一類“不確定三角形”問題的求解策略

云南省高中數(shù)學(xué)張勇名師工作坊；云南省下關(guān)第一中學(xué)

解三角形作為高考重點考查內(nèi)容之一，主要要求考生通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等，并借助三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運算，解決一些簡單三角形的度量問題及一些與測量和計算有關(guān)的實際問題等.涉及解三角形與三角函數(shù)知識，大都運算量大、公式應(yīng)用多，這就要求考生不僅要具有較高的運算能力、較強的應(yīng)變能力和較好的記憶能力，還要善于分析與總結(jié)，形成解決此類問題的一般方法.

對于高中生而言，初中階段就已經(jīng)非常熟悉確定三角形的條件，即：邊角邊、角角邊、邊邊邊、角邊角都可以唯一確定三角形，那么其解三角形問題只需簡單的使用正、余弦定理即可解決，也被學(xué)生所熟練掌握.結(jié)合教學(xué)實際，從高考的能力立意來看，縱觀2010至2019年全國新課標(biāo)高考試題中“已知一角一邊”的解三角形問題是高頻考點，這是一類不確定三角形的求解問題，其往往結(jié)合三角函數(shù)、三角恒等變換、不等式等知識作為壓軸題型進行綜合考查，涉及最值、范圍問題等，這類情況是簡單的正余弦定理不能直接解決的，也是教學(xué)和高考中的重難點.作者結(jié)合教學(xué)實際和對高考試題的深入分析，總結(jié)得出了解三角形中“已知一角一邊”問題的求解方法，并在此基礎(chǔ)上提煉出了以下兩個模型.

模型一 已知三角形的一角及其對邊

如圖，在ΔABC中，已知ΔABC的三個內(nèi)角為A,B,C，其對應(yīng)的三邊為a,b,c，且A=60°，a=2(即已知三角形一角及其對邊)，則根據(jù)三角形的邊角關(guān)系就可得到以下三個隱含的解題條件：

其中R為ΔABC外接圓的半徑(實現(xiàn)了邊角的相互轉(zhuǎn)換).

以上三個隱含的解題條件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其對邊”的本質(zhì)就是：角的關(guān)系(內(nèi)角和定理)、邊角的關(guān)系(正余弦定理)，掌握住這個本質(zhì)就可解決多種不同類型的問題，進而得到解決此類問題的系統(tǒng)方法.比如，在上述條件下可求：

(1)B+C；

(2)ΔABC外接圓的半徑；

(3)sinB+sinC的取值范圍(擴展到求t1sinB+t2sinC(t1t20)的最值)；

(4)b+c的取值范圍(擴展到求λb+μc(λμ0)的最值)；

(5)ΔABC周長的最大值(即求a+b+c的最大值)；

(6)ΔABC面積的最大值.

結(jié)合“已知三角形一角及其對邊”的三個隱含條件可知以上6個問題的解答為：

(3)sinB+sinC=sinB+

轉(zhuǎn)化為問題(3)，最終得到b+c ∈(2,4].

(5)ΔABC的周長為a+b+c=2+b+c，轉(zhuǎn)化為問題(4)，可得周長的最大值為6；

(6)ΔABC的面積為結(jié)合隱含條件3○，即余弦定理可得：4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，故ΔABC的面積的最大值為

當(dāng)然，這里也可用邊轉(zhuǎn)角的方法來解決，即：

后略.

評析以上6個問題的求解過程，深刻的展現(xiàn)了解三角問題中已知一角及其對邊的處理方法，揭示了三角形中邊角之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系要靠正、余弦定理來實現(xiàn).該系統(tǒng)總結(jié)不僅強化了對解三角形中邊角關(guān)系的理解，而且求解過程中使用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)圖像求解范圍的方法更是提升了學(xué)生對三角函數(shù)模塊的掌握和使用，鍛煉了學(xué)生的整體思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力.

下面我們再以模型一的問題(4)為出發(fā)點，結(jié)合高考試題的考查方向和特點，繼續(xù)深入探究解三角形中已知一邊及其對角模型的一般方法.

例1如圖，在ΔABC中，已知ΔABC的三個內(nèi)角為A,B,C，其對應(yīng)的三邊為a,b,c，且A=60°，a=2，求b+c的取值范圍.

通法由題意知：故有b=2RsinB，c=2RsinC(實現(xiàn)了邊的問題向角問題轉(zhuǎn)化，使用正弦定理)，所以，

(轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.)由于B+C=120°，故

巧法由余弦定理知：4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，由不等式知：

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，故得到b+c≤4，又由三角不等式知b+c＞a=2，綜上可得：b+c ∈(2,4].

評析顯然，巧法利用不等式放縮快速解決了問題，咋一看非常完美實用，但如果我們稍加改變問題中的條件或結(jié)果，那么巧法將黯然失色，看下面三個變式.

變式1在ΔABC中，已知ΔABC的三個內(nèi)角為A,B,C，其對應(yīng)的三邊為a,b,c，且A=60°，a=2，求2b+c的取值范圍.

變式2在銳角ΔABC中，已知ΔABC的三個內(nèi)角為A,B,C，其對應(yīng)的三邊為a,b,c，且A=60°，a=2，求b+c的取值范圍.

變式3在ΔABC中，已知ΔABC的三個內(nèi)角為A,B,C，其對應(yīng)的三邊為a,b,c，且A=60°，a=2，求λb+μc(λμ0)的取值范圍.

評析三個變式中，變式1條件不變，結(jié)論變?yōu)榍蠼?b+c的范圍，這是放縮法無法求解的.變式2條件加了“銳角”二字，就會使得b+c的取值范圍中的下限發(fā)生變化，變?yōu)槎辉偈?，這樣巧法求出的結(jié)果就會出錯.但在通法的求解模式下，變式1、2均可順利無誤求解出正確結(jié)果，這無疑說明了掌握解決數(shù)學(xué)問題的通性通法的重要性，它可以直達數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變.變式3是對整個模型問題的一般化總結(jié)，即“在已知三角形一角及其對邊的條件下，求剩余兩邊的線性組合的取值范圍”，這樣將整個問題提高到了一般化的程度，提升了對解三角形問題的系統(tǒng)認知.不難發(fā)現(xiàn)，在模型一的體系下，問題(2)-(6)均可用邊轉(zhuǎn)角這一通法求解.

值得關(guān)注的是2012年全國課標(biāo)卷文理科第17題、2010年全國課標(biāo)卷理科第16題、2014年全國課標(biāo)卷I理科第16題、2013年全國課標(biāo)卷理科第18題、2016年全國課標(biāo)卷I理科第18題、2017年全國課標(biāo)卷I理科第18題都在考查解三角形中“已知一角及其對邊”的模型，而且均在模型一的問題(1)-(6)中進行考查.如果我們一線教師在教學(xué)中結(jié)合以上經(jīng)驗，帶領(lǐng)學(xué)生深入探究思考，在解三角形模型一的基礎(chǔ)上提出問題：將模型一中的“已知一角及其對邊”更改為“已知一角及其一條鄰邊”，會出現(xiàn)什么樣的新問題呢? 2019年高考全國新課標(biāo)卷Ⅲ文理科的第18題就給了我們答案!

模型二 已知三角形的一角及其一條鄰邊

例2(2019年高考全國卷Ⅲ文理科第18題)ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知bsinA.

(1)求B；

(2)若ΔABC為銳角三角形，且c=1，求ΔABC面積的取值范圍.

解(1)根據(jù)題意由正弦定理得因為0＜A＜π，故sinA＞0，消去sinA得

由于0＜B＜π，0故或者而根據(jù)題意A+B+C=π，故不成立，所以又因為A+B+C=π，代入得3B=π，所以

(2)已知“三角形一角及一條鄰邊”的條件下求解面積的取值范圍，這是區(qū)別于以往高考試題中的解三角形模型一的一個新的模型，結(jié)合三角形面積公式有：這里就產(chǎn)生了兩種求解思路：一是將邊轉(zhuǎn)化為角；二是求出邊a的取值范圍.

方向1受到模型一的啟發(fā)，將邊的表達式轉(zhuǎn)化為角的表達式，即

實現(xiàn)了結(jié)論由邊向角轉(zhuǎn)化，但已知一角及其鄰邊的條件下是無法計算出外接圓的半徑R的，故此法不能解決問題.

采用技巧，根據(jù)c=1，則可構(gòu)造出

的結(jié)構(gòu)，這樣利用正弦定理就有

法一如圖，因為ΔABC是銳角三角形，由(1)知由A+B+C=π得到故解得由三角形面積公式有：

方向2由問題轉(zhuǎn)化為是否能求出邊的取值范圍，考慮余弦定理求解.

法二因為ΔABC是銳角三角形，由(1)知由A+B+C=π得到故解得同理，由三角形面積公式有此時求出邊長a的取值范圍即可解決問題，據(jù)余弦定理有：

事實上，求出邊a的取值范圍是容易想到的，但實施起來由于“銳角”的控制以及計算的難度，導(dǎo)致此種解法困難較大.該題對于2019年高考的考生來說“題號”和“難度”并不匹配.

類比模型一提出的6個問題，我們可以對模型二中高考題的第(2)問進行深入探究拓展，也可以提出以下幾個問題.

變式拓展

分析注意到ΔABC中，c=1，B=60°，結(jié)合余弦定理知：b2=a2-a+1，則：

三個變式結(jié)論都轉(zhuǎn)化為了邊a的表達式，故必須求出邊

a的取值范圍(即＜a＜2)，此時法二中使用余弦定理的思路就非常有效了.限于篇幅，讀者可嘗試解決以上拓展問題.

可以想象，2020年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷中解三角形問題仍然將會是“寵兒”，望以上的論述能夠給予備考的教師和學(xué)生一些幫助!