基于狀態(tài)空間分類的Multi?h CPM序列檢測算法

楊文革 上官澤胤

摘? 要： 考慮到Multi?h CPM信號序列檢測復雜度較高，難以工程實現(xiàn)，在最大似然序列檢測的基礎(chǔ)上，針對該算法后端復雜的網(wǎng)格狀態(tài)，提出基于狀態(tài)空間分類的Multi?h CPM序列檢測算法。通過引入傾斜相位，避免了區(qū)分調(diào)制指數(shù)分子為奇數(shù)和偶數(shù)的問題，利用狀態(tài)空間分類合并的方法，大大簡化了執(zhí)行維特比算法所需的網(wǎng)格狀態(tài)，并引入判決反饋原理，提高了誤碼性能。最后對ARTM TierⅡ信號進行仿真，結(jié)果表明，該算法可將網(wǎng)格狀態(tài)減少為最大似然序列檢測算法網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)的[132]，在[10-5]誤碼率下的性能損失僅為0.6 dB。

關(guān)鍵詞： Multi?h CPM; 序列檢測; 網(wǎng)格狀態(tài)簡化; 最大似然序列檢測; 傾斜相位; 狀態(tài)空間分類; 判決反饋

中圖分類號： TN911.6?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）05?0001?05

Multi?h CPM sequence detection algorithm based on state?space partitioning

YANG Wenge， SHANGGUAN Zeyin

（Department of Electronic and Optical Engineering， University of Space Engineering， Beijing 101416， China）

Abstract： Since the Multi?h CPM （Continuous Phase Modulation） signal sequence detection is of high complexity， which is difficult to be realized in engineering， a Multi?h CPM sequence detection algorithm based on state?space partitioning （SSP） is proposed on the basis of maximum likelihood sequence detection （MLSD） to deal with the complex grid state at the back end of the algorithm. The tilted phase is introduced to avoid distinguishing odd modulation index molecules from even ones. The grid state required in the implementation of Viterbi algorithm is greatly simplified with the method of SSP and merging， and the decision feedback principle is introduced to reduce the error code. The ARTM TierⅡ signal wassimulated. The results show that the algorithm can reduce the grid state quantity to [132] of that of the MLSD algorithm， and the performance loss at the bit error rate of [10-5] is only 0.6 dB.

Keywords： Multi?h CPM; sequence detection; grid state simplification; MLSD; tilted phase; SSP; decision feedback

0? 引? 言

連續(xù)相位調(diào)制（Continuous Phase Modulation，CPM）體制是一類相位連續(xù)且包絡(luò)恒定的調(diào)制方案的總稱。區(qū)別于傳統(tǒng)的單調(diào)制指數(shù)CPM，Multi?h CPM具有多個隨時間逐符號循環(huán)變化且在每個符號間隔內(nèi)保持不變的調(diào)制指數(shù)。多調(diào)制指數(shù)的循環(huán)作用，使得Multi?h CPM信號具有更高的頻帶利用率和誤碼性能[1]。2003年，美國軍事衛(wèi)星通信標準MIL?STD?188?181B將Multi?h CPM信號應(yīng)用到特高頻軍事通信系統(tǒng)中[2]。隨后，Multi?h CPM體制被寫入IRIG?106標準中，且其頻譜效率大約是傳統(tǒng)的PCM/FM體制的3倍[3]。盡管Multi?h CPM體制應(yīng)用前景廣闊，但其解調(diào)設(shè)備的高復雜度嚴重限制了其發(fā)展應(yīng)用。因此，Multi?h CPM低復雜度序列檢測算法一直是研究的熱點。

鑒于Multi?h CPM信號獨特的記憶特性，最大似然序列檢測算法（Maximum?Likelihood Sequence Detection，MLSD）是Multi?h CPM信號的最優(yōu)算法，但該算法需要大量匹配濾波器和網(wǎng)格狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，很多學者進行了大量研究來降低其復雜度。文獻[4]提出了頻率脈沖截斷法，將關(guān)聯(lián)長度[L]截斷成更小的[L]，明顯降低了復雜度。文獻[5]提出了正交基分解法，通過降低信號空間維數(shù)實現(xiàn)匹配濾波器的減少。文獻[6?8]提出將Multi?h CPM視為一組PAM脈沖的加權(quán)疊加，然后通過選取部分PAM脈沖來降低序列檢測復雜度。但是這些方法主要是對匹配濾波器的數(shù)目進行簡化，對網(wǎng)格狀態(tài)簡化的效果并不是很理想。針對MLSD算法后端復雜的網(wǎng)格狀態(tài)，在傾斜相位[9]的基礎(chǔ)上，本文提出了基于狀態(tài)空間分類的Multi?h CPM序列檢測算法。

1? Multi?h CPM基本原理

Multi?h CPM信號本質(zhì)上是一種調(diào)頻，其數(shù)學表達式可以寫為：

[s（t）=2ETcos（2πfct+?（t，α）+?0）] （1）

式中：[E]為符號能量;[T]為符號間隔;[fc]為載波頻率;[?0]為載波初相;[?（t，α）]為相位函數(shù)，其表達式為：

[?（t，α）=2πi=-∞∞hiαiq（t-iT）] （2）

式中：[α=（α0，α1，α2，…，αi，…）]為發(fā)送端[M]進制信息符號序列，[αi∈{±1，±3，…，±（M-1）}];[h]為調(diào)制指數(shù)，[Nh]個調(diào)制指數(shù)[{h1，h2，…，hNh}]逐符號的循環(huán)變化;[q（t）]為相位脈沖函數(shù)，其導數(shù)為頻率脈沖函數(shù)[g（t）]，[g（t）]在[0≤t≤LT]內(nèi)具有平滑的脈沖形狀，區(qū)間之外的取值為0，參數(shù)[L]為關(guān)聯(lián)長度。

信號的相位軌跡[?（t，α）]承載全部信息。在[nT≤t≤（n+1）T]符號間隔內(nèi)，式（2）可以進一步寫為：

[?（t，α）=θn+θ（t，αn）] （3）

其中：

[θn=πi=-∞n-Lhiαi（mod2π）] （4）

[θ（t，αn）=2πi=n-L+1nhiαiq（t-iT）] （5）

式中：[θn]稱為相位狀態(tài);[（αn-1，αn-2，…，αn-L+1）]是相關(guān)狀態(tài)。為了準確描述信號轉(zhuǎn)移，定義狀態(tài)向量：

[Sn=[θn，αn-1，αn-2，…，αn-L+1]] （6）

對于調(diào)制指數(shù)[h=qp]（[h]為有理數(shù)，[p]，[q]互質(zhì)），則當[q]分別為奇數(shù)和偶數(shù)時，分別有[2pML]和[pML]個相位狀態(tài)。

鑒于Multi?h CPM信號獨特的記憶性，可以采用MLSD算法，通過選擇與接收信號[r（t）]的歐氏距離最小的路徑作為判決路徑，來實現(xiàn)Multi?h CPM信號的最佳檢測。

設(shè)觀測信號為：

[r（t）=s（t，α）+n（t）] （7）

式中：[n（t）]為高斯白噪聲;[α]為可能的傳輸序列。最大似然判決準則等價于相關(guān)值最大，即：

[λ（α）=0（n+1）Tr（t）s（t，α）dt] （8）

遞歸形式為：

[λn（α）=λn-1（α）+Zn（α）] （9）

其中：

[Zn（α）=nT（n+1）Tr（t）s（t，α）dt=nT（n+1）Tr（t）cos[2πfct+θ（t，αn）+θn]dt] （10）

為接收信號與所有[s（t，α）]在第[n]個符號間隔的分支度量。

在執(zhí)行MLSD時，并不必對所有可能的序列進行相關(guān)計算，可以采用維特比算法進行順序網(wǎng)格搜索，只保留幸存路徑，從而大大節(jié)約了搜索時間，提高了搜索效率[10]。

2? 基于狀態(tài)空間分類的Multi?h CPM序列檢測算法

當采用維特比算法執(zhí)行網(wǎng)格搜索時，搜索的路徑數(shù)為網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)[s=2pML-1]或[s=pML-1]。在實際應(yīng)用中，為了追求更高頻帶利用率，通常會選擇多進制，部分響應(yīng)的Multi?h CPM信號。以ARTM Tier Ⅱ信號為例，網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)為512，其計算量是巨大的。下面在傾斜相位的基礎(chǔ)上，通過引入狀態(tài)空間分類算法來簡化網(wǎng)格狀態(tài)，減少搜索的路徑，從而降低序列檢測的復雜度。

2.1? 傾斜相位

定義傾斜相位[ψ（t，α）]的表達式為：

[ψ（t，α）=?（t，α）+πhi（M-1）tT] （11）

式中： [i=imod（Nh）]，[Nh]為調(diào)制指數(shù)個數(shù)。將式（11）代入式（3）中，得：

[ψ（t，α）=πi=0n-Lhiαi+2πi=n-L+1nhiαiq（t-iT）+? ? ? ? ? ? ? ? ?πhi（M-1）tT，? ? ? ? ? nT≤t<（n+1）T] （12）

引入修正數(shù)據(jù)序列[Ui∈0，1，2，…，M-1]來代替原符號序列[αi∈{±1，±3，…，±（M-1）}]，二者的關(guān)系可以表示為：

[Ui=αi+（M-1）2] （13）

令[t=τ+nT]，可得：

[ψ（τ+nT，U）=2πi=0n-LhiUi+4πi=0L-1hiUn-iq（τ+iT）+W（τ），? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0≤τ

式中[W（τ）]為與碼元序列無關(guān)的項，可以表示為：

[W（τ）=πhi（M-1）τT-2πhi（M-1）i=0L-1q（τ+iT）+? ? ? ? ? ? ? ? （L-1）（M-1）πhi，? 0≤τ

由式（15）可知，所有與時間相關(guān)的項僅僅依賴于時移變量[τ=t-nT]。對獨立于時間只依賴于碼元序列的項取模[2π]，可得：

[R2π2πhi=0n-LUi=R2π2πqpi=0n-LUi=R2π2πqpRpi=0n-LUi] （16）

式中[q]和[p]互為質(zhì)數(shù)，分別表示調(diào)制指數(shù)的分子和分母。由式（16）可以看出，獨立于時間只依賴于碼元序列的項僅有[p]個取值。因此物理傾斜相位[ψ（τ+nT，U）]總是一個時不變網(wǎng)格。

根據(jù)式（6），可以定義在第[n]個符號周期的Multi?h CPM信號的傾斜相位表示下的狀態(tài)向量為：

[σn=[Vn，Un-1，Un-2，…，Un-L+1]] （17）

式中：[Vn=Rpi=-∞n-LUi]和[（Un-1，Un-2，…，Un-L+1）]分別為傾斜相位處理后的相位狀態(tài)和相關(guān)狀態(tài)，此時的網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)為[SML=PML-1]。

由式（13）和式（14）可知，傾斜相位是傳統(tǒng)相位的等價變化。因此，在序列檢測過程中，利用傾斜相位網(wǎng)格來執(zhí)行維特比算法的順序網(wǎng)格搜索，可以在不影響誤碼性能的同時，避免了區(qū)分調(diào)制指數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的問題，簡化了解調(diào)的復雜度。

2.2? 狀態(tài)空間分類法

為了進一步簡化執(zhí)行維特比算法所需要的網(wǎng)格狀態(tài)，可以利用狀態(tài)空間分類的方法，在傾斜相位的基礎(chǔ)上，通過映射關(guān)系對原始的最大似然（Maximum?Likelihood，ML）網(wǎng)格進行重新分類合并，形成新的簡化網(wǎng)格狀態(tài)（Reduce State，RS），稱之為RS網(wǎng)格圖。則定義簡化后的網(wǎng)格狀態(tài)為：

[σ′n=Γ（σn）] （18）

式中[Γ]表示某種映射函數(shù)，通過[Γ]作用，將狀態(tài)合理分類。以求模運算作為映射函數(shù)，則經(jīng)過狀態(tài)空間分類的狀態(tài)向量可以表示為：

[σ′n=V′n（P，L），RM′1（Un-1），…，RM′L-1（Vn-L+1）] （19）

其中：

[V′n（P，L）=RPi=0n-LUi] （20）

式中：[RM（?）]表示對括號中的量取模[M]運算;對于[1≤i≤L-1]，有[1≤L′i≤L]，[1≤P′i≤P]，[1≤M′i≤M]，且[M′i]只為取2的指數(shù)，[L]為截斷后的關(guān)聯(lián)長度;[V′n（P，L）]和[（RM′1（Un-1），…，RM′L-1（Un-L+1））]分別為狀態(tài)空間分類處理后的相位狀態(tài)和相關(guān)狀態(tài)，數(shù)目分別為[i=1L-1M′i]和[P]。則經(jīng)過狀態(tài)空間分類處理后的網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)為[SRS=Pi=1L-1M′i]。

可以看出，RS網(wǎng)格相當于將ML網(wǎng)格中的[SMLSRS]個狀態(tài)根據(jù)確定的映射函數(shù)分類合并成一個RS狀態(tài)得到的。在傳統(tǒng)的ML網(wǎng)格圖中，每個狀態(tài)有[M]條進入分支和離開分支，每條分支對應(yīng)一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移。然而需要注意的是，在經(jīng)過狀態(tài)空間分類處理后的RS網(wǎng)格中，每條RS路徑并不僅僅代表了[MSMLSRS]條分支進行狀態(tài)轉(zhuǎn)移，還衍生出原始ML網(wǎng)格中不存在的路徑。

圖1給出了[M=2]，[L=3]，[h=12]的CPM信號的ML網(wǎng)格圖，圖2分別給出了簡化相位狀態(tài)和簡化相關(guān)狀態(tài)的兩種簡化方案。

圖2a）中從狀態(tài)[0，0]到狀態(tài)[0，0]這條RS分支，不僅代表了ML網(wǎng)格中的[0，0，0]到[0，0，0]和[1，0，0]到[1，0，0]這兩條路徑，還包含了[0，0，0]到[1，0，0]和[1，0，0]到[0，0，0]這兩條衍生路徑。RS網(wǎng)格中所隱含的衍生路徑在原來的ML網(wǎng)格中并不存在。衍生路徑的存在大大增加了計算量，對幸存路徑的確定產(chǎn)生很大的影響，使得序列檢測的誤碼率急劇下降。

為了避免衍生路徑帶來的誤碼性能損失，在這里引入判決反饋的思想。由于RS網(wǎng)格是對ML網(wǎng)格的簡化，與ML網(wǎng)格相比，將RS網(wǎng)格缺失的狀態(tài)數(shù)據(jù)記為[σ″n]，稱為反饋狀態(tài)。則RS網(wǎng)格狀態(tài)與反饋狀態(tài)組成ML網(wǎng)格狀態(tài)，記為[σn=（σ′n，σ″n）]。在利用RS網(wǎng)格進行維特比譯碼時，需要存儲每個時刻的幸存路徑。由上一時刻幸存路徑的狀態(tài)信息，可以得出當前時刻的反饋狀態(tài)估計[σ″n]。反饋狀態(tài)估計[σ″n]對當前RS狀態(tài)[σ′n]進行修正補充，得到具有完整狀態(tài)信息的ML狀態(tài)估計[σn（σ′n）]，可以表示為：

[σn（σ′n）=Rpi=-∞n-LUi，Un-1，Un-2，…，Un-L+1] （21）

式中[Ui]為維特比算法過程中的幸存符號。在[t=][（n+1）T]時刻，當前碼元為[U′n]，RS網(wǎng)格的狀態(tài)轉(zhuǎn)移可以表示為[σ′n：U′n→σ′n+1]，利用RS網(wǎng)格執(zhí)行維特比算法的分支度量表達式為：

[λi（n）=λi（n-1）+Z（σ′n：U′n→σ′n+1）] （22）

其中：

[Z（σ′n：U′n→σ′n+1）=RenT（n+1）Tr（t）s*（t，V′n，σn（σ′n））dt] （23）

基于狀態(tài)空間分類的序列檢測算法具體步驟概括為：

1） 計算分支度量。在第[nT]時刻，對于RS網(wǎng)格中的任一狀態(tài)節(jié)點，根據(jù)到達[nT]時刻幸存路徑的ML狀態(tài)信息[σn-1（σ′n-1）]和當前時刻的RS狀態(tài)[σ′n]，得到反饋狀態(tài)估計[σ″n]。當前RS狀態(tài)[σ′n]與[σ″n]形成具有完整信息的ML狀態(tài)[σn（σ′n）]，然后利用式（23）計算得到路徑的分支度量[Z（σ′n：U′n→σ′n+1）]。

2） 更新路徑度量。對于每個節(jié)點，利用式（22）將步驟1）得到的分支度量與到達[nT]時刻的幸存路徑的度量值[λi（n-1）]相加，得到在[（n+1）T]時刻每個節(jié)點的[M]個路徑度量值[λi（n）]，[i=1，2，…，M]。

3） 確定幸存路徑。在[（n+1）T]時刻，比較到達每個節(jié)點的[M]個路徑度量值的[λi（n）]的大小，保留路徑度量最大值所對應(yīng)的路徑作為幸存路徑，同時刪除其他[M-1]條路徑，存儲幸存路徑度量值[λi（n）]、所對應(yīng)的符號數(shù)據(jù)[Un]以及ML狀態(tài)信息[σn（σ′n）]。

4） 獲得解調(diào)數(shù)據(jù)。對于每個碼元，分別執(zhí)行步驟1）～步驟3），直至序列末尾。選擇此時所有的幸存路徑中最大度量所對應(yīng)的路徑作為解調(diào)路徑，對該路徑進行回溯譯碼，獲得解調(diào)數(shù)據(jù)。

基于判決反饋的SSP的實質(zhì)是按照集合劃分的思想，將ML網(wǎng)格狀態(tài)重新分類合并為較小的RS網(wǎng)格狀態(tài)，然后在RS網(wǎng)格狀態(tài)中執(zhí)行維特比序列檢測。這大大減少了需要搜索的網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)。但是，狀態(tài)合并將造成最小歐氏距離減小，使得在維特比檢測過程中對外界環(huán)境干擾更為敏感，導致誤碼率升高;此外，由于引入判決反饋原理，若某一時刻的硬判決產(chǎn)生錯誤，則錯誤判決將被反饋并進入下一次的判決，導致正確的ML路徑被舍棄，產(chǎn)生誤碼，甚至會造成誤差連續(xù)傳播，導致誤碼率升高。因此，為了減少分類合并造成的誤碼損失，不應(yīng)過度盲目地對狀態(tài)分類。下面對基于狀態(tài)空間分類的序列檢測算法的不同分類方案進行仿真驗證。

3? 仿真分析

為了驗證基于狀態(tài)空間分類的Multi?h CPM序列檢測算法的有效性，以及尋求較為合理的狀態(tài)合并方案，本文針對ARTM TierⅡ信號（信號參數(shù)為：具體參數(shù)為進制數(shù)[M=4]，即[α={±1，±3}];調(diào)制指數(shù)[h1=416]，[h2=516]，隨時間循環(huán)變化;關(guān)聯(lián)長度[L=3];碼元信號的波形[g（t）]采用余弦型），采用不同的狀態(tài)空間分類的方案，得到不同方案下的誤碼性能。定義三維狀態(tài)向量[相位狀態(tài)數(shù)，相關(guān)狀態(tài)數(shù)，相關(guān)狀態(tài)數(shù)]來表示不同的調(diào)制方案，當狀態(tài)向量的某一元素為1時，表示此狀態(tài)已被忽略。ARTM TierⅡ信號的狀態(tài)向量可以表示為[[16，4，4]]。下文中誤碼性能的損失均為在[10-5]誤碼率下與全狀態(tài)[[16，4，4]]相比的結(jié)果。

圖3給出了簡化相關(guān)狀態(tài)的[16，4，1]和[16，1，1]兩種方案的誤碼率曲線圖。這兩種方案分別與脈沖截斷法[4]中[L=2]和[L=1]狀態(tài)網(wǎng)格的處理方式類似。與ML狀態(tài)[16，4，4]對比可以發(fā)現(xiàn)，對于ARTM TierⅡ信號，只合并一個相關(guān)狀態(tài)的[16，4，1]方案的性能損失很小，此時網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)為64且僅損失0.1 dB，而合并兩個相關(guān)狀態(tài)的[16，1，1]，網(wǎng)格狀態(tài)雖然降為16但損失了1.9 dB，得不償失。因此，對于關(guān)聯(lián)長度[L=3]的Tier Ⅱ信號，忽略某一相關(guān)狀態(tài)，對誤碼性能的影響很小，而再進一步的合并相關(guān)狀態(tài)將會引起較大的性能損失。

圖4給出了簡化相位狀態(tài)的[8，4，4]，[4，4，4]和[2，4，4]三種方案，與[16，4，4]對比可以發(fā)現(xiàn)，對于相位狀態(tài)為16的ARTM TierⅡ信號，當相關(guān)狀態(tài)不變，相位狀態(tài)變?yōu)?和4時，性能損失很小，約為0.1 dB。再進一步合并相位狀態(tài)，性能損失為1.2 dB。因此，狀態(tài)空間分類法可以很大程度減少狀態(tài)網(wǎng)格中的相位狀態(tài)數(shù)，并且對誤碼性能的影響很小。

圖5給出了將相位狀態(tài)和相關(guān)狀態(tài)同時分類合并的[8，4，1]和[4，4，1]兩種方案的仿真結(jié)果。當網(wǎng)格狀態(tài)為[8，4，1]時，網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)為32，是MLSD算法網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)的[116]，誤碼性能損失僅為0.2 dB;進一步合并的[4，4，1]，所需的網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)是MLSD算法的[132]，誤碼性能損失仍在可以接受的范圍內(nèi)，為0.6 dB。

不同方案的網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)和相應(yīng)的誤碼率性能損失如表1所示。

比較網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)同為32的方案[2，4，4]和方案[8，4，1]，前者比后者有1 dB的性能損失，這是由于方案[2，4，4]中相位狀態(tài)的過度合并導致的;比較網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)同為16的方案[16，1，1]和[4，4，1]，前者比后者有1.3 dB的性能損失，這是因為方案[16，1，1]中的相關(guān)狀態(tài)被完全舍棄。因此，將相位狀態(tài)和相關(guān)狀態(tài)適度合理的分類合并，可以在較小的誤碼損失下，大大地簡化網(wǎng)格狀態(tài);而將相位狀態(tài)或者相關(guān)狀態(tài)其中之一過度合并，都會嚴重影響誤碼性能，得不償失。

4? 結(jié)? 語

本文在傾斜相位的基礎(chǔ)上，提出了基于狀態(tài)空間分類的序列檢測算法，并以ARTM TierⅡ信號為例進行仿真，研究了不同分類方案的誤碼性能。結(jié)果表明，通過將相位狀態(tài)和相關(guān)狀態(tài)適度合理的分類合并，可以在很小的誤碼性能損失下，大大地簡化網(wǎng)格狀態(tài)，從而降低復雜度;而盲目的過度合并將會造成誤碼性能的嚴重損失，無法實際應(yīng)用。

參考文獻

[1] 李秉常，郝建民.多調(diào)制指數(shù)連續(xù)相位調(diào)制體制：軍用遙測體制新發(fā)展[J].遙測遙控，2002，23（5）：1?7.

[2] VOGLEWEDE P E. Frequency hopping with multi?h CPM （MIL?STD?188?181B） [C]// IEEE Military Communications Confe?rence. Boston， USA： IEEE， 2003， 2： 1089?1094.

[3] Range Commanders Council. Telemetry standards： 106?04 [S]. New Mexico： Range Commanders Council， 2004： 6.

[4] SVENSSON A， SUNDBERG C， AULIN T. A class of reduced?complexity Viterbi detectors for partial response continuous phase modulation [J] IEEE transactions on communications， 1984， 32（10）： 1079?1087.

[5] HUBER J， LIU W. An alternative approach to reduced complexity CPM receivers [J]. IEEE journal on selected areas in communications， 1989， 7（12）： 1427?1436.

[6] 鐘凱，葛臨東，鞏克現(xiàn).基于Laurent分解的多指數(shù)CPM低復雜度序列檢測算法[J].信號處理，2011，27（5）：715?720.

[7] 劉璐，王世練，鐘聲，等.基于PAM分解的Multi?h CPM低復雜度解調(diào)方法[J].西安郵電學院學報，2012，17（5）：2?9.

[8] PERRINS E， RICE M. PAM decomposition of M?ary Multi?h CPM [J]. IEEE transactions on communications， 2005， 53（12）： 2065?2075.

[9] RIMOLDI B E. A decomposition approach to CPM [J]. IEEE transactions on information theory， 1988， 34（3）： 260?270.

[10] 孫錦華，何恒.現(xiàn)代調(diào)制解調(diào)技術(shù)[M].西安：西安電子科技大學出版社，2014：127?131.