點A位于第四象限，所以選D.

點評：四個象限的符號特征分別是：第一象限（+，+），第二象限（一，+），第三象限（一，一），第四象限（+，一）.記住各象限內(nèi)點的坐標的符號特征是解決問題的關(guān)鍵.

2.根據(jù)象限定坐標，

例2（2019年濟寧）已知點P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y為整數(shù)），寫出一個符合上述條件的點P的坐標

.

解析：因為點P（x，y）位于第四象限，所以x>0，y<0.因為x≤y+4（x，y為整數(shù)），所以x是正整數(shù)，y是負整數(shù).當x=1時，1≤y+4，此時y的值可以是-1或-2或-3，所以點P的坐標為（1，一1）或（1，-2）或（1，-3）.當x=2時，2≤y+4，此時y的值可以是一1，一2，所以點P的坐標為（2，一1）或（2，-2）.

點評：解答時，要處理好如下幾點：

（1）根據(jù)點所在的象限，確定坐標的符號特征：

（2）根據(jù)坐標的屬性，分類確定特殊值;

（3）選擇時，務(wù)必要滿足給定的條件;

（4）這是一個開放型問題，答案不唯一，只要合理即可.

二、坐標軸型問題

例3 （2019年甘肅）若點P（m+2，2m-4）在x軸上，則點P的坐標是（

）.

A.（4，0）

B.（O，4）

C.（-4，0）

D.（O，-4）

解析：因為點P（m+2，2m-4）在x軸上，所以2m-4=0，解得m=2.所以m+2 =4，所以點P的坐標為（4，0）.所以選A.

點評：解答時，需要注意如下幾點：

（1）熟記x軸上點的縱坐標為0是解題的關(guān)鍵：

（2）根據(jù)點的坐標特征將求坐標的問題轉(zhuǎn)化成求一元一次方程解的問題是根本：

（3）靈活運用一元一次方程的解確定橫坐標的值也是解題的一個重要環(huán)節(jié).

練一練

1.在平面直角坐標系中，點P（4，2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是

.

2.（2019年貴港）若點P（m-1，5）與點Q（3，2-n）關(guān)于原點對稱，則m+n的值是（

）.

A.1

B.3

C.5

D.7

3.（2019年棗莊）在平面直角坐標系中，若將點A（1，-2）先向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A，則點A的坐標是（ ）.

A.（-1，1）

B.（-1，-2）

C.（-1，2）

D.（1，2）

4.（2019年巴中）在平面直角坐標系中.若點A （-4，3）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標為（

）.

A.（-4，-3）

B.（4，3）

C.（4，-3）

D.（-4，3）

參考答案：

1.（-4，2） 2.C3.A4.C