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    聚焦柯西不等式在競(jìng)賽中四大運(yùn)用

    2020-07-22 08:13:10朱小扣樊惟媛
    數(shù)理化解題研究 2020年19期
    關(guān)鍵詞:根號(hào)柯西負(fù)數(shù)

    朱小扣 樊惟媛

    (1.安徽省無(wú)為第三中學(xué)城北校區(qū) 238300;2.上海市嘉定區(qū)第一中學(xué) 201808)

    柯西不等式在競(jìng)賽中不等式的證明與代數(shù)式最值的計(jì)算,有著十分重要的作用.與此同時(shí),柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用,能解決出很多有難度的試題.本文旨在幫助同學(xué)們突破有關(guān)柯西不等式運(yùn)用的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題.

    一、知識(shí)點(diǎn)梳理

    當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi,即ai,bi(i=1,2,3,…,n)成比例時(shí)取等號(hào).

    二、命題規(guī)律揭示

    1.柯西不等式的直接運(yùn)用

    例1 (2018年河北初賽題)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=____.

    解由柯西不等式得:(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,故(3-z2)·5≥(4+2z)2

    例1是通過(guò)移項(xiàng)把z移到一邊,從而對(duì)x,y用柯西不等式,得到了z的范圍.

    ≤(x2+2-x2)(1-x2+x2)=2.

    例3 (2018年河南初賽)已知cos(α-β)=cosα+cosβ,試求cosα的最大值.

    解由cos(α-β)=cosα+cosβ得:cosβ(cosα-1)+sinβsinα=cosα.

    由柯西不等式得:

    cos2α=[cosβ(cosα-1)+sinβsinα]2

    ≤(cos2β+sin2β)[(cosα-1)2+sin2α]

    評(píng)析由柯西不等式可以直接求出上面這一類(lèi)題的最值,特別在例2,例3中的應(yīng)用,應(yīng)該引起大家的重視.

    2.結(jié)合待定系數(shù)法使用

    解由柯西不等式得:

    于是,

    利用待定系數(shù)法與柯西不等式也是解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法.此法不僅可以求出含兩個(gè)根號(hào)的函數(shù)的最大值,只要用法得當(dāng),還可以求出含多個(gè)根號(hào)的函數(shù)的最大值.

    解由柯西不等式并結(jié)合待定系數(shù)法可得:

    由柯西不等式得:

    [(1-t)2+(2-t)2+(3-t)2+(4-t)2+t2][a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2]

    ≥[(1-t)a+(2-t)b+(3-t)c+(4-t)d+t(a+b+c+d)]2=10.

    于是,

    a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2

    評(píng)析運(yùn)用柯西不等式結(jié)合待定系數(shù)法可以解決很多類(lèi)似的題.待定系數(shù)法配湊系數(shù),是很有技巧性的,待定后配湊可進(jìn)一步延拓了柯西不等式解題范圍.

    3.用其他的不等式預(yù)處理,再用柯西不等式

    a2+b2+2≥(a+b)+(ab+1).

    于是,由柯西不等式可得:

    ≥(1+1)2=4,

    當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=1時(shí)取等號(hào).

    像上面的題,無(wú)法直接用柯西不等式,必須用其他不等式預(yù)處理下.又如:

    例8 (數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題306)已知正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足abc=1,求證:

    ≥(1+1+1)2=9.

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào).

    評(píng)析以后,當(dāng)我們看到一題無(wú)法直接用柯西不等式解決時(shí),不能放棄柯西不等式,要想到先運(yùn)用均值不等式,配方等方法預(yù)處理后,再用柯西不等式試試.

    4.先用柯西不等式處理,再用其他不等式證明題目

    例9 (2018年陜西省聯(lián)賽二試)設(shè)a,b,c,均為正實(shí)數(shù),求證:

    證明由柯西不等式可得:

    故只需證:

    由均值不等式,得:

    故只需證:

    ≥2(ab+bc+ca)①.

    令a=x2,b=y2,c=z2,則由舒爾不等式及均值不等式得:

    =x4+y4+z4+xyz(x+y+z)

    ≥x3(y+z)+y3(z+x)+z3(x+y)

    ≥2(x2y2+y2z2+z2x2)=2(ab+bc+ca),

    即①式成立,故原不等式成立.

    例11 (2018年廣西預(yù)賽)設(shè)a1,a2,…,an為非負(fù)數(shù),求證:

    證明用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明:

    (1)當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.

    (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k為正整數(shù))時(shí),結(jié)論對(duì)任意k個(gè)非負(fù)數(shù)成立.則n=k+1時(shí),對(duì)任意k+1個(gè)非負(fù)數(shù)a1,a2,…,ak,ak+1,根據(jù)歸納假設(shè)有:

    從而有:

    下面證明:

    由柯西不等式可得:

    于是有:

    即①式成立,于是,n=k+1時(shí),結(jié)論成立.

    綜合(1)(2),對(duì)任意非負(fù)數(shù)a1,a2,…,an,結(jié)論都成立.

    評(píng)析在解決一道難題時(shí),也可用柯西不等式先處理下,再用其他的方法如數(shù)學(xué)歸納法去證明.這體現(xiàn)了考察柯西不等式與其他不等式知識(shí)的交匯十分頻繁,我們必須要掌握好柯西不等式.

    柯西不等式在解題中既有一定的獨(dú)立性,又經(jīng)常與其他知識(shí)進(jìn)行交匯,所以通過(guò)柯西不等式能命制出很多精彩的試題,我們要想做出這些題目,必須要非常了解柯西不等式的運(yùn)用及其延拓形式.以上是筆者對(duì)柯西不等式在解題中的四種運(yùn)用的一些見(jiàn)解,不足之處,希望各位專(zhuān)家批評(píng)指正.

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