撥開迷霧弄清性質(zhì) 遠離陷阱搞定函數(shù)

蔣 敏

(四川省南充龍門中學(xué) 637130)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它引入了變量，在動態(tài)中探尋數(shù)學(xué)的秘密.然而，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中往往會產(chǎn)生比較大的困難，比如思維上有漏洞，忽視一些基本原則，方法混亂瞎套用等，如何才能以不變應(yīng)萬變，妙解一題，精解一類？

一、定義域優(yōu)先原則

對函數(shù)定義域的考查常常是通過函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)應(yīng)用來考查的,且具有較強的隱蔽性.所以,在研究函數(shù)問題時必須樹立起“定義域優(yōu)先”的觀點.許多同學(xué)就是因為忽視了函數(shù)定義域而導(dǎo)致解題錯誤.

例1已知函數(shù)f(x)=log3x+2,x∈[1,9]，求函數(shù)g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域.

令log3x=t,t∈[0,1]，則y=t2+6t+6在[0,1]上單調(diào)遞增，所以值域為[6,13].

評注本題如果不思考g(x)的定義域，則缺少函數(shù)的三要素之一，從而導(dǎo)致值域錯誤.

例2已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3，3)上的減函數(shù)，求不等式f(x-3)+f(x2-3)<0的解集.

評注這個不等式問題本質(zhì)還是函數(shù)問題，確定一個函數(shù)必須優(yōu)先求出定義域，這樣才能保證求解的范圍不被放大.

二、單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)

函數(shù)的單調(diào)性也叫增減性，是刻畫函數(shù)形態(tài)的一個重要性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,它是一個局部概念.

現(xiàn)象一：忽視分段函數(shù)在定義域分界點附近的單調(diào)性.

評注“分而不斷”是分段函數(shù)的最重要特點，本題中函數(shù)除了在各段上單調(diào)遞減外，還要保證整個函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求解中容易忽略函數(shù)在定義域分界點附近的單調(diào)性，從而錯選A答案.

簡解函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則：

現(xiàn)象二:混淆“在區(qū)間上單調(diào)”、“單調(diào)區(qū)間是”、“存在單調(diào)區(qū)間”等詞意.

例4 函數(shù)y=-x2+2mx+5在[1,+∞)上為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是( ).

A.m≤1 B.m≥1 C.m≤-1 D.m≥-1

解析由函數(shù)y=-x2+2mx+5在[1,+∞)上為減函數(shù)，且該二次函數(shù)的對稱軸為x=m，所以由數(shù)形結(jié)合知：m≤1，故選A答案.

評注本題容易錯誤理解為函數(shù)y=-x2+2mx+5的單調(diào)減區(qū)間是[1,+∞)，從而得出m=1的錯誤結(jié)論.在解題中要注意，“在區(qū)間上單調(diào)”指該區(qū)間是函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間；“單調(diào)區(qū)間”是指該區(qū)間就是函數(shù)的相應(yīng)最大單調(diào)區(qū)間；“存在單調(diào)區(qū)間”指該區(qū)間內(nèi)有相應(yīng)單調(diào)性，也可能有別的單調(diào)性，即該區(qū)間內(nèi)可能既有增區(qū)間，也有減區(qū)間.

變式函數(shù)y=x2+2(1-t)x-8的單調(diào)增區(qū)間為[2,+)，則實數(shù)t的取值范圍是____.

簡解因為函數(shù)y=x2+2(1-t)x-8的單調(diào)增區(qū)間為[2,+)，所以t-1=2，即t=3.

三、奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)

現(xiàn)象一：在函數(shù)的奇偶性問題中錯用或未關(guān)注“定義域關(guān)于原點對稱”.

例5 已知函數(shù)f(x)的定義域為(3-2a,a+1)，且f(x+1)為偶函數(shù)，則實數(shù)a的值可以是( ).

解析函數(shù)f(x+1)的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位得到，所以函數(shù)f(x+1)的定義域為(2-2a,a).又f(x+1)為偶函數(shù)，且偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，則2-2a=-a，即a=2.故選擇B選項.

評注若沒有關(guān)注奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的性質(zhì)，很可能錯誤地認為3-2a=-(a+1)，得到a=4，從而錯選成選項C.

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

現(xiàn)象二：不能熟練應(yīng)用“奇函數(shù)f(x)若在x=0處有定義，則f(0)=0”的結(jié)論.

例6 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x>0時，f(x)=2014x+log2014x，則在R上函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為____.

評注本題中若沒有注意到“奇函數(shù)f(x)若在x=0處有定義，則f(0)=0”的結(jié)論，很容易得出在R上函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2的錯誤結(jié)論.

變式2 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減，且則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為____.

現(xiàn)象三：復(fù)合函數(shù)奇偶性中錯將含自變量的代數(shù)式當(dāng)成自變量.

例7 函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則( ).

A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù)

在Leeway模型的基礎(chǔ)上，首先基于內(nèi)河流場的統(tǒng)計特征，建立風(fēng)流影響下漂移速度預(yù)測模型，利用風(fēng)流場數(shù)據(jù)的不確定性特征不斷更新失蹤物體的可能位置，然后結(jié)合航道岸線特征，預(yù)測失蹤物體最終可能漂移終點位置的分布情況。

解析由f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，可得：

則-f(x+2)=-f(x-2)，∴f(x)=f(x+4).故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).又由f(x-1)=-f(-x-1)得f(x-1+4)=-f(-x-1+4)，即f(x+3)=-f(-x+3)，∴函數(shù)f(x+3)是奇函數(shù)，選D.

變式已知函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，且f(2)=3，則f(0)=____.

解析∵函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，∴f(2x+1)=f(-2x+1)，故可得到f(x+1)=f(-x+1)，∴f(0)=f(2)=3.

現(xiàn)象四：分段函數(shù)奇偶性的分段處理上忽視“-x”的范圍.

B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

解析當(dāng)x<-1時，-x>1，則f(-x)=-(-x)2+2=-(x2-2)=-f(x)；當(dāng)|x|≤1時，

f(-x)=0=-f(x)；當(dāng)x>1時，-x<-1，則f(-x)=(-x)2-2=-(-x2+2)=-f(x).

所以恒有f(-x)=-f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，選A.

A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)