兩次消元巧求直徑方程

付建

[摘要]將直線和二次曲線方程聯(lián)立，消元兩次，就可以得到圓的直徑方程，這種思路清晰，過(guò)程看似煩瑣，實(shí)則簡(jiǎn)潔.

[關(guān)鍵詞]直徑方程：二次曲線：消元：直線

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633. 6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)]1674-6058（2020）14-0017-02

在解決與以直線和二次曲線相交的弦為直徑的網(wǎng)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)解法是將直線方程和二次曲線方程聯(lián)立，消元一次，即消去x或y，使用根與系數(shù)關(guān)系，求出圓心坐標(biāo)和半徑，但在解題中發(fā)現(xiàn)，可以消元兩次，既消去x，也消去y，將每次消元后的方程相加，即得圓的直徑方程，這種做法看似煩瑣，實(shí)則巧妙.

一、學(xué)生疑惑，一石激起千層浪

[例1]（蘇教版必修2）已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程;若不存在，說(shuō)明理由.

該生的解法是消元了兩次，對(duì)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)采取了“不設(shè)不求”的方法，直接構(gòu)造出了方程③，進(jìn)而將原點(diǎn)代入，求出m的值.對(duì)此我們進(jìn)行了討論，并且有如下疑惑：方程③是表示以弦AB為直徑的圓嗎？為什么要將原點(diǎn)坐標(biāo)代入方程③，理由是什么？

二、解法感悟，妙手偶得也艱辛

三、延伸拓展，二次曲線統(tǒng)一解

上述例題中，是直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，如果直線l與圓錐曲線相交于A，B兩點(diǎn)，上述過(guò)程是否也可以得到以弦AB為直徑的圓的方程呢？

四、應(yīng)用舉例，消元兩次有路徑

[例2]設(shè)A，B為曲線y=（x²）/4上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

（I）求直線AB的斜率;

（Ⅱ）設(shè)M為曲線C上的一點(diǎn)，曲線C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

[例3]已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）