“古為今用”數(shù)學(xué)文化融入中考試題命制剖析

張安軍

近年來在中考數(shù)學(xué)試題的命制過程中。以數(shù)學(xué)史為背景，取材于數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)名著中的問題，適當(dāng)?shù)丶右愿木?。是命制中考?shù)學(xué)文化試題的一個熱點。本文以一元二次方程的幾何解法為例。分析和研究數(shù)學(xué)文化試題命制的方法。為老師們提供參考。

1 源于數(shù)學(xué)史料的數(shù)學(xué)文化題的編擬

文依據(jù)數(shù)學(xué)文化題的取材分為兩類，一類是取材于數(shù)學(xué)史中的問題。包括數(shù)學(xué)名著中的問題以及數(shù)學(xué)歷史中的問題;另一類是取材于文化事物，其中包括文化符號（例如弦圖）、文化物品（如趙州橋）、文化事件（如田忌賽馬、“嫦娥一號”發(fā)射成功）等等。文依據(jù)數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)容。將試題中的數(shù)學(xué)文化劃分為：數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科學(xué)，但并不涉及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精神等。為了敘述方便。本文將數(shù)學(xué)文化試題分為數(shù)學(xué)史和其他數(shù)學(xué)文化問題。以數(shù)學(xué)史為背景的中考試題主要包括數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)名著中的問題、數(shù)學(xué)圖形（如趙爽弦圖等）、數(shù)學(xué)史上的標(biāo)志性問題、數(shù)學(xué)符號等等。

以數(shù)學(xué)史料為背景的試題?？梢詷O大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。那么如何命制這類數(shù)學(xué)試題呢？學(xué)者汪曉勤把數(shù)學(xué)史融入課堂劃分為附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四類。其中附加式和復(fù)制式?jīng)]有直接改變教學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)。都以顯性的形式直接展示歷史上的數(shù)學(xué)問題及其數(shù)學(xué)家圖片，生平事跡等，那么中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)史料的運用可以借鑒上述數(shù)學(xué)史料融入課堂，把附加式和復(fù)制式合為一種，得到以下三種命制方法。具體見表1.

以下對來自數(shù)學(xué)史料的數(shù)學(xué)文化試題的命制進(jìn)行探討。為了更好地認(rèn)識和理解這類試題的命制方式。下面以一元二次方程的解法命制為背景談數(shù)學(xué)文化試題命制。

2 一元二次方程的幾何解法命制

2.1 重現(xiàn)一元二次方程的幾何解法

命制剖析：本題是以浙教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊的“閱讀材料”學(xué)習(xí)“一元二次方程的發(fā)展小記”為背景，試題在命制時直接呈現(xiàn)數(shù)學(xué)名著《原本》中的幾何解法。命制的手法系重現(xiàn)式。以選擇題的形式讓學(xué)生對圖中的線段進(jìn)行辯認(rèn)。辨認(rèn)的過程是思維監(jiān)控與反思的過程，也是融合了計算、推理等理性思維的過程。它要求學(xué)生能讀懂尺規(guī)作圖等數(shù)學(xué)語言。從中提取問題信息，并在此基礎(chǔ)上利用勾股定理等知識進(jìn)一步計算比較各條線段的長度。試題將作圖和計算融為一體，既具備了一定的開放度，又包含了一定的思維量，滲透了數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。同時以教材內(nèi)容為素材，進(jìn)行試題編制或改編，能夠引導(dǎo)師生對教材內(nèi)容的重視，而不是把精力放在刷題上，回歸教材。

2.2改編條件或結(jié)論

案例2（2018杭州）

命制剖析：本題也是以浙教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊的“閱讀材料”學(xué)習(xí)“一元二次方程的發(fā)展小記”為背景，但不同于案例1，在《原本》中原有問題條件的基礎(chǔ)上適度地增加一些條件。從而引發(fā)出了3個不同層次的問題。第（1）小題考查特殊三角形中的角度關(guān)系，理清關(guān)系就可計算;第（2）小題①把數(shù)學(xué)史引入考題，體現(xiàn)了中考試題中人文教育;第（2）小題②探索圖形特殊化后的圖形要素之間的關(guān)系。具有更高的理性思維含量。改編時充分考慮了本題中所蘊(yùn)含的基礎(chǔ)知識、基本技能和思想方法，展示數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值。以數(shù)學(xué)名著中的問題為背景，適度增加條件引伸出不同層次的結(jié)論，它拓寬了數(shù)學(xué)命題的思路，有效地避免了試題命制的模式化，使學(xué)生擺脫“題?！?。倡導(dǎo)教師要致力于教材資源價值的開發(fā)。讓教材發(fā)揮其應(yīng)有的“范本”功能。進(jìn)而提高教師開發(fā)以教材為主的課程資源的能力。此外，試題命制盡量給學(xué)生留有多個解題的窗口，通過不同的方法嘗試均能獲得成功。這樣的試題對教師教學(xué)的啟示是：多留一點時間給學(xué)生，慢一點，等一等落后的靈魂。教學(xué)中多給學(xué)生一分時間，他們會還你十分精彩。

2.3 方法的遷移或拓展

2.3.1 對方法的模仿遷移

命制剖析：本題選自以北師大版數(shù)學(xué)教材九年級上冊的一元二次方程的幾何解法“閱讀材料”。以數(shù)學(xué)家趙爽的解法為背景，通過改編原有方程的數(shù)字系數(shù)，考查學(xué)生學(xué)生閱讀理解、信息提取的能力。由于命制者把原有問題中一次項系數(shù)從正數(shù)變成負(fù)數(shù)。要求學(xué)生相應(yīng)地要從數(shù)到形的轉(zhuǎn)變。學(xué)生只有在理解古代數(shù)學(xué)家解法的基礎(chǔ)上，從觀察比較到方法的領(lǐng)會，從方法的領(lǐng)會到模仿和創(chuàng)新。本題難點在于一元二次方程的一次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的時候。如何用幾何的方法進(jìn)行再創(chuàng)造。試題背景清晰，構(gòu)思獨特，滲透數(shù)學(xué)文化核心價值，即數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，陶冶學(xué)生心靈，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。使考試成為數(shù)學(xué)文化的傳播過程。

2.3.2 對方法和結(jié)論的拓展

案例4（2017臺州）在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根。比如對于方程x²-5x+2=0.操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）;

第二步：坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板。使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B;

第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時。點C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖5）;

第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點D處時。點D的橫坐標(biāo)n即為該方程的另一個實數(shù)根。

（1）在圖6中，按照“第四步”的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）;

（2）結(jié)合圖5，請證明“第三步”操作得到的m就是方程x²-5x+2=0的一個實數(shù)根;

（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置。若要以此方法找到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠O，b²-4ac≥0）的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標(biāo);

（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對。一般地，當(dāng)m₁，n₁，m₂，n₂與a，b，c之間應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系時，點P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）就是符合要求的一對固定點？

命制剖析：蘇格蘭作家卡萊爾（Thomascarlyle，1795-1881）在他的《平面解析幾何》記載了一元二次方程的幾何解法。如圖7.關(guān)于x的一元二次方程：x²+bx+c=0，他以（0，1）和（-b，c）為直徑的兩個端點作圓。若方程有兩個實數(shù)解，這個圓與x軸就有兩個交點，這兩個交點的橫坐標(biāo)是x²+bx+c=0的根。由于直徑所對的圓周角為直角。命制者改編原來的背景，對原來的結(jié)論進(jìn)行拓展，用直角三角板為工具，移動直角三角板到特定的位置，就能找到已知一元二次方程的實數(shù)根。既易于學(xué)生操作又充滿好奇。學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上先進(jìn)行模仿遷移。而后在操作中學(xué)會思考，為什么移動直角三角板就能得到一元二次方程的解。在理性上進(jìn)行確認(rèn)。再從具體的方程推廣到一般方程。以開放的視角讓學(xué)生寫出一對固定點的坐標(biāo)。最后基于逆向思維尋求固定點的坐標(biāo)和已知一般方程系數(shù)之間的關(guān)系。思維的層次在不斷地引向縱深。一元二次方程的求根蘊(yùn)含在操作游戲中，好玩、好奇又具有挑戰(zhàn)性，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化。領(lǐng)會好玩的背后蘊(yùn)含思維的深刻性。

3 對融入數(shù)學(xué)文化試題的命制進(jìn)一步思考

上述基于一元二次方程幾何方法求解的歷史?？梢园l(fā)現(xiàn)世界各大文明古國中最初都是用幾何方法求解，浙教版在閱讀材料中介紹歐幾里德的《幾何原本》中形如“x²+ax=b²”的圖解法。北師大版也在閱讀材料中介紹了中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法，同時還介紹阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密的方法。其實歷史上還有很多的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法。當(dāng)然幾何圖法只能求出其中的一個正根。由于命制方法和命制者的立意不同。開發(fā)出不同特色的數(shù)學(xué)文化試題。學(xué)生從中可以了解到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展。以及數(shù)學(xué)方法的古為今用。數(shù)學(xué)試題不完全都是冰冷的。通過挖掘史料，突顯數(shù)學(xué)人文性。解題方法多樣性。思維的火熱性。因此在教學(xué)中數(shù)學(xué)文化并不是因為中考要考查才顯得重要。不管是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度。還是從教師教學(xué)的角度來看，或是就數(shù)學(xué)本身而言。數(shù)學(xué)文化都是非常重要的。為了使數(shù)學(xué)文化更好、更自然融入日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過中考數(shù)學(xué)文化試題的考查去引領(lǐng)日常教學(xué)，還需要注重以下幾點。

3.1 試題命制要突出數(shù)學(xué)文化的核心價值

教育部考試中心發(fā)布的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中把數(shù)學(xué)文化列入高考試題中。雖然上述對高中來說的，但對初中仍有指導(dǎo)意義。那么何謂“數(shù)學(xué)文化”？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》界定數(shù)學(xué)文化是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義。以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動”。因此數(shù)學(xué)文化試題命制時，要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化試題的立意，突出理性價值，即數(shù)學(xué)精神、思想和方法。數(shù)學(xué)史料的融入可以是顯性的。也可以是隱性的。如上述案例1雖然是顯性的，但不是為文化而文化。學(xué)生要理解數(shù)學(xué)語言，尺規(guī)作圖，數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化，計算和推理的結(jié)合，從中才能得到正確的結(jié)論;案例2從知識走向能力的立意，突出數(shù)學(xué)思維過程與方法。案例3突出方法的遷移，案例4基于具體的操作背景，自主探索，從質(zhì)疑走向驗證。從特殊走向一般層面的推理認(rèn)證。基于理性的思考。對方法關(guān)鍵的剖析。這是理性思維必不可少的環(huán)節(jié)。

3.2 加強(qiáng)開放性的試題命制嘗試

上述數(shù)學(xué)文化試題都是從條件到結(jié)論的封閉型試題，能否與數(shù)學(xué)開放題相結(jié)合呢？其實我國數(shù)學(xué)開放題歷經(jīng)30多年的研究。有著豐富的研究成果。也可以將數(shù)學(xué)文化題與開放題結(jié)合嘗試，例如。著名數(shù)學(xué)家華羅庚非常重視“數(shù)形結(jié)合”去思考和解決問題，對于一元二次方程“x²+2x-35=0（x>0）”用幾何圖形給出解法（如圖8（1）），正方形ABCD是由4個相同的矩形和一個正方形EFGH組成。矩形的長比寬大2.請你構(gòu)造一個不同于圖8（1）的幾何圖形解法，重新設(shè)計方程“x²+2x-35=0（x>0）”幾何圖形解法。

事實上，除了圖8（1）的幾何解法外，以方程“x²+2x-35=0為例，還有如圖8（2）、（3）不同的幾何解法。以開放的視角培養(yǎng)學(xué)生探究能力。激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識，也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的重要目標(biāo)之一?！稑?biāo)準(zhǔn)》還指出學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是現(xiàn)實的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的，要求結(jié)合學(xué)生的生活實際（諸如生活中的測量、方案最優(yōu)化設(shè)計等問題），從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出和設(shè)計問題，并用數(shù)學(xué)方法加以探索、研究和解決問題。

3.3 數(shù)學(xué)文化試題命制應(yīng)挖掘和拓寬數(shù)學(xué)史料中的相關(guān)內(nèi)容

唯有這樣，中外兼顧，可以讓學(xué)生以更廣闊的視野看待數(shù)學(xué)對人類社會發(fā)展所做出的貢獻(xiàn)。