方程組中整體代入法的應用方法

李金萍

【摘 ?要】隨著新課程改革的不斷深入，中考中的各類題型也趨向多元化。在現如今的初中數學題型中，方程組求解問題已然成為考試時的重點以及難點。但是在目前的實際教學中，教師往往會發(fā)現學生對于方程組求解這一問題缺乏解決思路，難以正確解答這一類題型，從而導致學生的數學成績不佳，這一實際存在的問題亟需初中教師的解決。本文筆者就將從實際的初中數學教學實踐出發(fā)，通過實際的例題講解，探討在初中數學方程組中整體代入法的有效應用。

【關鍵詞】初中數學;方程組;整體代入法;應用

前言：

所謂的解方程組中的整體代入法，就是將方程組中的方程式進行等價變化，并將其中一個變換后的方程式整體代入到另一個方程式中，從而極大簡化解題過程的方法。這一方法的有效應用，能夠幫助學生充分縮短解題的時間和計算量，從而有效 提升解題的效率和正確性。同時，學生還能夠在有效運用這一方法過程中，培養(yǎng)靈活的數學思維模式和提升學生的數學解題能力。

一、應用整體代入法，解二元一次方程組

在初中中考數學中，二元一次方程組的解答是一個較為重要的部分，也是較多復雜的解答題的基礎。但是，在二元一次方程組的解答過程中，如果學生不能夠應用正確的解答方法，一味地通過加減消元法解題，那么學生在遇到較為復雜的方程組解答過程中，將會花費大量的時間或者精力在運算過程中，甚至還會因為計算上的失誤而導致計算結果的錯誤。在部分二元一次方程組中，有效應用整體代入法，則能夠有效縮短學生在解題中使用的實踐，同時有效減少學生在解題過程中由于粗心而出現錯誤的可能。同時，學生在運用整體代入法對這一題型進行解答過程中，還能夠在一題多解的嘗試過程中，有效提升學生對數學解題方法的理解和對數學知識點和性質的掌握，從而有效提升學生的數學解題能力，有效提升中考中解題的速度。

例如，在以下的二元一次方程組的例題中，教師就可以引導學生采用整體代入法，有效縮減計算量。教師可以先為學生提出“求3x+5y=8，6x+7y=11這一方程組的解”這一問題，引導學生采用傳統的加減消元法進行計算。在計算過程中，學生會對方程式進行乘法以及加減法運算，從而解決這一問題。此后，教師可以引導學生想一想還有沒有其他的解題方法。在學生思考之后，教師可以利用整體代入法講解這一例題。教師可以將3x+5y=8這一方程式乘以2之后，整體代入到另一個方程式中，從而解決這一例題。在講解之后，教師可以引導學生想一想這一解法的優(yōu)勢。此后，教師就可以為學生提出“求x+2y=7，5x-3y=10的解”這一問題。學生在聽懂教師的例題講解之后，就能夠有效運用這一方法完成這一題的解法。在這樣的教學環(huán)節(jié)中，學生就能夠有效掌握整體代入法在二元一次方程組中的應用。

二、應用整體代入法，解二元二次方程組

二元二次方程組對于初中階段的學生而言，解決的難度較高，甚至有學生在遇到這一類問題時束手無策，在考試過程中花費大量的時間也解不出來這一題型，從而只能在考試過程中將這一類題型放棄。二元二次方程組由于出現二次項，尋常的加減消元法固然已經無法有效運用。因此，教師應引導學生在遇到二元二次方程組的問題時，采用整體代入法，化二次為一次，有效降低解題的難度，從而幫助學生能夠有效解決這一問題。在實際解答過程中，教師就可以引導學生仔細觀察方程組中二次式的結構，并嘗試將其化簡，將平方和轉變?yōu)閮纱鷶凳降某朔e，從而為另一方程式的代入創(chuàng)造機會。

例如，教師在進行如下二元二次方程組講解過程中，就可以應用整體代入法，引導學生應用這一方法幫助解題。在“求方程組x2-y2-3x+2y=12，x+y=7的解”這一題中，教師就可以引導學生先將含有二次項的方程式進行等價變換。學生在教師的引導下，發(fā)現x2-y2可以轉變?yōu)閤與y的和與差的乘積，即二次項的方程式可以轉變?yōu)椋▁+y）（x-y）-3x+2y=12。學生發(fā)現，這一式中就出現一次方程。此后，教師就可以引導學生將一次方程代入到化簡后的二次方程中，從而將二次方程轉變?yōu)橐淮畏匠獭Ｔ谶@樣的解題環(huán)節(jié)中，通過整體代入法的有效應用，二元二次方程組被轉變?yōu)閷W生能夠輕松解答的常規(guī)的二元一次方程組。這樣的解答思路也就有效保證學生在遇到相關問題時，能夠輕松完成這一題型的解題。

三、應用整體代入法，解分式方程組

在方程組求解的問題中，分數方程組求解起來比較復雜，學生如果采用常規(guī)的解題方法往往會將方程組越化越復雜，從而導致學生在解題過程中走到死胡同，最后無法完成題目的有效解決。因此，教師就可以引導學生在遇到這一類的問題時，采用整體代入法和整體換元法，從而將復雜的問題簡單化，有效提升學生解決這一類實際問題的能力，從而有效提升學生在中考中的數學成績。

例如，在“1/x+1/y=1/24，30/x+20/y=1的解”過程中，教師就可以引導學生采用整體代入法，降低解題的難度。教師可以引導學生將30/x+20/y=1轉變?yōu)?0（1/x+1/y）+10/y=1，學生發(fā)現在這一方程式中，出現1/x+1/y這一整體。此后，教師就可以引導學生將這一整體代入到另一個方程式中，從而出現20/24+10/y=1這一結果，此后學生就能夠根據這一代數式輕松解決y的值，并以此完成這一題的解答。在這樣的解決過程中，如果學生采用分式化簡的方法，將會導致方程式轉變?yōu)閺碗s的二元二次方程組，計算量極大，學生在這樣的計算量之下，只能夠放棄這一題的解答。而在利用整體代入法的解答過程中，運算量較小，學生在掌握方法的前提下，輕松就能夠完成，從而有效保證學生能夠在考試中取得較高的成績。

總結：

總而言之，方程組的解是初中數學中的一個比較重要的考試題型，也是數學中考中的重點。但是，方程組求解的思路和方法千變萬化，方程組的題型也各不相同。教師在進行這一部分的例題講解過程中，應引導學生充分采用整體代入法，有效提升方程組求解的能力，從而有效提升學生的數學成績。

參考文獻：

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[2]鄭艷.初中數學用方程組解決應用題策略的研究[J].中外交流，2018（22）：290-291.

（作者單位：廣西橫州市橫州鎮(zhèn)第三初級中學）