巧交匯 妙破解
——一道江蘇模擬解析題的多解

周建平

(江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學 215131)

平面幾何與解析幾何分別是初中與高中兩個階段的知識點，在高中的解析幾何問題中，經(jīng)常滲透平面幾何的知識，巧妙把兩者加以有機融合，共同構(gòu)建起優(yōu)美的數(shù)學題目，考查初高中的數(shù)學知識與能力.因此，在破解一些相關(guān)問題中，有效利用平面幾何知識在解決解析幾何問題中的作用，多一點思考，就能少一點運算，優(yōu)化解題過程，達到事半功倍的效果.

一、問題呈現(xiàn)

問題(2019屆江蘇省靖江高級中學高三12月月考)已知圓O：x2+y2=1，定點A(3，0)，過A點的直線l與圓O相交于B，C兩點，B，C兩點均在x軸上方，如圖1，若OC平分∠AOB，則直線l的斜率為____.

本題以解析幾何中的圓為問題背景，通過直線與圓的位置關(guān)系的建立，結(jié)合角的平分線的條件的介入，最終落到直線的斜率的求解上.巧妙把解析幾何、平面幾何加以交匯，把圓的方程、直線的方程、直線的斜率、角平分線等相關(guān)知識加以鏈接，進而達到知識交匯，能力拓展的目的.

二、多解思維

思維角度1：(三角參數(shù)法)

解法1 設(shè)C(cosθ，sinθ)(θ為銳角)，則知B(cos2θ，sin2θ)，而A(3，0)，結(jié)合kAB=kAC，

由于θ為銳角，可得

思維角度2：(三角形面積轉(zhuǎn)化法)

思維角度3：(角平分線定理法)

思維角度4：(坐標法)

結(jié)合角平分線定理的轉(zhuǎn)化得到AC=3BC，設(shè)出點B(x1，y1)，點C(x2，y2)，利用向量的坐標關(guān)系式得到兩者之間的關(guān)系式，并借助代換法來求解關(guān)于點B(x1，y1)兩個方程，得以確定其坐標，再利用直線的斜率公式求解即可.

解析幾何是通過平面直角坐標系，建立點與實數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系，運用代數(shù)方法來研究對應(yīng)的幾何問題.而平面幾何更注重直觀，更注重于“形”，解析幾何依賴運算，更側(cè)重于“數(shù)”.在實際解決此類綜合問題的過程中，若能將“形”與“數(shù)”有機結(jié)合，善于從圖形的幾何關(guān)系中抓住幾何本質(zhì)，挖掘幾何內(nèi)涵，并加以合理運用，可以有效拓寬解題思路，減少解析幾何的運算量，縮短思維步驟，優(yōu)化解題過程.