數(shù)學(xué)課堂：如何促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

朱紅偉

摘要：在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（尤其是數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等的教學(xué)）中促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，更多地要重視學(xué)生的積極參與、基于理解、主動(dòng)建構(gòu)、有意義的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。具體地，可以采用如下策略：激發(fā)認(rèn)知沖突，促進(jìn)積極參與;利用先行組織者，促進(jìn)自主構(gòu)建;通過易錯(cuò)辨析，促進(jìn)深刻理解;采取梯度設(shè)計(jì)，幫助發(fā)現(xiàn)規(guī)律;引導(dǎo)理性論證，促使“知其所以然”。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)教學(xué) 認(rèn)知沖突 先行組織者 梯度設(shè)計(jì)

北京師范大學(xué)郭華教授指出：“深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。”而西北師范大學(xué)安富海教授認(rèn)為：“深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)，是指學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問題的解決為目標(biāo)，以整合的知識(shí)為內(nèi)容，積極主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)和思想，并將它們?nèi)谌朐姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，且能將已有知識(shí)遷移到新的情境中的一種學(xué)習(xí)。”可見，深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)積極參與、基于理解、主動(dòng)建構(gòu)，更多地屬于奧蘇伯爾所說的有意義的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。當(dāng)然，深度學(xué)習(xí)還強(qiáng)調(diào)挑戰(zhàn)性與成功的平衡（暗合積極心理學(xué)中的心流理論）、高階思維的發(fā)展、實(shí)際問題的解決和學(xué)習(xí)的遷移。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（尤其是數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等的教學(xué)）中，如何促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)？筆者認(rèn)為，既不是放手讓學(xué)生自學(xué)，也不是刻意地追求學(xué)習(xí)的難度，更多地要重視學(xué)生的積極參與、基于理解、主動(dòng)建構(gòu)、有意義的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。具體地，可以采用如下策略：

一、激發(fā)認(rèn)知沖突，促進(jìn)積極參與

要讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到所學(xué)內(nèi)容的價(jià)值，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)需求。為此，最有效的手段之一是激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感覺到如果不學(xué)習(xí)某個(gè)內(nèi)容，客觀存在的一些問題（需求）就無法解決（得到滿足）。而要激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，必須了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

例如，教學(xué)“小數(shù)除法”時(shí)，可以出示“5千克香蕉總價(jià)12元，1千克香蕉單價(jià)多少元？”的現(xiàn)實(shí)問題。學(xué)生對(duì)“12÷5”這個(gè)整數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算并不陌生，根據(jù)以前學(xué)過的“有余數(shù)的除法”，很容易得到“商是2，余數(shù)是2”的結(jié)果。但是，學(xué)生馬上會(huì)發(fā)現(xiàn)，這一結(jié)果無法解決“香蕉的單價(jià)”這一實(shí)際問題，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，積極地想知道如何繼續(xù)除下去。由此便自然地引出把2元轉(zhuǎn)化為20角，即把2轉(zhuǎn)化為2.0，再除以5的小數(shù)除法。

再如，教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，教師給每位學(xué)生一張方格紙，其中一位學(xué)生拿到的方格紙沒有圖案，而其他學(xué)生拿到的方格紙?jiān)谙嗤恢玫囊桓裰挟嬛粔K奶酪。然后，教師請(qǐng)拿到?jīng)]有圖案的方格紙的學(xué)生上臺(tái)，在其他學(xué)生的語言提示下，玩“小老鼠找奶酪”的游戲。臺(tái)下學(xué)生的描述各不相同：“在第4行第4列?！薄皬纳贤聰?shù)在第4條線和第5條線之間，從左往右數(shù)也在第4條線和第5條線之間?！薄皬南峦蠑?shù)第7格，從右往左數(shù)第5格。”……臺(tái)上的學(xué)生想聽明白，卻總是有些糊涂。就在這樣的認(rèn)知沖突中，學(xué)生積極地想知道“哪一種說法一定能找到奶酪的位置”。進(jìn)而通過討論，學(xué)生逐漸明晰，要說從哪里到哪里，即方向，還要說清數(shù)幾格，即距離，而且，統(tǒng)一說法也非常重要。由此便自然地引出“何為列，何為行”“列從左往右數(shù)，行從前往后數(shù)”“先確定第幾列，再確定第幾行”這些基于笛卡兒坐標(biāo)系的用數(shù)對(duì)表示位置的人為規(guī)定。

二、利用先行組織者，促進(jìn)自主構(gòu)建

“先行組織者”概念是美國著名的教育心理學(xué)家奧蘇伯爾提出的。奧蘇伯爾認(rèn)為：促進(jìn)學(xué)習(xí)和防止干擾的最有效策略，是利用適當(dāng)相關(guān)的、包攝性較廣的、最清晰和最穩(wěn)定的引導(dǎo)性材料，這種引導(dǎo)性材料即為“組織者”。組織者一般在教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)之前加以介紹，目的在于確立有意義學(xué)習(xí)的心向，所以又叫作“先行組織者”。先行組織者教學(xué)策略建立了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，能幫助學(xué)生從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)加工新的知識(shí)，融入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu);通過新舊知識(shí)的整合作用，增加了知識(shí)的識(shí)別度，有效避免了學(xué)生的機(jī)械記憶，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，促進(jìn)了學(xué)生的有意義學(xué)習(xí)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的先行組織者主要有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、生活實(shí)例等類比對(duì)象。教師可以利用它們幫助學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)形成的過程，自主建構(gòu)知識(shí)。

例如，教學(xué)“有余數(shù)的除法”時(shí)，教師首先讓學(xué)生分小棒，逐步理解：15根小棒，每3根一份，可以分成5份，得到算式15÷3=5;16根小棒，每3根一份，可以分成5份，還余1根，得到算式16÷3=5……1;17根小棒，每3根一份，可以分成5份，還余2根，得到算式17÷3=5……2;18根小棒，每3根一份，可以分成6份，得到算式18÷3=6。然后，及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥：余數(shù)等于除數(shù)時(shí)，還可以再分一份。接著，讓學(xué)生通過更多的分小棒操作，得到更多的算式，進(jìn)而在比較中發(fā)現(xiàn)“在有余數(shù)的除法算式中，余數(shù)都比除數(shù)小”的結(jié)論。

這里，分小棒的直觀操作很好地起到了先行組織者的作用，幫助學(xué)生彌補(bǔ)了抽象推理能力的不足，更容易自主建構(gòu)有余數(shù)的除法的算理。

再如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)方程”時(shí)，教師出示圖1，讓學(xué)生觀察、思考，說出自己的發(fā)現(xiàn)。有學(xué)生說：“天平的指針在中間，天平平衡，說明天平兩邊的物體一樣重?！苯處燀槃?shì)引導(dǎo)：“天平平衡，說明兩邊的質(zhì)量相等，它們是等量關(guān)系?！庇袑W(xué)生說：“也就是天平左邊一顆櫻桃加上5克砝碼的質(zhì)量等于右邊10克砝碼的質(zhì)量?！币灿袑W(xué)生說：“也可以用一個(gè)式子來表示：一顆櫻桃的質(zhì)量+5克=10克。”教師繼續(xù)引導(dǎo)：“你們說的都很有道理。確實(shí)，一顆櫻桃的質(zhì)量不知道，但是，直接這樣寫很麻煩，如果我們用字母x來表示一顆櫻桃的質(zhì)量，那么，剛才同學(xué)所說的等量關(guān)系還可以怎樣表示？”學(xué)生寫出“x+5=10”。教師組織學(xué)生交流算式表示的意思，然后總結(jié)：“當(dāng)兩個(gè)式子相等，即具有等量關(guān)系時(shí)，我們通?？梢杂玫仁奖硎尽！?/p>

接著，教師出示圖2、圖3，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的等量關(guān)系，然后用4×x=380或4×y=380，2a+200=2000、2000-2a=200或2000-200=2a等簡潔的方式表示。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流：“這些式子是怎么得來的？它們有什么共同特點(diǎn)？”從而歸納出：等量關(guān)系可以用等式來表示，像這樣含有未知數(shù)的等式叫方程。

這里，天平等生活實(shí)例很好地起到了先行組織者的作用，幫助學(xué)生從具體的等量關(guān)系到抽象的符號(hào)表達(dá)，更容易自主建構(gòu)方程的意義，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的重要模型。

三、通過易錯(cuò)辨析，促進(jìn)深刻理解

相關(guān)或相似的先行組織者，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)。但是，這樣獲得的知識(shí)，學(xué)生往往還不能深刻理解。要促進(jìn)學(xué)生的深刻理解，可以提供一些“非標(biāo)準(zhǔn)”的變式，讓學(xué)生進(jìn)行易錯(cuò)辨析，強(qiáng)化對(duì)關(guān)鍵詞句含義的認(rèn)識(shí)。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生知道平均分一個(gè)物體，其中的一份可以用二分之一表示之后，教師可以具體呈現(xiàn)一些部分涂色的圖形，讓學(xué)生判斷其涂色部分能不能用二分之一表示，強(qiáng)化對(duì)分?jǐn)?shù)概念中“平均分”的認(rèn)識(shí)。然后，提出一個(gè)模糊寬泛的情況，讓學(xué)生判斷結(jié)論：把一張長方形紙分成兩份，每一份一定是它的二分之一。這時(shí)，學(xué)生很容易因?yàn)榫唧w圖形的思維定式產(chǎn)生錯(cuò)誤的判斷，認(rèn)為一定是二分之一。而教師可以將一張長方形紙隨意地折成兩份，提問：這也是分成兩份，這一份是二分之一嗎？為什么不是？我們判斷是不是二分之一的依據(jù)是什么？怎么分成兩份，使其中一份一定是二分之一？這樣的易錯(cuò)辨析，可以讓學(xué)生從反面思考分?jǐn)?shù)概念的關(guān)鍵內(nèi)涵，加深對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。

四、采取梯度設(shè)計(jì)，幫助發(fā)現(xiàn)規(guī)律

有些數(shù)學(xué)規(guī)律比較隱蔽，對(duì)它們進(jìn)行發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)本身就是具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。對(duì)此，教師要進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)，通過層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)（探究問題），引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程，從而充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律，感悟思想方法。

例如，教學(xué)“能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)特征”時(shí)，教師提出問題：“有的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)，有的分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)，這里面有沒有什么規(guī)律？”學(xué)生一時(shí)不知從何入手。

于是，教師先讓學(xué)生嘗試將分?jǐn)?shù)13、23、14、24、34化成小數(shù)，并根據(jù)嘗試的結(jié)果，猜一猜一個(gè)分?jǐn)?shù)能不能化成有限小數(shù)的規(guī)律在分子中還是在分母中。學(xué)生嘗試后，一致認(rèn)為規(guī)律在分母中。教師順勢(shì)提問：“能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)的分母有什么特征？”根據(jù)剛才的嘗試，學(xué)生猜測(cè)：分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)，而分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)都不能化成有限小數(shù)。

對(duì)此，教師沒有表態(tài)，而是再讓學(xué)生嘗試將分?jǐn)?shù)15、45、16、56化成小數(shù)。學(xué)生嘗試后，發(fā)現(xiàn)并非所有分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)，也不是所有分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)都不能化成有限小數(shù)。這再次激發(fā)了學(xué)生的求知欲。

這時(shí)，教師又讓學(xué)生嘗試將分?jǐn)?shù)58、310、1720、625化成小數(shù)，并思考這些分?jǐn)?shù)的分母有什么共同點(diǎn)。學(xué)生嘗試后，發(fā)現(xiàn)它們都能化成有限小數(shù)，但是找不到它們分母的共同點(diǎn)。教師進(jìn)一步引導(dǎo)：“奇數(shù)、偶數(shù)是和一個(gè)數(shù)的什么有關(guān)的特征？”學(xué)生交流后，得到：“和一個(gè)數(shù)能不能被2整除有關(guān)?！苯處熢僖龑?dǎo)：“能不能被2整除，也就是有沒有2這個(gè)因數(shù)，那么，我們能不能從所含的因數(shù)這個(gè)角度來研究這些分?jǐn)?shù)的分母呢？”學(xué)生一下子找到了思維的突破口，發(fā)現(xiàn)了這些分?jǐn)?shù)分母的質(zhì)因數(shù)只有2和5，于是進(jìn)一步猜測(cè)：分母不含除了2和5以外的其他質(zhì)因數(shù)的分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)。

正當(dāng)學(xué)生心滿意足之際，教師接著讓學(xué)生嘗試將分?jǐn)?shù)315、624化成小數(shù)，又激發(fā)了矛盾：為什么分母含有除了2和5以外的其他質(zhì)因數(shù)的分?jǐn)?shù)也能化成有限小數(shù)呢？通過觀察分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)后，它們的分母也只含有2和5這兩種質(zhì)因數(shù)。由此，學(xué)生認(rèn)識(shí)到之前的猜想還得補(bǔ)充一個(gè)前提：這個(gè)分?jǐn)?shù)是最簡分?jǐn)?shù)。

這里，教師把“能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)特征”的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)成一個(gè)個(gè)富有梯度的探究問題，讓學(xué)生在一次次嘗試、猜想、驗(yàn)證、反駁中，一步步逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，同時(shí)感悟其中的思想方法。

五、引導(dǎo)理性論證，促使“知其所以然”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要“知其然”，而且要“知其所以然”，才是有深度的。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多地通過歸納等合情推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律，同時(shí)也“知其所以然”。然而，這樣的“所以然”不是真正可靠的“所以然”，缺少數(shù)學(xué)的理性。對(duì)于有些數(shù)學(xué)規(guī)律，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)硇哉撟C，從而真正地“知其所以然”。

例如，教學(xué)“十位相同，個(gè)位上的數(shù)相加是十”的乘法的計(jì)算規(guī)律時(shí)，學(xué)生通過多次嘗試具體計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律：兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位數(shù)，十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位前面數(shù)位上的數(shù)。學(xué)生通過再次舉例驗(yàn)證，也不難認(rèn)同這一規(guī)律的普遍適用。如果教學(xué)到此為止，似乎學(xué)生也能掌握計(jì)算規(guī)律，并能運(yùn)用計(jì)算規(guī)律解決問題。

但是，此時(shí)，學(xué)生還是停留在“知其然”的層面，沒有真正地“知其所以然”。所以，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考為什么會(huì)有這一規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

當(dāng)然，這一規(guī)律的嚴(yán)格論證需要用到多項(xiàng)式乘法這一代數(shù)知識(shí)，小學(xué)生很難理解，更無法想到。因此，考慮到小學(xué)生的認(rèn)知能力與思維特征，可以結(jié)合具體例子，利用數(shù)形轉(zhuǎn)化，將乘法計(jì)算用圖形面積表示，來幫助學(xué)生思考和理解。

教師首先提問：為什么兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位數(shù)，十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位前面數(shù)位上的數(shù)？然后出示圖4，并提問：有一個(gè)特別會(huì)思考的學(xué)生在計(jì)算22×28時(shí)，畫了幾幅圖，你能從中找到理由嗎？通過圖4，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：這個(gè)乘法的結(jié)果可以分成“十位乘十位”“個(gè)位乘十位”“十位乘個(gè)位”“個(gè)位乘個(gè)位”四個(gè)部分[對(duì)應(yīng)圖4中左側(cè)四個(gè)長（正）方形的面積]——把“個(gè)位乘十位”的2×20與“十位乘個(gè)位”的20×8合起來，就是20×10;再與“十位乘十位”的20×20合起來，就是30×20，結(jié)果是600，把6寫在末兩位前面（即百位）;“個(gè)位乘個(gè)位”是2×8，結(jié)果是16，把16寫在末兩位（即十位和個(gè)位）;合起來得到結(jié)果616。由此，學(xué)生不難感悟這一規(guī)律的一般原因，即深層次的算理。

在此基礎(chǔ)上，教師可以通過課件動(dòng)態(tài)演示圖4中剪、移、拼的過程;再提供方格紙，讓學(xué)生通過剪、移、拼計(jì)算34×36，并說說為什么4×6的積就是計(jì)算結(jié)果的后兩位，3×（3+1）的積就是計(jì)算結(jié)果的前幾位，從而深化對(duì)算理的認(rèn)識(shí)。