小學(xué)“負(fù)數(shù)”的本體性知識解讀與啟示

金云成

摘 要：概念本體性知識的解讀，不僅可以幫助我們理解該知識在學(xué)科邏輯體系中的地位和作用，把握其與前后知識之間的聯(lián)系，還能幫助了解該知識發(fā)生、發(fā)展的歷史過程，有助于我們更好地理解所教知識是如何以及為何會成為如今的面貌，從而為設(shè)計與實施自然流暢、清新易懂的教學(xué)過程奠定扎實基礎(chǔ)。本文通過對“負(fù)數(shù)”這一概念的本體性知識解讀，談?wù)勥@些知識給我們的教學(xué)帶來的啟示和思考。

關(guān)鍵詞：負(fù)數(shù);本體性知識;啟示

自1986年課程改革以來，我國小學(xué)數(shù)學(xué)一直在非負(fù)數(shù)的范圍內(nèi)展開四則運算的教與學(xué)，2001年實施的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》將負(fù)數(shù)的部分內(nèi)容放到第二學(xué)段。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，如果在上“負(fù)數(shù)”這節(jié)課之前，對與之有關(guān)的本體性知識有所了解甚至熟悉，那么一定有利于對概念的本質(zhì)屬性的把握，在設(shè)計這節(jié)課時可以做到“居高臨下”、心中有數(shù)，從而避免在教學(xué)時出現(xiàn)科學(xué)性、知識性的錯誤。

一、 “負(fù)數(shù)”的本體性知識解讀

（一）什么是負(fù)數(shù)

1. 表示與正數(shù)相反意義的量

這一定義是我國魏晉時期的大數(shù)學(xué)家劉徽（225年～295年）于公元263年在《九章算術(shù)注》中提出的。劉徽在注釋“正負(fù)術(shù)”時，一開始就給正數(shù)和負(fù)數(shù)下了定義，他明確指出：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑。否則以邪正為異。”當(dāng)兩數(shù)在運算中引起增加和減少兩種相反結(jié)果時，要用“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”對這兩種數(shù)分別命名，以示區(qū)別。

2. 負(fù)數(shù)是比零小的數(shù)

這個定義是德國數(shù)學(xué)家米哈依爾·史提非（約1486年～1567年），在他于1544年發(fā)表的數(shù)學(xué)論文《整數(shù)算術(shù)》中提出的。負(fù)數(shù)在被減數(shù)小于減數(shù)時出現(xiàn)，它所表示的是減數(shù)把被減數(shù)減完之后又繼續(xù)往下減的結(jié)果。

（二）負(fù)數(shù)的產(chǎn)生

1. 人類生產(chǎn)發(fā)展和社會進(jìn)步的需要

在日常生活中，有些情況僅靠自然數(shù)來表示量是不夠的。因為有些量可能會有兩種相反的趨勢、兩個相反的方向。例如，僅僅說溫度是23℃是不準(zhǔn)確的，還必須說明是在冰點以上還是在冰點以下。為了表征這些相反的趨勢、相反意義的量，要將有關(guān)的量加上符號，這樣也就有了正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種表示意義相反的量的數(shù)，例如，+23℃和-23℃。

2. 數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要

數(shù)系的擴(kuò)張要遵循因襲原理，即在原有數(shù)系基礎(chǔ)上，通過引進(jìn)新的符號（數(shù)），擴(kuò)充成一個新的、內(nèi)容更豐富的結(jié)構(gòu)（數(shù)系），使得“老”數(shù)系是“新”數(shù)系的真子集，即“老”的數(shù)是所有新數(shù)系的一部分，而且在原來數(shù)系中成立的運算規(guī)則，和更大范圍內(nèi)的數(shù)系中的運算規(guī)則保持一致，結(jié)果相同。自然數(shù)到整數(shù)的擴(kuò)展亦是如此。我們知道，在自然數(shù)內(nèi)總能進(jìn)行加法和乘法的運算，但是，加法的逆運算減法并不總是可進(jìn)行的。對于自然數(shù)a和b，只有當(dāng)a≥b時，才能使a-b成立或方程b+x=a有解。于是，通過引進(jìn)符號-1，-2，-3，…，并對于a≤b情況，定義a-b=-（b-a），從而消除了這個限制。這個擴(kuò)充的過程，即包括自然數(shù)，又包括新引進(jìn)的符號-1，-2，-3，…，二者共同構(gòu)成稱之為整數(shù)的新集合，必須規(guī)定它們的運算，使得自然數(shù)作為整數(shù)運算時，能和原來的自然數(shù)運算規(guī)則保持一致，結(jié)果相同。簡單地說，從自然數(shù)半群出發(fā)為了使加法的逆運算減法總能夠進(jìn)行，添加負(fù)元素是必需的，于是就構(gòu)成了整數(shù)環(huán)，這是數(shù)學(xué)內(nèi)部的動因。

二、 “負(fù)數(shù)”的本體性知識對教學(xué)的啟示

作為一線教師，我們弄清有關(guān)“負(fù)數(shù)”的本體性知識，主要是為了明確“負(fù)數(shù)”概念的含義，明確概念的本質(zhì)屬性，以便教學(xué)時能更確切地陳述數(shù)學(xué)語言。同時，對于學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的各種表達(dá)，能夠比較好地組織與引入，更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解。那么，上述這些本體性知識的解讀究竟給我們帶來了哪些啟示呢？

（一）如何正確把握負(fù)數(shù)概念的本質(zhì)？

從負(fù)數(shù)的本體性知識看，由于負(fù)數(shù)產(chǎn)生的雙重原因使負(fù)數(shù)的含義至少包括兩個方面：一是表示與正數(shù)相反意義的量，如收入1萬元記為“+1萬元”那么支出1萬元就記為“-1萬元”等;另一方面，一種新的數(shù)，也就是實現(xiàn)了數(shù)系的一次擴(kuò)張，可以滿足數(shù)學(xué)上的需要，保證了減法運算的封閉性。在前面的論述中，我們知道負(fù)數(shù)的概念屬于傳承性知識，這就決定了小學(xué)負(fù)數(shù)概念不是定義型層面的概念，而是擴(kuò)展型概念。而概念又是一種約定，約定的內(nèi)涵學(xué)生是不容易發(fā)現(xiàn)的，因此在教學(xué)時教師要重視展現(xiàn)負(fù)數(shù)概念的形成過程，深化負(fù)數(shù)意義的理解。

（二）如何將負(fù)數(shù)概念引入的課堂？

從負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史看，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生有雙重原因：既有人類生產(chǎn)發(fā)展和社會進(jìn)步的需要，又有數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。鑒于此，那我們的教學(xué)該從怎樣的角度將負(fù)數(shù)引入課堂？傳統(tǒng)的教學(xué)都是先呈現(xiàn)負(fù)數(shù)的生活原型，讓學(xué)生在觀察中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而引出負(fù)數(shù)的概念。在前面的論述中我們知道，生活需要只是產(chǎn)生負(fù)數(shù)的原因之一，這樣的教學(xué)顯然使學(xué)生對負(fù)數(shù)這一概念的理解具有片面性，可能在后續(xù)的學(xué)習(xí)中會使學(xué)生引起邏輯困難。因此，在教學(xué)中我們?yōu)閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)負(fù)數(shù)的生活原型的同時也應(yīng)加入負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)原型，讓學(xué)生對負(fù)數(shù)這一概念的理解更加豐滿，使其能更好地建立數(shù)感和正確認(rèn)識數(shù)系的擴(kuò)張，完善數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（三）如何設(shè)計教學(xué)活動開展教學(xué)？

負(fù)數(shù)的概念本身是一種約定，在教學(xué)時我們可以從學(xué)生已有的生活和知識經(jīng)驗中發(fā)掘“負(fù)數(shù)”的原型，為新知學(xué)習(xí)提供支點，這樣將有助于知識的同化與順應(yīng)，并要重視將新的概念放在知識的整體背景中加以思考，這樣才能更好地建立數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，更好地引導(dǎo)學(xué)生建立“負(fù)數(shù)”的概念。值得注意的是，在介紹負(fù)數(shù)概念名稱時要以教師啟發(fā)式講解點撥為主，通過教師點撥去誘導(dǎo)學(xué)生形成負(fù)數(shù)概念。此時如果以合作探究學(xué)習(xí)形式為主讓學(xué)生探究負(fù)數(shù)這個名稱，學(xué)生在連個歷史遵循都沒有的情況下，去探究這個千年形成的負(fù)數(shù)概念的名稱，是時間上的浪費。當(dāng)負(fù)數(shù)概念形成后，我們可以適當(dāng)安排合作交流方式，因為此時學(xué)生已有負(fù)數(shù)概念這個準(zhǔn)則為依托。

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