數(shù)學(xué)讓環(huán)形公交更暢通

王 莉

1 問題提出

泰安因五岳之首泰山聞名于世，近幾年每年接待游客約5000 萬人次，為滿足游客需求和方便居民出行，泰安市公交公司開辟了K39 路環(huán)形公交路線。該路線連接著泰安市中心與東部新區(qū)，由泰山火車站出發(fā)，途徑岱廟、天外村、紅門、方特歡樂世界等旅游景點，以及泰安一中、山東服裝職業(yè)學(xué)院、泰山職業(yè)技術(shù)學(xué)院三所學(xué)校，共計43 站。

存在問題：由于路線較長，站點較多，市區(qū)交通阻塞，等車時間時長時短，到站速度也是時快時慢，高峰時段車輛超載率高，乘客舒適度較差，反映強烈。

K39 是單車場環(huán)形運行，是不是調(diào)度上存在不合理因素？如何既能保證公交公司的經(jīng)濟利益，又能增加乘客的滿意度呢？

2 問題分析

本問題要求設(shè)計一個環(huán)形公交車調(diào)度表，要同時考慮到完善城市交通環(huán)境、改進乘客出行狀況、提高公交公司的經(jīng)濟和社會效益等諸多因素。如果僅考慮提高公交公司的經(jīng)濟效益，則只要提高公交車的滿載率，如果僅考慮方便乘客出行，只要增加車輛的次數(shù)。顯然這兩種方案是對立的。所以需要在這幾個因素中找出一個合理的匹配關(guān)系，使得雙方的滿意度達到最高。

3 問題調(diào)查

首先要對K39 路車客流情況進行調(diào)查，收集數(shù)據(jù)。基礎(chǔ)數(shù)據(jù)有：線路總長：42×500 ≈21000 米，對 環(huán) 形 路 線，運 行 時 間 即 周 轉(zhuǎn) 時 間：21000÷333 ≈64 分鐘（時速按20KM/H），首末站停車時間：平峰期間首末站平均停站時間t=0.21tn(10 ≤tn≤100)min。則有：t=0.21×64 ≈14min。調(diào)查方法采用票據(jù)法和隨車調(diào)查相結(jié)合。調(diào)查情況見附件。

4 提出假設(shè)

（1）交通情況、路面狀況良好，無交通堵塞和車輛損壞等意外情況。

（2）全程為單一票價。

（3）線路上的公交車為同一型號,核定載客量為50 人。

（4）單位時間內(nèi)的上下客車人數(shù)服從均勻分布。

（5）始末車站乘客數(shù)不重復(fù)計算。

（6）為了便于敘述，本文把公交車運營時間6：00 ～18：00 分為12 個時間段，分別為1，2，...，12。

5 模型建立與解決

根據(jù)問題分析，環(huán)形運行方式為單車場的單車型運行問題的多目標優(yōu)化模型。我們在設(shè)計調(diào)度表時，應(yīng)該考慮此表帶給公交公司和乘客兩方的利益，即公交公司和乘客對應(yīng)的日平均滿意度mg 和mc，各時段的滿意度mgj和mcj，我們對影響各自滿意度的因素做分析。

1）各時段的最大客容量，建立模型如下。

其中，ajk為第j 時間段第k 站的上車人數(shù)，bjk為第j時間段第k 站的下車人數(shù)。

運用模型和調(diào)查統(tǒng)計的上下乘客數(shù)，算出各個時間段內(nèi)最大客容量。

2） 各個時段的發(fā)車次：由于公交車每輛標準載客50 人，車輛滿載率在60%～120%之間，當zj 接近60 人，由模型。

可以計算出各時間段的發(fā)車次數(shù)cj，公交公司要滿足最遲不超過15 分鐘發(fā)一趟車，于是發(fā)車車次依次如下：7，9，8，6，6，7，6，7，5，5，9，8。

3）發(fā)車時間間隔：取每個時段60 除以車次數(shù)，得到該時段的平均發(fā)車時間間隔：sj=60/cj分鐘，依次如下。

8.6，6.7，7.5，10，10，8.6，10，8.6，10，10，6.7，7.5。

為滿足公交車載完每一段的乘客，綜合1-3 的計算，得出了該工作日內(nèi)的公交車應(yīng)按如下方案調(diào)度。

4） 公交公司滿意度：公交公司的滿意度取決于公交車的平均載客量，公交車平均載客量越多，公交公司發(fā)車車次就少，對公交公司利益就大。在乘客源一定的情況下，影響mgj的主要因素是車上的乘客數(shù)即載客量zj，其中，一般情況下30 ≤zj≤60 。我們?nèi)「鱾€時段的平均載客量zj的滿意度

5）乘客滿意度：對于乘客，影響mcj的主要因素是乘客的等車時間tj與車上的平均載客量zj。設(shè)mctj，mczj分別是各時段乘客因tj與zj的影響而產(chǎn)生的滿意度，則mcj即 可 以 表 示 為：mcj=(mctj，mczj)A 其 中，A 是 關(guān) 于因素tj與zj的權(quán)重集。

考慮到，對于乘客，mctj，mczj對mcj的影響不是相等的，車輛的滿載率達120%時，超載的20%由于缺少座位，注重舒適度的影響大于等待時間的影響；當滿載率小于100%時，乘客因為有座，無需過分考慮舒適，更多的是考慮等車時間的影響。

表1 各個時間段內(nèi)最大客容量

表2 該工作日內(nèi)公交車的調(diào)度方案

由每時段的乘客滿意度mcj，每時段的乘客最大客容量lj，一天最大客容量人數(shù)為可以算出乘客平均日滿意度為各時段的滿意度的加權(quán)平均值。

（6）合理調(diào)度情況分析。

對于公交公司，當滿載60 人時公交公司最滿意，人數(shù)越少，滿意度越來越低。對于乘客，可知當?shù)溶嚂r間不超過5 分鐘，車輛滿載率不超過100%時，乘客滿意度為1，隨著等待時間增加和車載率的上升，乘客滿意度會逐漸下降。我們?nèi)‘敼卉嚻骄d客人數(shù)分別為60 人，50 人，30 人時作分析。

（1） 當 zj→60 人， 則 乘 客 日 均 滿 意 度 mg1=乘客的滿意度mc1=0.7103。

（2）當zj→50 人時，公交公司滿意度mg1=0.8326,乘客的滿意度為mcj=0.9278。

（3） 當zj→30 人時 ，此時公交公司的利益達到最小，相應(yīng)的乘客滿意度會變大，公交公司滿意度mg1=0.3907, 乘客滿意度mc1=0.9813。

a、根據(jù)公交公司的滿意度和乘客的滿意度的對應(yīng)關(guān) 系，(0.9811，7103)(0.8326，0.9278)(0.39207，0.9813)，可以利用二次擬合得出公交公司和乘客的函數(shù)f(mg1)。

本題要求我們最大照顧到乘客和公交公司雙方的利益，這就要求R=mc1+mg1能盡可能取大，即滿足雙方的利益最大化；同時我們也要使得雙方滿意度的差不能太大，即W=|mc1-mg1|盡可能取小。于是我們建立目標函數(shù)max=R-W=mc1+mg1-|mc1-mg1|，尋找出滿足雙方的滿意度之和最大同時滿足之差最小的最優(yōu)滿意度。聯(lián)系函數(shù)分析，求的乘客和公交公司雙方的匹配問題的最優(yōu)滿意度為mc1=0.8576，mg1=0.85676。

根據(jù)4-6 的計算，由最優(yōu)滿意度設(shè)計K39 路環(huán)形公交調(diào)度方案。

6 分析總結(jié)

該模型從實際問題出發(fā)，用常規(guī)方法做出的結(jié)果與實際情況較為統(tǒng)一。模型中涉及公交公司的滿意度和乘客的滿意度的擬合，為進一步合理設(shè)計新的調(diào)度方案提供依據(jù)。

存在不足：統(tǒng)計天數(shù)少，致使調(diào)查數(shù)據(jù)缺乏代表性。另外，乘客數(shù)量因天氣、節(jié)假日等變動較大，如下雨下雪天，乘客人數(shù)增加，周末職業(yè)學(xué)院學(xué)生出行較集中，節(jié)假日游客增多也會使得乘車人數(shù)增加等等。這些情況，需要公交公司要適時調(diào)整調(diào)度表。

表3 最優(yōu)滿意度的K39 路環(huán)形公交調(diào)度方案