基于“三個理解”，踐行“問題驅動”

摘要：《一次函數(shù)與方程、不等式（1）》一課教學，設計了四個環(huán)節(jié)：復習舊知，引出新知;從函數(shù)角度解釋“解一元一次方程”;從函數(shù)角度解釋“解一元一次不等式”;課堂小結，布置練習。回顧該課的打磨歷程，雖然聚焦在板書的不斷調(diào)整優(yōu)化上，但是，教學立意卻是基于“三個理解”，踐行“問題驅動”的理念——理解數(shù)學：厘清函數(shù)對方程、不等式的統(tǒng)領作用;理解學生：在研判學情的基礎上選編問題驅動學程;理解教學：根據(jù)學程中學生的表現(xiàn)相機引導與追問。

關鍵詞：“三個理解”;問題驅動;《一次函數(shù)與方程、不等式（1）》

最近，筆者開設了一節(jié)公開課——人教版初中數(shù)學八年級下冊《19.3.2一次函數(shù)與方程、不等式（1）》，取得了較好的教學效果。課后回顧該課的打磨歷程，雖然聚焦在板書的不斷調(diào)整優(yōu)化上，但是，教學立意卻是基于“三個理解”（章建躍博士語，即理解數(shù)學、理解學生、理解教學），踐行“問題驅動”的理念。本文先給出該課的教學設計，再對教學立意做進一步闡釋，來分享課例，以資研討。

一、教學設計

課前寫好板書：主板區(qū)，是如圖1所示的留白式板書;副板區(qū)，畫出幾個平面直角坐標系以備學生上臺展示時使用。需要指出的是，課前準備的板書內(nèi)容并不涉及本課新學內(nèi)容的“劇透”，只是為了節(jié)約正式上課之后的教學時間。

具體教學環(huán)節(jié)設計如下：

（一）復習舊知，引出新知

問題1如何從函數(shù)的角度研究代數(shù)式x+1？

師 最近，同學們剛學習了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，也會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式。這節(jié)課將繼續(xù)研究一次函數(shù)，并從一次函數(shù)的角度解釋以前的一些數(shù)學概念，如方程、不等式等。讓我們從進入初中以來所學的一些數(shù)學概念說起。比如，老師寫在黑板上的字母x可以表示一個數(shù)，而x+1則表示比它大1的數(shù)。如果給出x+1的值為0，就得到一個方程x+1=0（寫在主板區(qū)相應位置），請你說出它的解（x=-1）。如果告訴你x+1是一個正數(shù)，則可得到一個不等式x+1>0（繼續(xù)寫在主板區(qū)），請你說出它的解集（x>-1）。若我們把x+1看成是關于x的函數(shù)y，則y=x+1（同時寫在主板區(qū)的“y=kx+b”的下方，讓學生感受特殊與一般的關系），請一位同學上臺畫出一次函數(shù)y=x+1的圖像，并從函數(shù)的角度分別說說“解一元一次方程x+1=0”和“解不等式x+1>0”之間的聯(lián)系。

在學生畫圖后的講解過程中，教師采集、優(yōu)化、完善，并板書補全本課學習的課題。此時，主板區(qū)的板書如圖2所示。

（二）從函數(shù)角度解釋“解一元一次方程”

問題2下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這3個方程進行解釋嗎？

（1）2x+1=3;（2）2x+1=0;（3）2x+1=-1。

安排學生先獨立思考，再同桌或小組交流，然后選代表上臺講解。在學生講解的過程中，注意做好追問。比如，有些優(yōu)秀學生可能會說得太快，或思路展開不充分，或不能從“形”的角度對3個方程的解進行形象生動的解釋。這時，要注意繼續(xù)追問其他學生的理解，可以使用提示語“從講解來看，你應該是理解了這個問題，但老師覺得解釋得還不太‘形象生動，誰愿意再分享一下你的解釋”等。在多名學生上臺講解后，在副板區(qū)的平面直角坐標系中根據(jù)學生的講解板書（如圖3所示）。

（三）從函數(shù)角度解釋“解一元一次不等式”

問題3下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這3個不等式進行解釋嗎？

（1）-1/3x+1>2;（2）-13x+1<0;（3）-13x+1≤-1。

與問題2的教學組織類似，經(jīng)歷學生獨立思考、小組交流、全班展示，教師參與優(yōu)化、完善之后，副板區(qū)的板書如圖4所示。

（四）課堂小結，布置練習

小結本課內(nèi)容，主要是從“特殊走向一般”，梳理直線y=kx+b與直線y=n相交后對應的方程或不等式的解或解集，結合圖像進行解釋和理解，并進一步揭示、補全本課研究的標題，引領學生展望后續(xù)還將研究的“一次函數(shù)與二元一次方程組”。整理、完善后的主板區(qū)板書如圖5所示。

如果班級學情較好，教學時間充裕，可繼續(xù)進行以下變式題組的鞏固訓練：

1.在同一平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)y=2x+1和y=-13x+1的圖像，并結合圖像指出不等式0<-13x+1<2x+1的解集。

2.在同一平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)y=2x+1和y=-13x+1的圖像，并結合圖像指出不等式0<2x+1<-13x+1的解集。

3.平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-12x+3的圖像與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，若點M（m，m-2）恰在△AOB的內(nèi)部（不包括邊上），結合圖像指出m的取值范圍。

二、立意闡釋

（一）理解數(shù)學：厘清函數(shù)對方程、不等式的統(tǒng)領作用

本節(jié)課的教學內(nèi)容是從一次函數(shù)的角度討論三個已學對象：一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組。它們不是新知識，但是，對它們的認識可以進一步深化，也就是從函數(shù)的角度進行分析和解釋。這種“再認識”不是簡單的回顧復習，而是理解數(shù)學知識在不同年級、不同學段“螺旋上升”的一種方式。教師要“深刻理解”函數(shù)概念，特別是加強知識之間的橫向、縱向聯(lián)系，厘清函數(shù)對相關內(nèi)容的統(tǒng)領作用，靈活運用函數(shù)的觀點解釋學生以前學過的方程和不等式。只有教師本人對從函數(shù)的角度（也就是從“形”的角度）動態(tài)分析方程和不等式達到較為全面和深刻的理解，在面對學生的不同表述時（比如，有些學生側重于數(shù)的角度，有些學生“跳步”表述，等等），才可以做出精準的即時診斷與評價，從而促進不同思維風格的學生把問題想清、悟透、學活。

（二）理解學生：在研判學情的基礎上選編問題驅動學程

根據(jù)教學經(jīng)驗，不少八年級學生初學函數(shù)時的困難常常表現(xiàn)在數(shù)、形的對應上。把函數(shù)之間的關系式轉化為圖像，是將數(shù)量關系直觀化、形象化，多數(shù)學生能理解。但是，靈活運用數(shù)形結合的研究方法，善于從數(shù)和形兩個方面共同分析問題、解決問題是需要不斷精進的。以本課為例，雖然教材上安排的內(nèi)容不多（只是兩組“思考”，即上述教學設計中的“問題2”“問題3”），但是對于初次接觸的八年級學生來說，難度卻是很大的。這時，我們的教學不能急于求成，特別是當前一些“習題拼湊式”的導學案，意圖用大量習題讓學生掌握用函數(shù)觀點看方程、不等式，其教學效果并不理想，往往只會加重適應性不好的學生在學習函數(shù)時的“學習焦慮”。基于以上認識，筆者教學教材本部分內(nèi)容時，第1課時只安排學習一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式，將一次函數(shù)與二元一次方程組的學習安排在后續(xù)課時;并且，在教材兩組“思考”前面，增設“問題1”，從一個“更簡單”的“x+1”出發(fā)，讓學生充分理解之后再獨立思考，從函數(shù)的角度解釋“問題2”“問題3”。看似一節(jié)課只有3個問題，內(nèi)容太少，但是唯有這樣，才能為更多學生贏得充分思考、感悟的寶貴時間。當然，課堂小結階段，我們“從特殊走向一般”，梳理出一次函數(shù)y=kx+b的圖像與直線y=n相交后對應的方程或不等式的解集，本身也可以看成一種成果擴大的問題深化，是向學生傳遞“從特殊到一般”地認識問題的一種研究方法，使學生認識到分析問題、解決問題時可以運用“先從特殊對象切入，再擴展、推廣到一般對象”的研究套路。

（三）理解教學：根據(jù)學程中學生的表現(xiàn)相機引導與追問

本節(jié)課采用的是“問題驅動”式教學，而“顯性問題”只有3個，所以內(nèi)容看似比較少，課堂充分放開，對教師駕馭學程提出了較高的要求。比如，哪些內(nèi)容需要教師講授，哪些內(nèi)容要先安排學生獨立思考，何時安排同桌或小組交流討論，在學生上臺講解時如何相機引導和追問，等等，都需要教師在備課時對各個問題和不同情況做好充分的預設。例如，當某個學生從函數(shù)的角度解釋“解方程2x+1=3”不夠生動形象時（可以追問其他學生是否理解該生的講解），就需要適時追問“同學們覺得他講得怎么樣？你有什么更好的解釋方法嗎？請上臺分享給大家”。這樣的適時追問，既可以促進不同學生上臺從不同的角度解釋教學難點，又向學生傳遞了一種數(shù)學追求：“只有完美的表達才可以傳遞得更遠”（李秉彝先生語）。

*本文系江蘇省南通市教育科學“十三五”規(guī)劃課題“基于‘三學理念的初中數(shù)學課例研究”（編號：ZX2018007）的階段性研究成果。

參考文獻：

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