在探索中發(fā)現(xiàn)，在推理中表征

胡亦寧

摘要：從“探索發(fā)現(xiàn)”到“特殊驗(yàn)證”，再到“大膽猜想”“小心求證”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)也是科學(xué)探索的一般方法。課堂以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷定理得到的一般方法，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高。

關(guān)鍵詞：探索;發(fā)現(xiàn);推理;表征;直角三角形

直角三角形在現(xiàn)實(shí)世界到處可見，且學(xué)生在小學(xué)就對(duì)直角三角形的基本要素有初步的了解。因此，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)，教師可以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念及建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，充分關(guān)注學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，嘗試讓信息技術(shù)成為情境創(chuàng)設(shè)的工具，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源工具、探究工具、評(píng)價(jià)工具和表達(dá)工具，以轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促使學(xué)生參與、體驗(yàn)概念形成和獲得的過程，從中感悟抓住事物本質(zhì)特征觀察的數(shù)學(xué)思維方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，促使學(xué)生信息能力的發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

直角三角形的符號(hào)表示，直角三角形的性質(zhì)定理（1）（2）。

（二）內(nèi)容解析

1.內(nèi)容的本質(zhì)。對(duì)于直角三角形，學(xué)生只學(xué)過它的定義、兩個(gè)直角三角形全等的判定。本節(jié)課主要研究的就是直角三角形的性質(zhì)。這兩條性質(zhì)分別揭示了直角三角形的主要元素“角”之間的數(shù)量關(guān)系、主要元素“斜邊”及相關(guān)元素“斜邊上的中線”之間的數(shù)量關(guān)系，這是本節(jié)課的學(xué)習(xí)主體內(nèi)容。

2.內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法。讓學(xué)生利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，把其拆分為兩個(gè)直角三角形，從等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊的等腰三角形入手，經(jīng)歷“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”及其推論的猜想、探究和推導(dǎo)的證明過程，體會(huì)從一般到特殊、再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。這種特殊化、一般化的研究策略，旨在讓學(xué)生更好地理解這兩條性質(zhì)的發(fā)生。

3.知識(shí)的上下位關(guān)系。學(xué)生在前期已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了等腰三角形的判定和性質(zhì)，這為學(xué)生研究特殊的三角形提供了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)范式。定理（2）無論是文字語言表述，還是圖形語言的描述，都揭示了直角三角形與等腰三角形之間的天然聯(lián)系。定理（2）是后續(xù)研究直角三角形與特殊平行四邊形的基礎(chǔ)與依據(jù)，直角三角形與等腰三角形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化也是解直角三角形的利器。

4.內(nèi)容的育人價(jià)值。從認(rèn)知方面看，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理，從圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)化的思想和分類討論的思維習(xí)慣，并獲得解決問題方法的啟發(fā)。從非認(rèn)知因素看，整節(jié)課的探究過程可以有效激發(fā)學(xué)生的興趣，形成積極的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的探索能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

5.闡明本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是直角三角形的性質(zhì)定理（1）（2）及其運(yùn)用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

掌握用符號(hào)和字母表示直角三角形。掌握直角三角形的性質(zhì)定理（1）（2），即直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，并能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理的定理學(xué)習(xí)過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（二）目標(biāo)解析

會(huì)運(yùn)用直角三角形的符號(hào)表示，會(huì)運(yùn)用性質(zhì)定理及推論對(duì)有關(guān)圖形進(jìn)行論證和計(jì)算，從而提高學(xué)生的邏輯推理能力和推理表達(dá)能力。

三、教學(xué)問題診斷分析

（一）已有的基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一般三角形和等腰三角形，會(huì)在簡單情況下證明兩個(gè)三角形全等，知道直角三角形的定義，初步掌握了綜合法的證明和表述。

（二）存在的困難

證明性質(zhì)定理（2）時(shí)，倍長中線法構(gòu)造全等三角形不易想到，學(xué)生在較復(fù)雜情況下證明兩個(gè)三角形全等的推理表達(dá)能力較弱，其他方法又欠缺知識(shí)基礎(chǔ)，在復(fù)雜圖形中綜合運(yùn)用性質(zhì)定理的能力比較弱。

（三）解決策略

教師通過折疊等腰直角三角形、幾何畫板測量演示，讓學(xué)生對(duì)性質(zhì)定理（2）的證明先有直觀想象，對(duì)轉(zhuǎn)化成等價(jià)命題這一方法的產(chǎn)生有更自然的過渡。

教師通過鞏固提高的變式訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，從定性到定量的研究，提高學(xué)生在復(fù)雜圖形中綜合運(yùn)用性質(zhì)定理的能力。

四、教學(xué)支持條件分析

幾何畫板、PPT、同屏助手。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）新課引入

問題1：

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了特殊的三角形——等腰三角形，它是一個(gè)什么圖形？

生：軸對(duì)稱圖形。

師：老師這有一個(gè)等腰三角形，你能沿著它的對(duì)稱軸折疊嗎？

生1上臺(tái)演示。

師：折疊后的三角形角有怎樣的特點(diǎn)？

生：有一個(gè)角是直角。

師：是的，我們知道有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形，今天我們一起繼續(xù)來學(xué)習(xí)直角三角形。（板書課題）

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生已學(xué)的等腰三角形入手，利用軸對(duì)稱性引出直角三角形的定義，讓學(xué)生體會(huì)到直角三角形的學(xué)習(xí)是等腰三角形學(xué)習(xí)的延續(xù)。

（二）新知探索

問題2：

師：如圖（圖略），△ABC中∠C=90°，△ABC是直角三角形，記作Rt△ABC.（板書△ABC及符號(hào)表示）

師：你能得到另兩個(gè)角有什么關(guān)系嗎？為什么？

生1：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和等于180°，Rt△ABC中∠C=90°，所以∠A+∠B=90°.（板書幾何語言）

師：非常好！這就是直角三角形的性質(zhì)定理（1）：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（板書文字語言）

問題3：

師：接下來我們看看，在其他要素上，直角三角形有什么性質(zhì)。在這個(gè)一般的直角三角形上并不能直接發(fā)現(xiàn)什么。那我們找一個(gè)特殊的，有一個(gè)角是直角的等腰三角形——等腰直角三角形。如△ABC中，AC=BC，∠C=90°，同樣把它沿著對(duì)稱軸CD折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：得到了兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCD。

師：除了AC=BC，其他線段有什么關(guān)系呢？

生1：CD=AD=BD。

生2：都等于AB的一半。

師：對(duì)于直角三角形來說，AB是什么邊？CD是AB邊上的什么線？

生：斜邊。斜邊上的中線和高線。

師：那你覺得斜邊上的中線或者高線與斜邊有什么關(guān)系呢？

生：斜邊上的中線和高線是斜邊的一半。

師：這個(gè)結(jié)論對(duì)所有的直角三角形都成立嗎？我們用幾何畫板演示一下。

師：通過度量它們的長度及比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)直角三角形在改變的時(shí)候，好像斜邊上的中線始終是斜邊的一半，而高線并不一定。

【設(shè)計(jì)意圖】通過等腰直角三角形這個(gè)特殊的直角三角形斜邊上的中線與斜邊的一半的關(guān)系，到任意直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系的思考，引導(dǎo)學(xué)生掌握從特殊到一般的解決問題的策略，同時(shí)形成猜想。

問題4：

師：那么“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”這個(gè)命題是真命題嗎？

生：需要證明。

幾何畫板呈現(xiàn)。已知：如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線.求證：CD=? ? ?AB.

師：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，交流完成。2分鐘后……

師：你們組完成了嗎？

生：沒有。

師：有思路嗎？哪里有困難？

生：從已知可得AD=BD=? ? AB，要求證CD=

AB，我們想到就是要求證CD=AD或者CD=BD，但證明不了。

師：你們的想法很好，那我們一起來試一試。如果已經(jīng)有BD=CD，只要證明AD=CD，那是不是就等于證明了CD=? ? AB。那我們就來證明這個(gè)命題。

幾何畫板呈現(xiàn)。已知：如圖，D是Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，BD=CD.求證：AD=CD.

同屏展示學(xué)生的證明過程。

師：非常好！我們通過觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理，得到了直角三角形的另一條性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自主探索、小組合作的形式，老師利用幾何畫板的演示幫助學(xué)生理解，從而驗(yàn)證推理，證明猜想。

（三）例題解析

例1：如圖（圖略），一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為30°的斜坡，從A滑行至B. 已知AB=200 m.這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了多少米？

師：下降高度與水平距離、滑行距離構(gòu)成什么三角形？請(qǐng)作出圖形。從∠B=30°能推出什么？

生：∠A=60°。

師：已知什么邊的長度？

生：斜邊。

師：你能想到關(guān)于它的什么性質(zhì)？

生：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

師：需要添輔助線嗎？怎么添？你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：CD=? ? AB=100 m，△ACD是等邊三角形。

師：AC與CD、AD有什么關(guān)系？請(qǐng)你把過程寫一寫。

師：從本題我們發(fā)現(xiàn)含30°角的直角三角形邊之間有什么關(guān)系？

生：30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。

師：是的，我們得到了直角三角形性質(zhì)定理的一條推論：直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。（板書）

師：當(dāng)我們把含30°角的直角三角形沿著較長的直角邊做軸對(duì)稱后得到的就是一個(gè)特殊的等腰三角形——等邊三角形，我們也可以在這個(gè)圖中完成推論的證明。

【設(shè)計(jì)意圖】通過生活中的實(shí)例，通過數(shù)學(xué)幾何論證得出推論并解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用生活。

（四）歸納小結(jié)

我們發(fā)現(xiàn)等腰三角形和直角三角形之間有著緊密的聯(lián)系，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了直角三角形，會(huì)用符號(hào)和字母表示直角三角形，學(xué)習(xí)了直角三角形“角”之間的關(guān)系、“斜邊”及相關(guān)元素“斜邊上的中線”之間的關(guān)系，后面我們還將學(xué)習(xí)“邊”之間及“邊”與“角”之間的關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)本堂課的知識(shí)總結(jié)，研究幾何方法的總結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊、再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

六、目標(biāo)達(dá)成檢測

1.已知直角三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)之比為3：2， 這兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為? ? ? ? ? 。

2.如圖1，已知AC⊥BC，AE⊥BE，D為AB的中點(diǎn)，

（1）試判斷DE與CE是否相等，并說明理由。

（2）改變點(diǎn)E的位置如圖2，（1）的結(jié)論還成立嗎？

（3）如圖2，若∠ABC=30°，∠BAE=40°，AC=3，試求∠CDE的度數(shù)和DE的長度。

（4）如圖2，延長AC、BE交于點(diǎn)F，得到圖3，試判斷∠F與∠CDE的關(guān)系。（選做題）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)施素質(zhì)教育的一項(xiàng)重要內(nèi)容，它在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)方面具有極為重要的作用。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，得到數(shù)學(xué)教師的重視;數(shù)學(xué)發(fā)展史是貫穿于這節(jié)課的另一條線，在教學(xué)中培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力。數(shù)學(xué)思想方法滲透比交代知識(shí)更重要，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。這節(jié)課，體現(xiàn)了教師在教學(xué)的同時(shí)，注意從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合這兩種思想的滲透。

（責(zé)任編輯：韓曉潔）