最值中的定值問題*

北京市第十二中學(xué)高中部

1.試題

題目(2020年1月南京市、鹽城市高三第一次?？?設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率是e，動點P(x0,y0)在橢圓C上運動，當(dāng)PF2⊥x軸時，x0=1，y0=e.

(1)求橢圓C的方程；

(2)延長PF1，PF2分別交橢圓C于點A，B(A,B不重合)，設(shè)求λ+μ的最小值.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、向量的坐標(biāo)運算以及最值問題，考查了數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查了坐標(biāo)法的應(yīng)用以及分析問題與解決問題的能力.試題解法多樣，內(nèi)涵豐富，符合新課標(biāo)理念.第(1)問求得橢圓C的方程為下面重點談一下第(2)問的解法以及所蘊含的定值問題.

2.解法探究

解法1設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)問得F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0).設(shè)直線PA的方程為x=ty-1，與聯(lián)立，得(t2+2)y2-2ty-1=0，所以因為所以(-1-x1,-y1)=λ(x0+1,y0)，即y1=-λy0，于是因為點P既在直線PA上，又在橢圓C上，所以x0=即ty0=x0+1，x02+2y02=2，于是同理，由得所以因為0≤x02＜2，所以當(dāng)x0=0時，有最小值為故λ+μ的最小值為

解法2設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)問得F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0).因為所以(-1-x1,-y1)=λ(x0+1,y0)，于是x1=-(λx0+λ+1)，y1=-λy0.因為點A在橢圓C上，所以所以1，即

因為點P在橢圓C上，所以代入，得整理得2λ(λ+1)x0=-(3λ-1)(λ+1).由已知得λ-1，所以2λx0=1-3λ，解得同理，由得以下同解法1.

點評解法1，2都是把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，然后借助點P的坐標(biāo)表示出λ+μ，最后根據(jù)平方數(shù)非負(fù)求得最值.不同的是解法1 聯(lián)立直線PA、PB與橢圓的方程，借助韋達(dá)定理化簡；解法2 根據(jù)點A、P在橢圓上，把它們的坐標(biāo)代入橢圓方程處理，兩種方法殊途同歸，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.

解法3以F1為極點，射線F1O為極軸建立極坐標(biāo)系，由(1)問可得焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離p=1，所以橢圓C的極坐標(biāo)方程為

設(shè)P(ρ1,θ)(0＜θ＜π)，A(ρ2,θ+π)，則

點評由于PA、PB為焦點弦，所以解法3 借助橢圓的極坐標(biāo)方程及定義處理，最后運用均值不等式求得最值，體現(xiàn)了創(chuàng)新性.

3.題目中的定值及推廣

性質(zhì)1已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，動點P在橢圓C上運動，延長PF1，PF2分別交橢圓C于點A，B(A，B不重合)，設(shè)則λ+μ為定值6.

如果將橢圓一般化，其他條件不變，那么λ+μ為何值呢?經(jīng)過探究，有：

性質(zhì)2已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，動點P在橢圓C上運動，延長PF1，PF2分別交橢圓C于點A，B(A，B不重合)，設(shè)則λ+μ為定值

證明設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0).設(shè)直線PA的方程為x=ty-c，與聯(lián)立，得(b2t2+a2)y2-2ctb2y-b4=0，所以因為所以(-c-x0,-y0)=λ(x1+c,y1)，即y0=-λy1，于是

因為點P既在直線PA上，又在橢圓C上，所以x0=ty0-c，即于是

如果把兩個焦點變?yōu)殛P(guān)于原點對稱的兩個定點，也有相應(yīng)的定值性質(zhì).

性質(zhì)3已知動點P在橢圓上運動，定點M(-m,0)，N(m,0)(m＞0且ma)，直線PM，PN分別交橢圓C于另一點A，B(A，B不重合)，設(shè)則λ+μ為定值

證明設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線PA的方程為x=ty-m，與聯(lián)立，得(b2t2+a2)y2-2tmb2y+b2m2-a2b2=0,所以因為所以(-m-x0,-y0)=λ(x1+m,y1)，即y0=-λy1，于是

因為點P既在直線PA上，又在橢圓C上，所以x0=ty0-即于是

注當(dāng)m=c時，

這是性質(zhì)2的結(jié)論，所以性質(zhì)2是性質(zhì)3的特殊情況.

由橢圓類比圓、雙曲線、拋物線，有下面的結(jié)論.

性質(zhì)4已知動點P在圓O:x2+y2=R2(R＞0)上運動，定點M(-m,0)，N(m,0)(m＞0且mR)，直線PM，PN分別交圓O于另一點A，B(A,B不重合)，設(shè)則λ+μ為定值

性質(zhì)5已知動點P在雙曲線0,b＞0)上運動，定點M(-m,0)，N(m,0)(m＞0且ma)，直線PM，PN分別交雙曲線C于另一點A，B(A，B不重合)，設(shè)則λ+μ為定值

性質(zhì)6已知動點P在拋物線C:y2=2px(p＞0)上運動，定點M，N關(guān)于原點O對稱，直線PM，PN分別交拋物線C于另一點A，B，設(shè)則λ+μ為定值0.

證明設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(-m,0)，則N(m,0).設(shè)直線PA的方程為x=ty-m，與y2=2px聯(lián)立，得y2-2pty+2pm=0，所以y1y0=2pm.因為所以(-m-x0,-y0)=λ(x1+m,y1)，即y0=-λy1，于是.同理，由得所以λ+μ=0，故結(jié)論得證.