關于解決直線與圓的位置關系問題的幾種常用方法

李志民

1 直線與圓的位置關系有三種：相交、相切、相離。

點擊并拖拽以移動判斷直線與圓的位置關系常見的有三種方法：

判別式 ? ? ? ? ? ? 相交

1.1代數法： 點擊并拖拽以移動 ? ? ? ? 相切

Δ=b2-4ac ? ? ? ? ? ? 相離

1.2 幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑

r的大小關系：dr相離

（三）點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.此法適用于動直線問題。

2 計算直線被圓截得的弦長的常用方法

2.1 幾何方法

運用弦心距（即圓心到直線的距離）、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算。

2.2 代數方法

一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出;

二是運用韋達定理及弦長公式

點擊并拖拽以移動|AB|= ? ? ? ? |xA-xB|= 點擊并拖拽以移動

說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法。

3 求過點P（x0，y0）的圓x2+y2=r2的切線方程

3.1 若P（x0，y0）在圓x2+y2=r2上， 則以P為切點的圓的切線方程為：x0x+y0y=r2

3.2 若P（x0，y0）在圓x2+y2=r2外，則過P的切線方程可設為：y-y0=k（x-x0），利用待定系數 法求解。

說明：k為切線斜率，同時應考慮斜率不存在的情況.

4 例題選講：

例1. 已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=12。

（1）試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點;

（2）求直線l被圓C截得的最短弦長。

（1）證明 由點擊并拖拽以移動

消去y得（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，因為Δ=（4k-2）2+28（k2+1）>0，

所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點.

（2）解 設直線與圓交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，

則直線l被圓C截得的弦長|AB|=|x1-x2|=2=2 ，

令t=，則tk2-4k+（t-3）=0，當t=0時，k=-，當t≠0時，因為k∈R，

所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，

故t=的最大值為4，此時|AB|最小為2。

例2. 已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（m∈R）。

（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上;

（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、 相離;

（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線 被各圓截得的弦長相等。

（1）證明 ?配方得：（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25，

設圓心為（x，y）， 消去m得x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上。

（2）解 設與l平行的直線是l1：x-3y+b=0，則圓心到直線l1的距離為

點擊并拖拽以移動

∵圓的半徑為r=5，∴當d

當d=r，即b=±5 點擊并拖拽以移動 -3時，直線與圓相切;

當d>r，即b<-5 點擊并拖拽以移動 -3或b>5點擊并拖拽以移動 -3時，直線與圓相離。

（3）證明 ?對于任一條平行于l且與圓相交的直

線l1：x-3y+b=0，由于圓心到直線l1的距離d= 點擊并拖拽以移動 弦長點擊并拖拽以移動 且r和d均為常量。

∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。

例3. ?m為何值時，直線2x-y+m=0與圓x2+y2=5.（1）無公共點;

（2）截得的弦長為2。

解 （1）由已知，圓心為O（0，0），半徑r= 點擊并拖拽以移動，， 圓心到直線2x-y+m=0的距離

點擊并拖拽以移動

∵直線與圓無公共點，∴d>r，即點擊并拖拽以移動∴m>5或m<-5。

故當m>5或m<-5時，直線與圓無公共點。

（2）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12，即 ? 5-點擊并拖拽以移動=1。

得m=±2點擊并拖拽以移動 ，∴當m=±2 點擊并拖拽以移動時，直線被圓截得的弦長為2。

1-339點擊并拖拽以移動

例4. 已知點M（3，1），及圓（x-1）2+（y-2）2=4. 求過M點的圓的切線方程

解 圓心C（1，2），半徑為r=2，當直線的斜率不存在時，方程為x=3。

由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3-1=2=r知，

此時，直線與圓相切. ?當直線的斜率存在時，設方程為y-1=k（x-3）。，

即kx-y+1-3k=0.由題意知點擊并拖拽以移動解得k= 點擊并拖拽以移動。

∴方程為y-1=點擊并拖拽以移動（x-3），即3x-4y-5=0.故過M點的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0。

例5 ?已知點A（1，a），圓x2+y2=4。

（1）若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及點擊并拖拽以移動切線方程;

（2）若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線 被圓截得的弦長為2點擊并拖拽以移動，求a的值。

點擊并拖拽以移動解（1）由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故12+a2=4，∴a=±點擊并拖拽以移動 .

點擊并拖拽以移動當a= 點擊并拖拽以移動時，A（1，點擊并拖拽以移動），切線方程為x+ 點擊并拖拽以移動y-4=0;當a=-點擊并拖拽以移動時，A（1，- 點擊并拖拽以移動）。

切線方程為x- 點擊并拖拽以移動y-4=0， （2）設直線方程為x+y=b，由于過點A，∴1+a=b，a=b-1。

點擊并拖拽以移動又圓心到直線的距離d= 點擊并拖拽以移動 ∴點擊并拖拽以移動+3=4，∴b=±點擊并拖拽以移動，∴a=±點擊并拖拽以移動-1。

課題名稱：高中數學解析幾何習題課的實踐研究，2018年度甘肅省“十三五”教育科學規(guī)劃一般自籌課題，課題編號：GS[2018]GHB3521。

（作者單位：甘肅省金昌市第一中學）