關(guān)于三角函數(shù)線性組合最值問題的解析

陜西省西安市第三中學(xué)

數(shù)學(xué)源于生活，而生活中的實際問題又可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值，數(shù)學(xué)的價值在于對問題的探究和進(jìn)一步研究，本文是從一道?？荚囶}談起，經(jīng)過解法研究、推廣、變式一系列的活動使問題的價值逐步提升，將“一題多變”發(fā)揮極致，只有不斷研究試題，才能實現(xiàn)由“必然王國”向“自由王國”的轉(zhuǎn)變，才會更精彩，這正好也是數(shù)學(xué)的價值所在.

題目(2019年江蘇無錫模擬考試第14題)已知在銳角三角形ΔABC中，2sin2A+sin2B=2sin2C，則的最小值為____.就變成了C′:x2+y2=1，即橢圓C上的點

解法1因為2sin2A+sin2B=2sin2C，所以2a2+b2=2c2，即b2=2(c2-a2).又因為c2=a2+b2-2abcosC，所以b2=2(b2-2abcosC)，即b=4acosC.由正弦定理得sinB=4 sinAcosC，所以sin(A+C)= 4 sinAcosC.化簡得tanC=3 tanA，又因為A+B+C=π，所以

故

解法2作BD⊥AC于點D，設(shè)BD=h，則c2=h2+AD2,a2=h2+CD2，所以

所以

推廣1已知在ΔABC中，ksin2A+sin2B=ksin2C,(k0)，則的最小值為

證明作BD⊥AC于點D，設(shè)BD=h，則c2=h2+AD2,a2=h2+CD2,所以c2-a2=AD2-CD2=(AD+CD)(AD-CD)=b(AD-CD),所以又因為AD+CD=b，所以又因為ksin2A+sin2B=ksin2C，所以ka2+b2=kc2，即c2-a2=所以

所以

當(dāng)且僅當(dāng)h=時，等號成立，故的最小值

推廣2已知在ΔABC中ksin2A+sin2B=ksin2C,則的最小值為

證明作BD⊥AC于點D，設(shè)BD=h，則c2=h2+AD2,a2=h2+CD2，所以c2-a2=AD2-CD2=(AD+CD)(AD-CD)=b(AD-CD)所以又因為AD+CD=b，所以又因為ksin2A+sin2B=ksin2C，所以ka2+b2=kc2，即c2-a2=所以

所以

變式1在銳角三角形ΔABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若sin2A+sin2C=則

證明因為所以又因為A+B+C=π，所以

推廣3在三角形ΔABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若sin2A+sin2C=λsin2B(其中(λ+1)sin2B,2sin2C(λ+1)sin2B)，則

證明因為sin2A+sin2C=λsin2B，所以a2+c2=λb2，又因為A+B+C=π，所以

推廣4設(shè)點B是圓x2+y2=r2(r＞0)上一點，若(其中m＞0,m1).若ΔABC為斜三角形，則

證明設(shè)當(dāng)x＞0,y＞0時，有所以

其它情形同理可證.

變式2已知在三角形ΔABC中，2 sinA+sinB=2 sinC，求的最小值.

解法1因為2 sinA+sinB=2 sinC，所以2 sinA+sinB=2 sin(A+B)，所以2 sinA(cosB-1)= sinB(1-2 cosA)，即所以即所以所以

解法2因為2 sinA+sinB=2 sinC，所以b=2(c-a)，設(shè)b=4，則c-a=2，即|AB|-|BC|=2＜4，所以，點B的軌跡為雙曲線在第一象限的部分，由焦半徑公式得

推廣5已知在三角形ΔABC中，ksinA+sinB=ksinC,(k＞1)，則的最小值為

解因為ksinA+sinB=ksinC，所以b=k(c-a)，設(shè)b=4，則因為k＞1，所以所以，點B的軌跡為雙曲線在第一象限的部分，由焦半徑公式得

推廣6已知在三角形ΔABC中，ksinA+sinB=ksinC,(k＞1,m＞0)，則的最小值為

解因為ksinA+sinB=ksinC，所以b=k(c-a)，設(shè)b=4，則因為k＞1，所以所以，點B的軌跡為雙曲線在第一象限的部分，由焦半徑公式得

通過以上的思考過程，筆者感悟到對于任何試題的研究，需要平時的積累，通過用抽象、類比、和變式去研究數(shù)學(xué)問題，在平時教學(xué)中要多思、多想，多問為什么，這樣數(shù)學(xué)會因思考而更加精彩，一道優(yōu)秀的試題是要經(jīng)過多思善想，這樣才會有驚喜和收獲，只有在學(xué)習(xí)中才可以提升數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，既需要大膽的猜想和細(xì)心的求證，還需要堅定的意志和靈通的變通，所以說，只有多思、多想、多變，才會有創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)和收獲.