高觀點(diǎn)下透析“圖形特殊化”的源與流*

西南大學(xué)附屬中學(xué)校

一、緣起

在解決有的幾何題目時(shí)，如果我們將圖形做適當(dāng)?shù)淖冃?，將其變得更為特殊和熟悉的圖形，在不改變圖形中的關(guān)鍵要素的前提下，會(huì)發(fā)現(xiàn)變形后題目的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化或者與原來的結(jié)果有顯而易見的聯(lián)系，進(jìn)而，驚喜地發(fā)現(xiàn)原本“較為陌生、較為復(fù)雜、難以描述”的圖形關(guān)系變得“較為熟悉、容易刻畫、便于表達(dá)”起來，題目也就迎刃而解了，我們把這樣的解題方法叫做“圖形特殊化”.圖形為什么可以特殊化?背后的原理又是什么?什么情況下可以特殊化?接下來，帶著這樣的問題，我們不妨從一道競(jìng)賽試題的妙解說起，然后站在高觀點(diǎn)下從仿射變換的視角透析其背后的高等幾何背景，同時(shí)基于通透的前提下結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，舉例說明這種方法在初等幾何解題中經(jīng)常遇到的幾種情形.

二、從解一道競(jìng)賽試題看“圖形特殊化”的巧與妙

下面這道題是北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽的最后一個(gè)題目，主要考查學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形、分析圖形，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決圖形中線段比例、三角形面積等相關(guān)問題的能力，考慮到是最后一個(gè)題，命題者故意做了一定的偽裝，穿了幾件衣服，顯得較為新穎，有一定的難度.

例1(2019年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題(高一)第二大題第8題)如圖1，在ΔABC的邊AB，BC上分別取點(diǎn)K，M，使得在線段KM上取點(diǎn)O，使得N為射線BO與AC的交點(diǎn)，AC=a，由點(diǎn)O到AC邊的距離OD=d，則ΔKMN的面積為___

題目分析與解如圖2，通過細(xì)致分析不難發(fā)現(xiàn)題目中圖形關(guān)系的關(guān)鍵在于“點(diǎn)O分BN成的比和點(diǎn)N分AC成的比是確定的”，考慮到這是一道填空題，而“點(diǎn)O分BN成的比和點(diǎn)N分AC成的比”不會(huì)因?yàn)槿切涡螤畹母淖兌淖儯簿捅ＷC了圖形中的三角形面積比例不會(huì)發(fā)生改變，只要保證“AC=a，OD=d”這個(gè)條件，就可以把三角形特殊化.

圖1

圖2

不妨讓AB⊥AC，以AB,AC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C(a,0)，設(shè)B(0,b)，由易得由易得再結(jié)合可求得這就求出了于是直線令y=0可得：這就求出了由于于是

解法點(diǎn)評(píng)解法的精髓在于巧妙地利用了圖形特殊化后“線段比例”不會(huì)改變、面積比也不改變這兩個(gè)事實(shí)，將圖形特殊化，變成直角三角形后更有利于坐標(biāo)系的建立，從而將復(fù)雜的圖形關(guān)系變?yōu)槿菀子米鴺?biāo)計(jì)算的圖形關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了小題小解、小題巧解.

三、透析“圖形特殊化”背后的高等幾何背景

我們?cè)诟袊@“變得巧、解得妙”的同時(shí)，自然而然地會(huì)思考這樣的問題：圖形為什么可以特殊化?其背后的原理又是什么?什么情況下可以特殊化?其實(shí)，根據(jù)高等教育出版社出版的《高等幾何》[1]，我們不妨先依次弄清下列問題.

(一)什么是透視仿射對(duì)應(yīng)

定義1.1共線三點(diǎn)P1，P2，P的單比表示為(P1P2P)，定義其中P1P、P2P是有向線段的數(shù)量，稱P1，P2為基點(diǎn)，P為分點(diǎn).

定義1.2在一平面上設(shè)有直線a和a′，l為此平面上與a,a′均不平行的另一直線，通過直線a上各點(diǎn)A,B,C,···，分別作與l平行的直線，順次交a′于A′,B′,C′,···，這樣便得到直線a上點(diǎn)到a′上點(diǎn)的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，稱為透視仿射對(duì)應(yīng)，如圖3所示.

圖3

類似地可以定義空間兩平面間的透視仿射對(duì)應(yīng).顯然，透視仿射對(duì)應(yīng)有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.1透視仿射對(duì)應(yīng)保持同素性.即透視仿射對(duì)應(yīng)使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)直線.

性質(zhì)1.2透視仿射對(duì)應(yīng)保持結(jié)合性，如圖3所示，點(diǎn)A,B,C,···,在a上，通過透視仿射對(duì)應(yīng)后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′,B′,C′,···,在a′上.

性質(zhì)1.3透視仿射對(duì)應(yīng)保持共線三點(diǎn)的單比不變.如圖3，由平行切割對(duì)應(yīng)成比例容易知道，單比(ABC)=(A′B′C′).

性質(zhì)1.4透視仿射對(duì)應(yīng)保持兩直線的平行性.

(二)什么是仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換

定義2.1設(shè)同一平面內(nèi)有n條直線a1,a2,···,an.φ1,φ2,···,φn-1順次表示a1到a2，a2到a3，···，an-1到an的透視仿射對(duì)應(yīng)，經(jīng)過這一串透視仿射對(duì)應(yīng)，使a1上的點(diǎn)與an上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)稱為a1到an的仿射對(duì)應(yīng)φ(也叫仿射變換)，于是有：φ=φn-1°···°φ2°φ1.

類似地可以定義空間兩平面之間的仿射變換.不難證明仿射對(duì)應(yīng)(變換)滿足以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.1仿射對(duì)應(yīng)保持同素性與結(jié)合性.

性質(zhì)1.2仿射對(duì)應(yīng)保持共線三點(diǎn)的單比不變.

性質(zhì)1.3仿射對(duì)應(yīng)保持兩直線的平行性.

(三)什么是仿射坐標(biāo)

如圖4，設(shè)O-xy為平面內(nèi)一笛卡爾坐標(biāo)系(直角或斜角)，E(1,1)為單位點(diǎn)，平面內(nèi)任一點(diǎn)P(x,y)都可以表示為其中Ex,Ey,Px,Py分別為過E,P所作y軸和x軸的平行線與x軸和y軸的交點(diǎn).

圖4

經(jīng)過一個(gè)仿射變換(對(duì)應(yīng))，坐標(biāo)系O-xy在同一平面(另一平面)內(nèi)的對(duì)應(yīng)圖形為O′-x′y′，E,Ex,Ey,P,Px,Py的對(duì)應(yīng)點(diǎn)順次為E′,E′x,E′y,P′,P′x,P′y，在新坐標(biāo)系O′-x′y′中，取E′(1,1)為單位點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)坐標(biāo)系中的點(diǎn)P′(x′,y′)，就有由于仿射變換保持單比不變，所以有x=x′，y=y′.

定義3.1笛卡爾坐標(biāo)系在仿射變換(對(duì)應(yīng))下的像叫做仿射坐標(biāo)系.(x′,y′)叫做點(diǎn)P′的仿射坐標(biāo)，記為P′(x′,y′).

由此可見仿射坐標(biāo)系是笛卡爾坐標(biāo)系的推廣，兩坐標(biāo)軸上的測(cè)量單位|O′E′|和|OE|不一定相等，而笛卡爾坐標(biāo)系是仿射坐標(biāo)系當(dāng)兩軸上的測(cè)量單位相等時(shí)的特殊情況.

(四)什么是仿射變換的代數(shù)表示

如圖5，設(shè)仿射變換將坐標(biāo)系O-e1e2變?yōu)镺′-e′1e′2，點(diǎn)P變?yōu)镻′.記P(x,y)，P′(x′,y′)，O′(x0,y0)，e1=(x1,y1)，e2=(x2,y2)，那么如何求點(diǎn)P′(x′,y′)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)呢?

圖5

考慮到仿射變換保持平行性和單比不變，故點(diǎn)P′在坐標(biāo)系O′-e′1e′2下的坐標(biāo)仍然為(x,y)，故只需在O-e1e2中找到P(x,y)與P′(x′,y′)的關(guān)系即可，由于所以

由于e′1與e′2不平行，所以有

由于式中有六個(gè)未知數(shù)，所以只要有不共線的三對(duì)點(diǎn)便可唯一確定一個(gè)仿射變換.

定義4.1平面上點(diǎn)之間的一個(gè)線性變換(?)叫做仿射變換，其中

這就是仿射變換的代數(shù)表示，我們有必要了解以下幾個(gè)特殊仿射變換的代數(shù)表示：

(1)正交變換如果(?)式滿足時(shí)，則稱該仿射變換為正交變換.正交變換保任意兩點(diǎn)之間的距離不變.

(2)位似變換如果(?)式滿足其中k0，則稱該仿射變換為位似變換.位似變換中，唯一的不動(dòng)點(diǎn)叫位似中心，k為位似比，位似變換保夾角不變和對(duì)應(yīng)線段的比值不變.

(3)伸縮變換如果(?)式滿足其中λμ0，則稱該仿射變換為伸縮變換.

(五)什么是仿射不變量

定義5.1圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)(量)，稱為圖形的仿射不變量.

性質(zhì)5.1經(jīng)過仿射變換的直線，平行性不改變，相交性不改變，對(duì)曲線的切性不改變.

性質(zhì)5.2兩條平行線段之比是仿射不變量.

性質(zhì)5.3兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量，兩個(gè)多變形面積之比是仿射不變量.

性質(zhì)5.4在伸縮變換(其中λμ0)下，變換前后直線斜率比為

性質(zhì)5.5在伸縮變換(其中λμ0)下，變換前后多邊形面積比為

由前面概念產(chǎn)生過程看，性質(zhì)5.1和5.2是顯然成立的，由(?)式大家不難證明性質(zhì)5.3、5.4和5.5也是成立的，大家可以參考書[1].

(六)什么是“圖形特殊化”的高等幾何背景

結(jié)合前面的敘述可知，“圖形特殊化”的本質(zhì)是作了一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，圖形為什么可以特殊化呢?是因?yàn)榉律渥儞Q下存在仿射不變量.就像例1 那樣，由于“兩條平行線段之比”和“兩個(gè)三角形面積之比”是仿射不變量，故將“圖形特殊化”后答案不會(huì)發(fā)生變化!

四、例說“圖形特殊化”的幾何應(yīng)用

下面回答最后一個(gè)問題，哪些情形適用“圖形特殊化”，筆者結(jié)合實(shí)例，談?wù)勛约涸谄綍r(shí)教學(xué)中積累的幾種情形.

(一)利用“圖形特殊化”巧解斜率相關(guān)問題

結(jié)論1如圖6，設(shè)橢圓斜率為kAB的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M，直線OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為kOM，則有

圖6

證明作伸縮變換φ:則橢圓C:就變成了C′:x2+y2=1，即橢圓C上的點(diǎn)A,B,M就變成了圓C′上的點(diǎn)A′,B′,M′，M是弦AB的中點(diǎn)，由于兩條平行線段之比是仿射不變量，故M′也是A′B′的中點(diǎn)，若該變換將直線l(斜率為k)變換成直線l′(斜率為k′)，由性質(zhì)必有又因?yàn)閳AC′中k′AB·k′OM=-1，于是即證得

類似地，很容易得到以下兩個(gè)結(jié)論；

結(jié)論2斜率為kl的直線l與橢圓1(a＞b＞0)相切于點(diǎn)A，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線OA的斜率為kOA，則有

結(jié)論3設(shè)橢圓A、B兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)P為橢圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA和PB的斜率存在且分別為kPA和kPB，則有

(二)利用“圖形特殊化”巧解線段長(zhǎng)度相關(guān)問題

例2(2017年沈陽四中期中考試題)如圖7，在ΔABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又則實(shí)數(shù)t的值為___.

圖7

圖8

解如圖8，由于仿射變換保線段比例不變，不妨讓BC⊥BA，且以BC,BA分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，同時(shí)設(shè)A(0,3)，設(shè)C(2,0)，由易得P(0,2)，又Q是BC的中點(diǎn)，Q(1,0)，易求得直線與直線的交點(diǎn)故

例3(2013年湖北數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題)設(shè)P(x0,y0)是橢圓內(nèi)一定點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，過點(diǎn)P的兩條直線分別交橢圓于A,C和B,D，若AB//CD，過點(diǎn)P作與AB平行的直線交橢圓于E,F，求證：點(diǎn)P平分EF.

簡(jiǎn)證如圖9，做仿射變換φ:由于仿射變換保持直線的平行性，四邊形A′B′C′D′為等腰梯形，且A′B′中垂線過點(diǎn)P′和原點(diǎn)，由A′B′//E′F′，故點(diǎn)P′平分E′F′.

圖9

圖10

(三)利用“圖形特殊化”巧解面積相關(guān)問題

例4(2019年高考全國(guó)II卷第21題)如圖10，已知點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(i)證明：ΔPGQ是直角三角形；(ii)求ΔPGQ面積的最大值.

解(2)作伸縮變換φ:則橢圓C:P,Q,G,E就變成了圓C′上的點(diǎn)P′,Q′,G′,E′.

(i)不妨設(shè)P′(m,n)，則，由于P′G′⊥Q′G′，故顯然kP′Q′·kP′G′=所以kPQ·kPG=-1，即證：PQ⊥PG.

(ii)設(shè)∠Q′P′G′=α，由夾角公式

由于P′G′⊥Q′G′所以

于是SΔPGQ=

五、后記

“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.在克萊因看來：“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的老師應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才顯得明了而簡(jiǎn)單”[2].而只要掌握了“圖形特殊化”背后“仿射變換”這個(gè)高等幾何背景，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多可以用它來解決的問題，同樣很多看似巧妙的背后，往往隱藏著深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì).