拓展分析 歸納方法

張丹

同學(xué)們要善于在解題后進行反思，把解題過程中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律或結(jié)論，進行拓展，歸納出深層次的方法或經(jīng)驗.這樣不僅有利于今后解題時自我指導(dǎo)，還能在拓展的過程中鞏固所學(xué)知識，感受數(shù)學(xué)魅力.并且在潛移默化中提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).張老師以一道課本習(xí)題為例，拋磚引玉，希望能給同學(xué)們一些幫助，

例1 （人教版數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第70頁第8題）建立一個平面直角坐標(biāo)系，描出點A （-2，4），B（3，4），畫直線AB.若點C為直線AB上任意一點，則點C的縱坐標(biāo)是什么？想一想：

（1）如果一些點在平行于x軸的直線上，那么這些點的縱坐標(biāo)有什么特點？

（2）如果一些點在平行于y軸的直線上，那么這些點的橫坐標(biāo)有什么特點？

解析：如圖1所示，直線AB即為所求，若點C為直線AB上任意一點，則點C的縱坐標(biāo)是4.由此可以歸納出如下一般性結(jié)論：

（1）如果一些點在平行于x軸的直線上，那么這些點的縱坐標(biāo)都相等;

（2）如果一些點在平行于y軸的直線上，那么這些點的橫坐標(biāo)都相等.

【反思l】回顧上述問題解答過程，逆向思考：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個點的縱坐標(biāo)相等且不等于0，那么這兩點確定的直線與x軸平行嗎？如果兩個點的橫坐標(biāo)相等且不等于0，那么這兩點確定的直線與y軸平行嗎？

如圖2，設(shè)點A （xi，y），B（X2，y），其中x1≠x2，y≠0.分別過點A.B作x軸的垂線，垂足分別是點C，D，則∠ACD=∠BDC=90°，故AC//BD.

又因為AC=BD= |y| >0，所以線段BD可以看成是由線段AC平移得到的，所以4B//CD，即AB//x軸.

同理，可以證明：若點M（x，Yi），N（x，y2），其中y1≠y2，x≠O，則MN//y軸.

于是我們歸納得到如下結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個點的縱坐標(biāo)相等且不為0，那么這兩點確定的直線與x軸平行;同樣地，如果兩個點的橫坐標(biāo)相等且不為0，那么這兩點確定的直線與y軸平行.

【反思2】回顧上面的分析過程，想一想，在AC=BD= |y| >0中，為什么要把坐標(biāo)y加上“絕對值”？

理解這一點并不難，因為這里AC，BD表示線段的長度，而坐標(biāo)y描述“有方向的量”，是一個賦予“+”或“一”屬性的數(shù)，根據(jù)絕對值的定義，|y|正好表示平面直角坐標(biāo)系中的點到x軸的距離.對此，我們強調(diào)，凡是用坐標(biāo)表示相關(guān)線段的長度，一定要加上絕對值符號，防止漏解，而且加上絕對值符號，進而參與運算，可以回避分類討論帶來的麻煩，

例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（m-2，0），B（0，4-2m），若S△ABO=9，求點A，B的坐標(biāo).

解析：根據(jù)題意得AO= |m-2|，BO=|4-2m|=2|m-2|.

所以.S△ABO=1/2AOxBO= 1/2|m-2|×2|m-2|=|m-2|2，故|m-2|2=9，即（m-2）2=9.

解得m=5或m=-1.故點A.B的坐標(biāo)可分別為（3，0），（0，-6），也可分別為（-3，0），（0，6）.

【反思3】數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩個點A，B，它們之間的距離可以表示為AB=|a-b|.把這個規(guī)律拓展到平面直角坐標(biāo)系中，得到：x軸上或平行于x軸的直線上兩個點A （x1，y），B（x2，y），其中XI≠X2，它們之間的距離可以表示為AB= |x2-x1|;同樣，），軸上或平行于y軸的直線上兩個點C（x，y1），D（x，y2），其中y1≠y2，它們之間的距離可以表示為CD=|y2-y1|.運用此結(jié)論，可給我們解決相關(guān)問題帶來方便，

例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A （-2，4），B（3，4），C（m，4），若A C=2AB，求m的值.

解析1：AB=3-（-2）=5，當(dāng)點C在點A的左側(cè)時，與上面分析相同，得AC=-2-m=10，解得m=-12.當(dāng)點C在線段AB上時，AC不可能等于AB.當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，AC=m+2=10，解得m=8，符合題意，故m的值為-12或8.

解析2：AB=3一（一2）=5，因為點A（-2，4），B（3，4），C（m，4），所以點A，B，C在同一條平行于x軸的直線上.

而AC= |m-（-2）|=|m+2|，由已知得|m+2|=2x5，解得m=-12或m=8.

故m的值為-12或8.

【反思4】比較上面兩種解法，顯而易見，方法2引用絕對值符號，思路更清晰，過程更簡捷，回避了分類討論，減少了解題錯誤發(fā)生率.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A （-2，4），B（3，4），C（1，1），D（1，m），若A ，B，C，D四點構(gòu)成的圖形的面積是10.求m的值，

解析：如圖3，因為點A （-2，4），B（3，4），所以AB//x軸，且AB=3-（-2）=5.

又因為點C（1，1），D（1，m），所以CD∥y軸，且CD=|m-1 1|.

易證AB⊥CD，所以A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積等于1/2AB×CD，所以5/2|m-11=

10.解得m=5或m=-3.

練一練

1.已知點A（2，m2），B（m，4），則當(dāng)m=時，AB//x軸.

2.已知點A（2，2m+1），B（2，m+3），若AB=5，則m=

一.

3.已知點A（2，2m+1），B（3，4），C（2，3），D（-1，-1），若A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形面積等于12，則m=____.

4如圖4，已知點B（5-2m，n），A（2m+1，n-1），C（O，3），若AB //OC，則四邊形ABCO的面積等于

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參考答案：1.-22.7或-3 3.4或-2 4.6