回歸教材 學(xué)以致用 提升涵養(yǎng)

錢云祥

2020年4月，筆者為無錫市濱湖區(qū)命制了一份初三中考模擬試卷?，F(xiàn)就第28題（全卷共28題）的試題生成及相關(guān)思考與各位讀者交流分享。

1 初步思考

根據(jù)本地區(qū)近幾年中考試卷的框架特點(diǎn)，全卷共設(shè)置28題。其中第27、28題綜合性較強(qiáng)，難度系數(shù)一般控制在0.3-0.5左右。筆者在命制這份模擬試卷第28題時(shí)，根據(jù)全卷知識點(diǎn)布局情況，初步擬定以下三條基本命題思路：一是考查“幾何變換”，二是注重“能力立意”，三是關(guān)注“分層要求”?；谶@樣的思考，為較好地實(shí)現(xiàn)“低起點(diǎn)、高落點(diǎn)”的考查要求，筆者確定了如下方向：從教材中尋找“幾何變換”方面的素材，命制一道有較高能力要求的幾何綜合題。

2 素材選擇

結(jié)合上述初步思考，通過查看蘇科版教材，筆者找到了如下所示的一段材料：

原型 （蘇科版教材八年級上冊第69頁第2章軸對稱圖形“數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙與證明”）

折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法。

相關(guān)思考：之所以選擇這一材料作為命題素材，主要考慮到以下幾個(gè)方面：

（1）教材及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中并未將上面的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”所得結(jié)論（“大邊對大角”）作為“定理”，因此具有深入研究的價(jià)值，具有深度開發(fā)的可能。

（2）整個(gè)材料篇幅不長，表述較為簡潔，證明思路非常清晰。若將此作為“閱讀材料”，學(xué)生容易理解，好上手，將能較好地落實(shí)“低起點(diǎn)”的初始想法。

（3）無論是上面證明方法本身，還是所得結(jié)論，都對學(xué)生具有一定的啟示作用，便于進(jìn)一步提出運(yùn)用要求并進(jìn)行適度拓展延伸。

3 探尋走向

解決了“從哪里來”的問題，那么“到哪兒去”呢？從方法角度思考，可以考慮軸對稱，也可以延伸到平移或旋轉(zhuǎn)：從知識角度思考，可以考慮把“大邊對大角”這一結(jié)論進(jìn)一步挖掘拓展。

在經(jīng)歷了一定的思考之后，筆者選擇“正方形”這一軸對稱圖形進(jìn)行了操作探究：如圖3，E為正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)。連接DE并延長交AB的延長線于點(diǎn)F，顯然，當(dāng)點(diǎn)E，B重合時(shí)，DE=DF=DB;當(dāng)點(diǎn)E，C重合時(shí)，DE//AB。由此不由想到：若點(diǎn)E在B、C兩點(diǎn)之間時(shí)，DE，DF這兩個(gè)變量與常量DB之間又會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？通過借助“幾何畫板”軟件中的“度量”功能，筆者發(fā)現(xiàn)：不論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)，始終都有"DE+DF>2DB'成立。關(guān)于線段長的不等式。形式上恰好與“數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙與證明”材料相關(guān)。而這種相關(guān)性，也許正是看似無關(guān)的兩個(gè)素材的結(jié)合點(diǎn)。

4 形成初稿

帶著這樣的思考，筆者經(jīng)一定的推理演算形成了如下所示的初稿：

相關(guān)思考：（1）在“問題提出”中，給出分析，闡述思路，然后在“問題解決”中要求學(xué)生完成相關(guān)證明，難度要求較低，只要看懂分析過程，掌握“三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角”這一性質(zhì)，即可輕松完成證明。這樣的設(shè)計(jì)，起點(diǎn)低，便于學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。

5 修改完善

初稿完成后，下一步就是命題的一個(gè)不可或缺的步驟——“試解”。伴隨著該環(huán)節(jié)落于筆墨，發(fā)現(xiàn)了初稿設(shè)計(jì)中存在的一個(gè)問題：筆者嘗試了如下兩種證明方法，似乎都繞不開“大角對大邊”。

方法l：如圖8，以D為圓心，DB長為半徑作弧，分別交DF，DH于P，Q，連接BP，BQ，則DP=DQ=DB。于是，可將證“DE+DH>2DB'轉(zhuǎn)化為證“QH>PE"。結(jié)合圖形的對稱性，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“QH>BQ（BP）>PE”，其證明需用到性質(zhì)“大角對大邊”。

相關(guān)思考：（1）怎樣由初稿所設(shè)計(jì)的“大邊對大角”過渡到“大角對大邊”？可以有兩種選擇：一是直接將“問題提出”中問題的條件與結(jié)論對換：二是增設(shè)問題，由閱讀材料“大邊對大角”引出讓學(xué)生通過折紙證明“大角對大邊”?？紤]到回歸課本這一最初思考，筆者傾向于第二種選擇，但不宜增加小題數(shù)量。

（2）怎樣把教材中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的要求緊密結(jié)合，在文本表述上能否再稍作優(yōu)化？

（3）在“知識”與“方法”兩個(gè)層面，能否在文本中以合適的方式適當(dāng)“點(diǎn)題”以指引學(xué)生能力提升的方向？

（4）對于初稿“拓展運(yùn)用”中的“試探究DE，DF，DB之間的關(guān)系”，假如學(xué)生給出的答案是“DE

綜合上述思考，形成了如下的終稿：

（2）拓展延伸：請運(yùn)用上述方法或結(jié)論解決如下問題：

相關(guān)思考：（1）“閱讀材料”中由“等邊對等角”切換到“大邊對大角”，非常自然;然后再由“閱讀材料”中的“大邊對大角”到“靈活運(yùn)用”中的“大角對大邊”，過渡了無痕跡。

（2）在“閱讀材料”給出完整證明過程的基礎(chǔ)上，“靈活運(yùn)用”中再“借小明之口”又一次提供思路，這樣可確保絕大多數(shù)學(xué)生能得分，也為后續(xù)解題中的“翻折”作了預(yù)熱。

（3）“從上面的證法可以看出，折紙常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法”、“請運(yùn)用上述方法或結(jié)論解決如下問題”，這樣的提示性話語，為學(xué)生的能力發(fā)展創(chuàng)造了契機(jī)并提供了方向。

（4）從初稿到定稿，圖6到圖13的變化，需要用“AC=BD”作引橋，也算是作為將“試探究DE.DF，DB之間的關(guān)系”調(diào)整為“求證AM+AN>2BD'的一種能力考查的“補(bǔ)償”。

（5）在文本“M為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)”中增加備注“不含端點(diǎn)”，則是在科學(xué)性方面的一種有效完善。

限于篇幅。具體解答這里就不再贅述。

6 教學(xué)啟示

最后，筆者結(jié)合本題的命制，從命題者的角度談幾點(diǎn)教學(xué)啟示。

6.1 回歸教材，教學(xué)理應(yīng)緊扣課本落實(shí)基礎(chǔ)。

教材是教育理論研究者與一線學(xué)科教育教學(xué)專家共同深入研究而形成的優(yōu)秀物化成果。日常教學(xué)中，我們應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，用好教材。同樣地，中考復(fù)習(xí)我們也應(yīng)回歸教材，緊扣課本去落實(shí)基礎(chǔ)，以免步入被教輔材料牽著鼻子走的怪圈。緊扣教材，精準(zhǔn)把握《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，一定會契合中考要求的脈搏。相信，對教材的二次開發(fā)與利用，一定會讓學(xué)生獲得新的理解，一定會讓中考復(fù)習(xí)課煥發(fā)新的生命力，讓我們的課堂教學(xué)生長出新的張力。

6.2 學(xué)以致用。評價(jià)理應(yīng)突出學(xué)生應(yīng)用意識。

學(xué)習(xí)的目的是什么？考試評價(jià)應(yīng)關(guān)注哪些要素？顯然，學(xué)習(xí)不只是為了簡單的識記和機(jī)械的訓(xùn)練?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要。數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識?！睂W(xué)以致用，如何在評價(jià)中體現(xiàn)？筆者認(rèn)為，“閱讀一理解一應(yīng)用”不失為一種較為恰當(dāng)?shù)姆绞脚c途徑：學(xué)習(xí)一段材料，在理解的基礎(chǔ)上獲得新的知識或方法，然后加以拓展應(yīng)用。不過，“選擇怎樣的材料”大有講究。筆者認(rèn)為，從考試的導(dǎo)向性角度看。命題者不宜選擇更高學(xué)段的書本知識，否則可能會誤導(dǎo)“教學(xué)前移”，從而盲目加重學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)。而本文中這道中考模擬試題中“閱讀材料”的方向選擇，就是一種新的嘗試?！伴喿x材料一靈活運(yùn)用一拓展延伸”，層層推進(jìn)，很好地呼應(yīng)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，較好地評價(jià)了學(xué)生的應(yīng)用意識與應(yīng)用能力。

6.3 提升涵養(yǎng)。實(shí)戰(zhàn)理應(yīng)凸顯學(xué)生關(guān)鍵能力。

任何一份綜合卷，一般都有幾道對能力要求較高的試題。作為實(shí)戰(zhàn)模擬演練的中考模擬考試，最后一題自然少不了考查學(xué)生的關(guān)鍵能力。從上面這道試題看，推理并不繁瑣，但綜合能力要求較高，本質(zhì)上是對學(xué)生學(xué)科綜合素養(yǎng)的考查，即學(xué)生的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)與關(guān)鍵能力。如果說“靈活運(yùn)用”還算中規(guī)中矩，較為基礎(chǔ)，那么“拓展延伸”中所設(shè)計(jì)的題目與前面的小題題面上好像并無關(guān)聯(lián)。能否發(fā)現(xiàn)其關(guān)聯(lián)？恰恰檢驗(yàn)了學(xué)生的涵養(yǎng)與能力。從某種意義上講，對這類試題的解題實(shí)踐，其實(shí)也是提升涵養(yǎng)的一次很好實(shí)踐。