整體架構(gòu)下的動態(tài)生成

潘永斌

[摘? 要] 文章對“微專題”教學(xué)的意義、如何科學(xué)合理設(shè)置“微專題”、如何進(jìn)行有效的“微專題”課堂教學(xué)進(jìn)行了闡述，介紹了如何在全局觀下整體把握”微專題”，在實(shí)施教學(xué)過程中如何基于學(xué)情，動態(tài)生成“后微專題”及時補(bǔ)位，幫助學(xué)生跨越微專題學(xué)習(xí)的最后一道門檻進(jìn)行了示范.

[關(guān)鍵詞] 微專題;后微專題;整體架構(gòu);動態(tài)生成

對于高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課，各地區(qū)基本都已給出了比較統(tǒng)一成熟且高效的課型模式，并成功實(shí)踐多年，達(dá)成了共識，效果顯著. 對于二輪復(fù)習(xí)的課型模式，可謂是“百花齊放”. 但多地區(qū)與學(xué)?，F(xiàn)較多地采用“微專題”的形式，即針對某一具體知識點(diǎn)、問題，從其涉及的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，精選例題和習(xí)題，探求知識方法和本源，領(lǐng)會解題思路和方法，固化解題模式和流程，它是一種“小切口”式教學(xué)的方法.

我國著名的數(shù)學(xué)教育家徐利治先生曾說過：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué).”模式的概念更為深刻地揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì). 因此，“無論是數(shù)學(xué)中的概念和命題或是問題和方法，事實(shí)上都應(yīng)被看成一種具有普遍意義的模式”. 解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化與化歸，其遵循的熟悉化、簡單化、直觀化原則的核心是圍繞模式識別來實(shí)施的. 如何讓學(xué)生識別出模型，并熟練運(yùn)用模式對其進(jìn)行解決，這就需要通過系統(tǒng)、合適的微專題進(jìn)行教學(xué).

微專題教學(xué)“因微而準(zhǔn)、因微而深、因微而活”，有利于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解. 因此，微專題教學(xué)已經(jīng)成為很多地區(qū)、很多學(xué)校高三二輪復(fù)習(xí)的常態(tài)課堂教學(xué)形式.

與一輪復(fù)習(xí)不同，二輪復(fù)習(xí)“微專題”的設(shè)計(jì)編寫與各地區(qū)、各學(xué)校學(xué)生的基礎(chǔ)、能力及各地區(qū)不同的高考要求與側(cè)重點(diǎn)等關(guān)系密切，可以說沒有一種二輪“微專題”是放之四海而皆準(zhǔn)的.這就要求教師要依據(jù)不同的學(xué)情、生情，在對二輪復(fù)習(xí)內(nèi)容的整體把握下，動態(tài)生成適合自己學(xué)生的“微專題”.

下面筆者就以“導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)問題的探討”為例來談一談對微專題設(shè)計(jì)的一些粗淺的想法.

全局觀下的整體把握

“微專題”的微體現(xiàn)在其“切口小、研究深”上. 因此，對于微專題的設(shè)計(jì)，大部分教師是能夠考慮到“小切口”這一要求的，即圍繞某一個知識點(diǎn)或者是多個章節(jié)中存在的某一類具有共同特點(diǎn)的問題開展微型復(fù)習(xí)專題研究.

但在做到“微”之前，教師首先要對學(xué)生學(xué)習(xí)的“痛點(diǎn)”和高考命題的“熱點(diǎn)”有全面而整體的把握，在全局觀下用居高臨下的視角全面審視高中數(shù)學(xué)的知識體系、邏輯結(jié)構(gòu)和思想方法，通過一個由“宏”致“微”的過程，進(jìn)而著眼于“痛點(diǎn)”，聚焦于“熱點(diǎn)”，將點(diǎn)連成線、線形成面. 以“微專題”為載體，邏輯串聯(lián)起高中數(shù)學(xué)的知識脈絡(luò)和思想方法，注重系統(tǒng)性，整體謀劃，布局合理.

基于如上考慮，確定“微專題”系列的內(nèi)容便是首要完成的工作，在本文中筆者不加贅述. 下面筆者就談?wù)剬瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，微專題的設(shè)計(jì)與實(shí)踐.

筆者首先將2013-2019年江蘇高考最后的壓軸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題整理如下（見表1）.

由此可見，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的“隱零點(diǎn)”問題歷來是一個命題“熱點(diǎn)”和學(xué)生學(xué)習(xí)“痛點(diǎn)”，而“熱點(diǎn)”與“痛點(diǎn)”的交匯處，既是失分的“死亡沼澤”，也可以是增分的“希望原野”，需要我們重點(diǎn)關(guān)注.

整體把握中的動態(tài)生成

（一）微專題設(shè)計(jì)與教學(xué)的一般模式

為了解決這一問題，我們設(shè)計(jì)了微專題《導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)難求問題的探討》，通過對此問題的解決，能更好地促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，把握問題本質(zhì)，解決核心難點(diǎn)，發(fā)展思維能力.

對于分解出的“微專題”，我們要讓學(xué)生總結(jié)出其一般的解決模式，建構(gòu)解決這類問題的規(guī)范方法與流程體系.因此，例題選擇需全不需深，教師講解時也宜簡化前期的“準(zhǔn)備工作”，如：該問題是如何轉(zhuǎn)化與化歸至此問題、對目標(biāo)函數(shù)的求導(dǎo)、通分與因式分解等，將重點(diǎn)放在導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法求得之后的各類情況分析與解決方式選擇.通過對具體的各類問題的分析，學(xué)生再總結(jié)出解決這一類問題的模式與規(guī)范流程也就水到渠成了.

設(shè)計(jì)意圖：通過零點(diǎn)存在性定理，可知導(dǎo)函數(shù)是有零點(diǎn)的，但是無法求解也無法觀察出零點(diǎn)，可以通過假設(shè)零點(diǎn)，整體代換來解決此問題.

以上三個例題，基本涵蓋了高考命題中零點(diǎn)無法求得的三種情況，即：（1）無零點(diǎn);（2）可猜出零點(diǎn)，并可證明其唯一性;（3）有零點(diǎn)，但無法猜出，可假設(shè)零點(diǎn)，通過零點(diǎn)存在性定理限定其大概范圍并對其進(jìn)行整體代換.

通過以上三個典型例題的分析，學(xué)生可將導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)難求問題的常見情況與一般處理方法總結(jié)如下：

（二）基于學(xué)情動態(tài)生成“后微專題”

通過如上微專題的研究，學(xué)生在解題方法和解題思路上有了很大提升，面對一個新的問題普遍知道如何進(jìn)行思考了，但在實(shí)際解題過程中依舊困難重重，難以將解題進(jìn)行到底.究其原因，不同層次的學(xué)生既有共性的問題，也有個性的問題，概括起來主要有三個：一是有些問題參變量分離困難或不具備可操作性（參數(shù)分離需要解二次方程或不等式，需要用到“洛必達(dá)”法則，零點(diǎn)問題容易被扣分等），這些問題用整體法考慮對參數(shù)范圍如何進(jìn)行分類討論仍有困難;二是如何利用零點(diǎn)存在定理判定零點(diǎn)存在;三是如何虛設(shè)零點(diǎn)、整體代換.毫無疑問，上述三個問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的“痛點(diǎn)”，而且是“痛中之痛”.

對此，筆者又設(shè)計(jì)了三個“后微專題”，分別是《求導(dǎo)中含參討論的二次型問題》《隱零點(diǎn)問題中零點(diǎn)存在性判斷問題》《虛設(shè)代換與強(qiáng)化命題，破解導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)問題》.

1. 求導(dǎo)中含參討論的二次型問題

例1：已知函數(shù)f（x）=ax2-（2a+1）x+lnx，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖：求導(dǎo)后舍棄恒正恒負(fù)部分后得到的代數(shù)式，可利用因式分解的辦法來解決.

例2：已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax2-4ax+3a，若對任意x∈（1，+∞），都有f（x）>0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：求導(dǎo)后舍棄恒正恒負(fù)部分后得到的代數(shù)式，不能因式分解，但可以通過判斷Δ，然后利用分類討論來解決.

例3：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1，若對任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.

設(shè)計(jì)意圖：求導(dǎo)后舍棄恒正恒負(fù)部分，然后利用參變量分離或者整體分類討論來解決. 但如果能利用端點(diǎn)帶入縮小參數(shù)范圍，就能減少不必要的討論，簡化解題過程.

例4：已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-ax（a∈R，且a≠0），如果存在實(shí)數(shù)a∈（-∞，-1]，使函數(shù)g（x）=f（x）+f ′（x），x∈[-1，b]（b>-1）在x=-1處取得最小值，求實(shí)數(shù)b的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：利用整體法來解決該問題需要分情況討論，比較煩瑣，如果能把問題轉(zhuǎn)化為g（x）≥g（-1）恒成立，則可大大簡化解題過程.

2. 隱零點(diǎn)問題中零點(diǎn)存在性問題

例1：若函數(shù)f（x）=lnx-x-a有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：一邊用ea試值，另一邊lnx≤x-1放過大，嘗試lnx<或lnx<，從系數(shù)或次數(shù)上調(diào)整.

例2：設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：不能用參變量分離，即使使用也會出現(xiàn)極限問題（型，洛必達(dá)法則）. 需采用整體法（一邊用e0試值，另一邊lnx≤x-1不滿足，嘗試lnx<）.

例3：已知函數(shù)f（x）=ex-2lnx++b

既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：求導(dǎo)后通過舍棄恒正或恒負(fù)部分，經(jīng)過換元轉(zhuǎn)化為h（t）=lnt-2t+b有兩個零點(diǎn)問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

方法總結(jié)如下：

3. 虛設(shè)代換與強(qiáng)化命題，破解導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)問題

例1：已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過虛設(shè)，利用根與系數(shù)關(guān)系整體代換.

例2：設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx，設(shè)a∈（0，2e2），求證：當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）≥2a+aln.

設(shè)計(jì)意圖：通過虛設(shè)，利用形式轉(zhuǎn)化整體代換.

例3：已知函數(shù)f（x）=x2-x-xlnx，證明：f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

設(shè)計(jì)意圖：通過虛設(shè)，利用形式轉(zhuǎn)化整體代換，進(jìn)而進(jìn)行范圍估計(jì).

例4：函數(shù)f（x）=exlnx+ex-1，求證：f（x）>1.

設(shè)計(jì)意圖：利用加強(qiáng)命題不等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過證明（xlnx）min>xe-x-max，從而解決問題.

如果說共享單車解決了出行的最后一公里問題，那么這三個“后微專題”就是基于學(xué)情的及時補(bǔ)位，幫助學(xué)生跨越隱零點(diǎn)微專題學(xué)習(xí)的最后一道門檻.

因此，“微專題”的設(shè)計(jì)需要教師在對全局的整體把握下，對綜合性問題進(jìn)行精準(zhǔn)的拆分;之后根據(jù)學(xué)情對“微專題”內(nèi)容進(jìn)行更有深度的挖掘，動態(tài)生成“后微專題”對其進(jìn)行補(bǔ)位;最后通過課堂教學(xué)與刻意練習(xí)將其解決模式固化.

微專題的設(shè)計(jì)與教學(xué)原則

設(shè)計(jì)合理的微專題具有顯微鏡的功能，可將學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)、考試的重點(diǎn)放大. 既能讓教師和學(xué)生從中找到學(xué)習(xí)中的痛點(diǎn)，也能讓學(xué)生迅速掌握解決痛點(diǎn)的方法和路徑. 因此微專題“小切口”的設(shè)計(jì)方便學(xué)生理解，印象也更為深刻. 但在設(shè)計(jì)和教學(xué)過程中教師還應(yīng)該注意以下幾個問題：

（一）注重系統(tǒng)性、注意選擇性

正所謂“學(xué)之道在于悟，教之道在于度”，微專題的例題選擇宜低起點(diǎn)，主題明確，難度依次遞進(jìn).不能因?yàn)槭嵌啅?fù)習(xí)，就拔高起點(diǎn)，我們應(yīng)正確理解微專題教學(xué)中例題的功能：為尋求問題本質(zhì)、探求思路方法、厘清一般解題流程服務(wù). 在微專題復(fù)習(xí)中教師要引導(dǎo)學(xué)生對問題的本質(zhì)、方法的本質(zhì)深入探究，對不同問題不同方法加以辨析與比較，探求解決問題的一般流程，對解決問題的一般流程進(jìn)行固化和訓(xùn)練，只有這樣學(xué)生方能領(lǐng)悟方法的內(nèi)涵并加以靈活運(yùn)用.

（二）體現(xiàn)學(xué)生的主體地位

在微專題教學(xué)中，教師應(yīng)突出學(xué)生交流活動的開展，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思維碰撞、深度思考. 對微專題設(shè)計(jì)要進(jìn)行更深層次的數(shù)學(xué)思考，善于變“習(xí)題”為“問題”，變“問題”為“課題”，變“講授”為“悟道”，創(chuàng)設(shè)階梯性問題鏈，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)具有挑戰(zhàn)性，使學(xué)生通過自己的思考、探究、交流，悟出自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之道.

（三）固化模式、反饋矯正、螺旋上升

在微專題的課堂教學(xué)之后，還需要教師對學(xué)生的掌握情況進(jìn)行反饋矯正以達(dá)到預(yù)期效果.對于二輪復(fù)習(xí)，我們可以以微專題為載體，通過整體把握、選擇問題;精準(zhǔn)拆分、分解模塊;深度挖掘、動態(tài)生成;模式固化、建構(gòu)規(guī)范;反饋矯正、螺旋上升這一系列的工作使學(xué)生領(lǐng)悟題型和方法的內(nèi)涵并習(xí)得自然.

當(dāng)然，對學(xué)生單一動作的訓(xùn)練完成之后，我們還需要對其進(jìn)行“實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練”，即綜合問題訓(xùn)練，從轉(zhuǎn)化與化歸開始，要求學(xué)生書寫要清晰，表達(dá)要規(guī)范，計(jì)算要準(zhǔn)確，顆粒歸倉，循環(huán)往復(fù)，螺旋上升.

總而言之，微專題的編寫目標(biāo)——讓學(xué)生走出“舒適區(qū)”，走進(jìn)“學(xué)習(xí)區(qū)”;微專題的編寫原則——微而不輕，難度適當(dāng);微專題的呈現(xiàn)形式——刪繁就簡，直擊要害;微專題的規(guī)劃方案——整體布局，動態(tài)生成;微專題的落實(shí)方式——模式固化，刻意練習(xí). 唯有如此，才能更有效解決學(xué)生學(xué)習(xí)的“痛點(diǎn)”和命題的“熱點(diǎn)”;唯有如此，學(xué)生的能力才能日益精進(jìn)！