基于LMI的小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)非線性穩(wěn)態(tài)控制

曹惠玲，鄭里鷲

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

在役民機(jī)所裝配的推進(jìn)控制系統(tǒng)最終是基于經(jīng)典線性補(bǔ)償回路設(shè)計(jì)的[1-2]，無(wú)法最大程度地發(fā)揮發(fā)動(dòng)機(jī)性能，研究人員專注于參數(shù)變化性、非線性和系統(tǒng)變量約束的主題，致力于將非線性控制理論應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)[3-4]。目前工程上廣泛將航空發(fā)動(dòng)機(jī)飛行包線分為幾十個(gè)區(qū)域，對(duì)于每個(gè)區(qū)域選擇一個(gè)或若干個(gè)穩(wěn)定工作點(diǎn)進(jìn)行線性化，針對(duì)線性化模型設(shè)計(jì)控制器，并通過(guò)增益調(diào)度技術(shù)對(duì)控制器進(jìn)行集成設(shè)計(jì)。工作點(diǎn)的數(shù)目取決于航空發(fā)動(dòng)機(jī)的復(fù)雜性、非線性以及物理作用。隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能的提升，其非線性日益突出，工作點(diǎn)數(shù)目過(guò)多導(dǎo)致調(diào)度系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)于復(fù)雜[5]。針對(duì)控制系統(tǒng)的參數(shù)和工況偏離設(shè)計(jì)工作點(diǎn)的情況，一般結(jié)合魯棒控制，將參數(shù)的不確定變化當(dāng)作相對(duì)于基準(zhǔn)模型的攝動(dòng)，很少對(duì)系統(tǒng)的非線性進(jìn)行建模研究，往往對(duì)這種不確定性范圍的估計(jì)過(guò)于保守，導(dǎo)致系統(tǒng)性能的下降[6-7]。以DGEN380 小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，在其線性狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上引入一般非線性項(xiàng)對(duì)模型工作范圍進(jìn)行拓寬，并結(jié)合廣義Gronwall-Bellman 引理和線性矩陣不等式（LMI,linear matrix inequality）方法設(shè)計(jì)該發(fā)動(dòng)機(jī)的穩(wěn)態(tài)控制律。

1 非線性系統(tǒng)控制方法研究

LMI 作為有力的設(shè)計(jì)工具被廣泛運(yùn)用于控制領(lǐng)域中[8]。在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中，穩(wěn)定性是需要研究的首要問(wèn)題。Lyapunov 直接方法是分析和設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng)最重要的工具。Lyapunov 穩(wěn)定性定理[9]表明，如果存在連續(xù)可微的函數(shù)V ∶[0，∞]×Ω→R 且滿足

其中：?t≥0，?x∈Ω，且W1（x），W2（x）和W3（x）都是Ω 上的正定函數(shù)，則x=0 是漸近穩(wěn)定的。

Gronwall-Bellman 引理常被用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[10-11]，Louartassi 等[12]提出了Gronwall-Bellman引理的新推廣，可以指數(shù)方式穩(wěn)定一大類非線性系統(tǒng)。該廣義Gronwall-Bellman 引理指出，當(dāng)t∈I=[a，b]時(shí)，如果存在ρ（t）、z（t）和w（t）非負(fù)連續(xù)，c ＞0，n ＞1為整數(shù)，使得

如果有

則有

利用廣義Gronwall-Bellman 引理主要對(duì)狀態(tài)變量范數(shù)的收斂速度進(jìn)行研究，基于該引理設(shè)計(jì)滑?？刂茀?shù)的LMI 約束，將小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)控制系統(tǒng)分析和調(diào)節(jié)器控制律的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為帶有LMI 約束的優(yōu)化問(wèn)題，使得閉環(huán)系統(tǒng)獲得期望的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。

2 發(fā)動(dòng)機(jī)非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

穩(wěn)態(tài)控制的目的是使發(fā)動(dòng)機(jī)較長(zhǎng)時(shí)間保持在一個(gè)期望工作狀態(tài)附近，所謂期望工作狀態(tài)即相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)固定功率狀態(tài)，即飛行員通過(guò)油門桿控制的推力水平，通常將轉(zhuǎn)速或增壓比作為設(shè)定值。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)偏離設(shè)定工作點(diǎn)時(shí)，設(shè)定值和反饋值之間的差異會(huì)產(chǎn)生誤差，該誤差即是穩(wěn)態(tài)控制回路的輸入，穩(wěn)態(tài)控制通過(guò)控制算法計(jì)算輸入燃燒室的燃油流量將誤差調(diào)節(jié)為0，使控制變量保持定值，以維持飛機(jī)所需的發(fā)動(dòng)機(jī)推力水平?？刂茖?duì)象DGEN380 發(fā)動(dòng)機(jī)采用全權(quán)限數(shù)字式電子控制（FADEC）系統(tǒng)，該系統(tǒng)由傳感器、數(shù)字式電子控制器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、供油裝置、油泵及被控目標(biāo)組成。傳感器測(cè)量發(fā)動(dòng)機(jī)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)，并將信號(hào)傳遞到控制器，然后由控制器完成各控制算法的計(jì)算[13]。由于其幾何不可調(diào)，在一定的飛行條件和大氣環(huán)境下，只要主燃油流量一定，則該發(fā)動(dòng)機(jī)的工況唯一確定。對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)，建立具有高保真度、簡(jiǎn)化的且物理特性清晰的“大偏離”實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)模型對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)在寬廣的飛行包線內(nèi)穩(wěn)定、可靠地運(yùn)行并且充分發(fā)揮其性能效益有著重要意義。令發(fā)動(dòng)機(jī)非線性氣動(dòng)熱力學(xué)模型表達(dá)式為

其中：x 為狀態(tài)變量；y 為輸出變量；u 為控制變量。相對(duì)于壓力、溫度等參數(shù)以及作動(dòng)器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)過(guò)程要慢得多，對(duì)整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)特性的影響具有主導(dǎo)作用，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究時(shí)，僅考慮高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的動(dòng)態(tài)特性。則

其中：n1、n2和wf分別表示以設(shè)計(jì)工作條件下的設(shè)計(jì)點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)做歸一化處理后的低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和燃油流量。

2.1 實(shí)時(shí)非線性模型

結(jié)合該發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)及其特性數(shù)據(jù)，采用解析法利用Matlab/Simulink 仿真平臺(tái)建立瞬態(tài)循環(huán)模型。將模型在設(shè)計(jì)工作條件下油門桿位置為50%時(shí)燃油流量對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)（x0，u0，y0）處高低壓轉(zhuǎn)子的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)在設(shè)計(jì)飛行條件下進(jìn)行相似換算，并以設(shè)計(jì)工作條件下的設(shè)計(jì)點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)做歸一化處理，通過(guò)擬合[14]提取該穩(wěn)態(tài)點(diǎn)線性化狀態(tài)變量模型，即

其中：Δx = x - x0，Δu = u - u0，Δy = y - y0，

為使模型適用于工況偏離線性模型設(shè)計(jì)點(diǎn)較大的情況，引入一般非線性項(xiàng)。此時(shí)

圖1 不同燃油階躍下的高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.1 Response of high and low pressure rotors under different fuel steps

由圖1 可以看出，發(fā)動(dòng)機(jī)部件級(jí)動(dòng)態(tài)循環(huán)模型響應(yīng)曲線和簡(jiǎn)化非線性模型響應(yīng)曲線吻合良好，模型精度可靠，適用于該發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)工作條件下油門桿位置從50%到80%的運(yùn)行范圍。

2.2 基于LMI 的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

狀態(tài)方程的狀態(tài)由n1、n2偏離穩(wěn)定工作狀態(tài)的變化量值給定。在非線性仿真或?qū)嶋H工作中，產(chǎn)生一對(duì)期望（n1、n2）的wf通常由發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)非線性求解器計(jì)算得到。通過(guò)計(jì)算n1、n2偏離參考狀態(tài)的變化量，可以得到Δx。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)處于某一穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)時(shí)，Δx=0，Δu=0，外界環(huán)境發(fā)生變化時(shí)，狀態(tài)將不再為0。所謂調(diào)節(jié)器問(wèn)題，指在一定工作區(qū)域內(nèi)設(shè)計(jì)穩(wěn)態(tài)控制律，使得狀態(tài)變量從該區(qū)域內(nèi)任意的初始值開(kāi)始，都能按指定方式趨近于穩(wěn)態(tài)值。對(duì)于非線性模型式（8），容易求得（A，B）能控?？刂颇繕?biāo)是設(shè)計(jì)反饋控制律Δu =-KΔx，實(shí)現(xiàn)且使得Δx（t）具有良好的品質(zhì)，使非線性閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定于穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)，其中K 為待求的反饋矩陣。將Δu=-KΔx，代入式（8）可得閉環(huán)系統(tǒng)為

令M=A-BK 并代入式（9）可得

狀態(tài)方程式（10）的解為

非線性狀態(tài)方程常常需要計(jì)算其解的邊界。當(dāng)矩陣M所有特征值均具有嚴(yán)格的負(fù)實(shí)部時(shí)，存在α ＞0，θ ＞0，使得

結(jié)合式（11）和式（12）可得到Δx（t）的邊界范數(shù)‖Δx（t）‖2滿足

由式（13）可以看出非線性狀態(tài)方程式（10）解的范數(shù)‖Δx（t）‖2與α exp（-θt）和‖f（Δx（t））‖2有關(guān)。對(duì)于‖f（Δx（t））‖2，由矩陣向量相容性可得

從而得到‖f（Δx（t））‖2滿足

將式（16）代入式（13）可得‖Δx（t）‖2滿足

2.2.1 狀態(tài)邊界特性分析

利用廣義Gronwall-Bellman 引理對(duì)狀態(tài)偏差量范數(shù)‖Δx（t）‖2特性進(jìn)行分析，對(duì)式（17）進(jìn)行變換得到關(guān)系式

針對(duì)廣義Gronwall-Bellman 引理，分別取n = 2，z（t）=‖Δx（t）exp（-θt）‖2，c=α‖Δx（0）‖2，ρ（t）=0，w（t）=α‖F(xiàn)‖exp（-θt），可以得到，如果系統(tǒng)初始條件滿足關(guān)系式（4），則z（t）=‖Δx（τ）exp（-θt）‖2滿足關(guān)系式（5）的約束關(guān)系。下面對(duì)系統(tǒng)初始條件‖Δx（0）‖2進(jìn)行討論，結(jié)合式（4）可得‖Δx（0）‖2應(yīng)滿足

納米流體發(fā)電的本質(zhì)是利用納米孔與電解質(zhì)溶液界面效應(yīng)所產(chǎn)生的對(duì)陰/陽(yáng)離子的選擇透過(guò)性，將蘊(yùn)含在溶液濃度梯度差中的吉布斯自由能轉(zhuǎn)化為電能.基于納米流體發(fā)電的基本原理可知，決定輸出功率變化趨勢(shì)的原因有兩個(gè)：一是ΔC，隨著它的增加意味著有更多的吉布斯自由能可以轉(zhuǎn)化為電能；二是納米孔陣列的離子選擇透過(guò)性，它的強(qiáng)弱與納米管道兩側(cè)雙電荷層的厚度(λD)密切相關(guān)，λD的公式為：

對(duì)式（19）進(jìn)行變換，可以得到

由于1-exp（-θt）＜1，進(jìn)一步得到

可以通過(guò)對(duì)矩陣K 的選取對(duì)α 和θ 進(jìn)行調(diào)節(jié)使得‖Δx（0）‖2在滿足式（21）的同時(shí)在模型的運(yùn)行范圍內(nèi)。當(dāng)系統(tǒng)初始條件‖Δx（0）‖2滿足式（21）時(shí)，利用Gronwall-Bellman 引理可得

由于‖Δx（t）‖2是對(duì)邊界特性進(jìn)行分析，所以對(duì)（22）進(jìn)行變換可得

令

則‖Δx（t）‖2滿足

可得‖Δx（t）‖2將指數(shù)收斂到0，所以閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)收斂于平衡點(diǎn)。

2.2.2 LMI 約束設(shè)計(jì)

則有

由式（27）可以看出，‖Δx（t）‖2的邊界特性與α和θ 有關(guān)，可通過(guò)反饋矩陣K 的選取來(lái)控制α，θ 的取值從而實(shí)現(xiàn)對(duì)‖Δx（t）‖2邊界的調(diào)節(jié)，進(jìn)而使系統(tǒng)獲得滿意的性能。

根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的要求[16]，設(shè)計(jì)LMI 約束為

則‖Δx（t）‖2滿足

2.2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

基于Lyapunov 定理對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)式（10）進(jìn)行穩(wěn)定性驗(yàn)證，取備選Lyapunov 函數(shù)，即

則有

從而得到

對(duì)于‖f（Δx）‖2，將式（35）代入式（16）可得

將式（36）代入式（34）從而可得V˙（Vx）滿足

根據(jù)Lyapunov 定理，非線性系統(tǒng)式（10）能漸近穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，即通過(guò)求解式（28）所得反饋矩陣K 使閉環(huán)系統(tǒng)獲得期望的性能。

3 仿真算例數(shù)值研究

在穩(wěn)態(tài)情況下，不同油門桿所在位置分別對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)工作條件下不同穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)的供油量，由于采用的控制對(duì)象幾何不可調(diào)，在一定的飛行條件和大氣環(huán)境下，只要主燃油流量一定，則該發(fā)動(dòng)機(jī)的工況唯一確定。選擇控制模式，通過(guò)對(duì)燃油流量的調(diào)節(jié)來(lái)將轉(zhuǎn)速維持在恒定值。對(duì)于控制系統(tǒng)，階躍形式的擾動(dòng)最為嚴(yán)重，為了良好地反映該發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)特性，狀態(tài)變量的擾動(dòng)量為階躍形式，該擾動(dòng)量是對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)偏離設(shè)定工作點(diǎn)的模擬，對(duì)狀態(tài)變量初始值Δx0的取值即模擬發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速偏離設(shè)定工作點(diǎn)，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制律能否快速地將轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)到設(shè)定值上，即Δx=0。

通過(guò)Matlab 中的Yalmip 工具箱求解式（28），可得K=[2.325 5 1.825 7]。求得分別取狀態(tài)變量Δx 的初始值為[0 0.05]、[0.05 0]和[0.05 0.05]，由此得到對(duì)應(yīng)‖Δx0‖2的值分別為0.05、0.05 和0.070 7，小于0.100 1，滿足式（29）的約束條件。3 種情況的控制系統(tǒng)響應(yīng)軌跡曲線分別如圖2～圖5 所示。

圖2 系統(tǒng)初始值為[0 0.05]的狀態(tài)響應(yīng)軌跡Fig.2 State response trajectory with initial system value[0 0.05]

圖3 系統(tǒng)初始值為[0.05 0]的狀態(tài)響應(yīng)軌跡Fig.3 State response trajectory with initial system value[0.05 0]

圖4 系統(tǒng)初始值為[0.05 0.05]的狀態(tài)響應(yīng)軌跡Fig.4 State response trajectory with initial system value[0.05 0.05]

圖5 三種不同狀態(tài)初值下系統(tǒng)控制輸入Fig.5 System control inputs for three different initial values

圖2 ～圖4 分別給出3 種不同初始值下的控制系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)，可以看出，在較大的初始狀態(tài)條件下，閉環(huán)系統(tǒng)能在較短時(shí)間內(nèi)回到平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)時(shí)間約為2.2 s 左右，響應(yīng)性能較好，滿足航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的要求。圖5 給出在3 種不同初始值下的控制輸入，可以看出曲線平滑，符合航空發(fā)動(dòng)機(jī)的供油規(guī)律，滿足經(jīng)濟(jì)性要求，表明設(shè)計(jì)的發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)控制器能在較短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到期望的性能。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，在線性狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上引入非線性項(xiàng)，使模型適用于工況偏離設(shè)計(jì)工作點(diǎn)較大的情況，模型精度可靠。基于廣義Gronwall-Bellman 引理設(shè)計(jì)了穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)控制器，該控制器可在一定初值條件下對(duì)狀態(tài)變量二范數(shù)邊界特性進(jìn)行調(diào)節(jié)，所設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)保證了控制系統(tǒng)的收斂性。利用Lyapunov 定理證明了該設(shè)計(jì)方法的有效性，以DGEN380 發(fā)動(dòng)機(jī)為仿真研究對(duì)象，對(duì)上述控制器進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明，對(duì)于較大的狀態(tài)變量初值，穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)控制器能使系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)回到平衡狀態(tài)。實(shí)現(xiàn)了基于發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型的穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)，為小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)控制律的分析與設(shè)計(jì)提供了一種有效思路。