淺析運(yùn)用參數(shù)分離法突破高考導(dǎo)數(shù)壓軸題

王瑞林

【摘要】在新課標(biāo)的改革下，數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)學(xué)科中的重要性越來越大，高考數(shù)學(xué)壓軸題一直是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。參數(shù)分離法在解導(dǎo)數(shù)題目時(shí)具有重大的作用，當(dāng)需要求哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，就對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行分離。在解題的過程中，自變量的分類是解題的關(guān)鍵，只有確定了自變量，才可以進(jìn)行相應(yīng)的函數(shù)構(gòu)造，進(jìn)而再選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行解題?；诖耍疚膶?duì)運(yùn)用參數(shù)分離法突破高考導(dǎo)數(shù)壓軸題作了系列探討。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)問題;參數(shù)分離;函數(shù)解題

在解導(dǎo)數(shù)壓軸題時(shí)，利用參數(shù)分離法，很好地節(jié)省了再次進(jìn)行分類討論的麻煩，使解題步驟簡(jiǎn)單化，使得題目得到順利解答。數(shù)學(xué)是高考中的重點(diǎn)學(xué)科，而導(dǎo)數(shù)則是數(shù)學(xué)的壓軸題，導(dǎo)數(shù)題往往能很好考察學(xué)生的應(yīng)變和解題速度能力。其中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較廣，主要求解的問題有單調(diào)區(qū)間、最值以及恒成立的問題。筆者就高考導(dǎo)數(shù)壓軸題利用參數(shù)分離法進(jìn)行分析，探索一條快速、合理、簡(jiǎn)單的解題方法。

在求解導(dǎo)數(shù)題時(shí)，利用參數(shù)分離法，就是將導(dǎo)數(shù)中的變量分離出來，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庾钪祮栴}。但導(dǎo)數(shù)題中往往不僅只有一個(gè)變量，還存在多變量，所以需分類進(jìn)行討論。比如例1：廣州市2020屆高三學(xué)生一模理科數(shù)學(xué)試題中的第21題（2）：

已知函數(shù)f（x）=（x-4）ex-3+x2-6x，g（x）=（a- ? ?）x-1-lnx.

（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)。設(shè)函數(shù)h（x）=max{f（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）區(qū)間上恒成立，求a實(shí)數(shù)取值范圍。

（2）由（1）可知，當(dāng)x∈[3，+∞）時(shí)，

f（x）≥0，因此要使h（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，只需g（x）≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立即可。因?yàn)間（x）≥0 ? （a- ? ）x-1

-lnx≥0.以下給出參數(shù)進(jìn)行分離的解題思路：因?yàn)閤≥0，所以（a- ? ）x-1-lnx≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥

+ ? ，這里就用到分離參數(shù)法，把要求的a分離出來，接下來利用構(gòu)造函數(shù)方法令m（x）

+ ? ? 通過求導(dǎo)求極值方法求得m（x）的極大值 ? ?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ ? ? ，+∞）。

對(duì)于這類雙變量的導(dǎo)數(shù)題目，解題思路如果去分類討論就比較繁雜。高中生對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)理解有限，無法在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行解答，所以多數(shù)情況下要采取特殊方法進(jìn)行解答，如利用不等式的優(yōu)點(diǎn)，將導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)分離后進(jìn)行消除，再進(jìn)行求解。

又如例2：鄭州市2020屆高三學(xué)生一模理科數(shù)學(xué)中的第21題：

已知函數(shù)f（x）=x-lnx- ? ? ?.

（I）略;（II）若f（x）+（x+ ? ）ex-bx≥1恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。在這道題中的第（II）小題，我們可以采用參數(shù)分離法進(jìn)行求解，解題如下：

導(dǎo)數(shù)題多半都涉及到單調(diào)性的問題，解決導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的問題涉及導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題進(jìn)而解決極值問題。零點(diǎn)問題的一種重點(diǎn)難點(diǎn)是隱零點(diǎn)問題，具體我們?cè)賮矸治鲆幌隆?020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（猜想卷）理科數(shù)學(xué)中的第21題：已知函數(shù)f（ x ）=2x2e2x+lnx（x﹥0）.

（ I ）略;（ II ）若對(duì)任意x∈（0，+∞），e2x-a- ? ? ≥ ? ?恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第（ II ）小題中，可采用參數(shù)分離法進(jìn)行解題，過程如下：對(duì)任意x∈（0，+∞）， e2x-a- ? ? ≥ ? ?恒成立，等價(jià)a≤

在解答這類題目時(shí)，零點(diǎn)設(shè)而不求，而根據(jù)參數(shù)的需要，代入函數(shù)再消去即可得出正確的答案。

高考的壓軸題已經(jīng)變成數(shù)學(xué)高分的一個(gè)重要分水嶺，加強(qiáng)高中生解決含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題顯得極為重要。就像剛剛過去2020高考數(shù)學(xué)壓軸題就是有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題，命題人主要想考察高中生分類討論的意識(shí)以及能力，通常利用函數(shù)作為載體，搭載含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將分類討論的思想充分體現(xiàn)。在解含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題時(shí)，先運(yùn)用分離參數(shù)法將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，然后轉(zhuǎn)化為求最值的問題進(jìn)行討論，才能把握解題的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳統(tǒng)勝. 例談含參數(shù)型函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的一般性解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究， 2018（4）： 15-20.

[2] 吳統(tǒng)勝，楊豫暉. 例談構(gòu)造函數(shù)法破解高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究， 2018.