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    初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題探究

    2020-06-22 13:03:24丁力
    關(guān)鍵詞:幾何最值模型

    丁力

    [摘 ?要] 幾何最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的問(wèn)題類型,涉及眾多知識(shí)點(diǎn),問(wèn)題形式也較為多變. 該類問(wèn)題的求解需要把握常見(jiàn)的問(wèn)題模型,理解問(wèn)題本質(zhì),結(jié)合相關(guān)知識(shí)來(lái)合理轉(zhuǎn)化. 文章對(duì)幾何最值問(wèn)題加以探究,解讀基本模型,探究典型問(wèn)題,提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

    [關(guān)鍵詞] 幾何;最值;模型;將軍飲馬;線段和

    問(wèn)題背景

    從最值問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)看,其類型主要分為幾何與代數(shù)兩類,其中幾何最值更為常見(jiàn),也最具代表性,其中涉及角度、常見(jiàn)的幾何圖形、坐標(biāo)軸和拋物線等知識(shí)內(nèi)容,重點(diǎn)考查學(xué)生“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“線段平移”等知識(shí)點(diǎn). 學(xué)習(xí)時(shí)需要掌握常見(jiàn)的問(wèn)題原型,例如將軍飲馬和選址問(wèn)題等. 求解的總體思路是利用軸對(duì)稱特性來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的由“折”化“直”,從而可以利用幾何定理來(lái)確定最值情形.

    模型解讀

    幾何最值的問(wèn)題形式較為多變,但其中的基本幾何模型是固定的,模型如下.

    模型條件:如圖1所示,點(diǎn)A和B是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

    模型問(wèn)題:分析點(diǎn)P的位置,何時(shí)可使PA+PB的值最小.

    解題方法 作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),設(shè)為A′,連接A′B,與直線l的交點(diǎn)就為滿足條件時(shí)點(diǎn)P的位置,此時(shí)PA+PB=A′P+PB=A′B.

    方法解讀 由軸對(duì)稱特性可知PA=A′P,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求A′P+PB的最小值,其中涉及A′、P和B三點(diǎn),基于“兩點(diǎn)之間線段最短”原理可知:當(dāng)A′、P和B三點(diǎn)共線時(shí),A′P+PB取得最小值,從而實(shí)現(xiàn)了線段的化“折”為“直”.

    問(wèn)題探究

    幾何最值的問(wèn)題類型有多種,設(shè)問(wèn)形式也不相同,在實(shí)際求解時(shí)需要結(jié)合相應(yīng)的知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題,然后結(jié)合幾何基本模型求解,下面將對(duì)其中常見(jiàn)的三種最值問(wèn)題進(jìn)行探究.

    類型一:幾何中的線段和最值

    例1 如圖2所示,四邊形ABCD為正方形,△ABE為等邊三角形,點(diǎn)M是對(duì)角線BD(不與點(diǎn)B重合)上的一點(diǎn). 現(xiàn)將線段BM以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)B落在了點(diǎn)N處,連接EN、AM和CM,回答下列問(wèn)題.

    (1)求證:△AMB與△ENB全等.

    (2)①點(diǎn)M位于何位置時(shí),線段和AM+CM可取得最小值;

    ②點(diǎn)M位于何位置時(shí),線段和AM+BM+CM可取得最小值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    解析 (1)根據(jù)正方形和全等三角形的性質(zhì)即可獲得全等條件,過(guò)程略.

    (2)①點(diǎn)M位于對(duì)角線BD上,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”可知線段AC與BD的交點(diǎn)為M時(shí)就是最小值的情形,此時(shí)點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).

    ②求線段和的最小值,需要采用等線段轉(zhuǎn)化的方式,連接CE、MN,過(guò)點(diǎn)E作CB延長(zhǎng)線上的垂線,垂足為點(diǎn)F,如圖3. 由(1)問(wèn)可知△AMB?艿△ENB,則有AM=EN,∠MBN=60°,MB=NB,所以△BMN為等邊三角形,故BM=MN,則AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,當(dāng)點(diǎn)E、N、M和C四點(diǎn)共線時(shí),EN+MN+CM=EC,點(diǎn)M位于EC與BD的交點(diǎn)處,此時(shí)距離最短.

    評(píng)析 上述是關(guān)于幾何圖形的線段和最值,涉及三線、四點(diǎn),但求解的基本思路和原理是一致的,采用軸對(duì)稱變換的方式來(lái)化“折”為“直”,結(jié)合共線原理來(lái)確定最值情形. 幾何最值問(wèn)題實(shí)則就是幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,求解的過(guò)程可以視為化“動(dòng)”為“靜”,因此需要采用動(dòng)態(tài)的眼光來(lái)審視問(wèn)題,結(jié)合幾何定理來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)論證.

    類型二:幾何圖形的周長(zhǎng)最值

    例2 如圖4所示,在四邊形ABCD中,已知∠C=50°,∠B=∠D=90°,點(diǎn)E和F分別位于線段BC和DC上,試分析△AEF的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)∠EAF的度數(shù).

    解析 本題目屬于周長(zhǎng)最值問(wèn)題,求∠EAF的度數(shù)顯然需要首先確定△AEF周長(zhǎng)最小值時(shí)的情形. L△AEF=AE+AF+EF,顯然需要參照基本最值模型,通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)共線,確定最值情形. 過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M,以及關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,設(shè)與BC和CD的交點(diǎn)為E和F,此時(shí)點(diǎn)M、E、F、N四點(diǎn)共線,AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN,△AEF的周長(zhǎng)最小. 根據(jù)軸對(duì)稱特性可知∠M=∠BAE,∠N=∠DAF,在四邊形中∠BAD=130°,在△AMN中有∠M+∠N=50°,所以∠BAE+∠DAF=50°,則∠EAF=130°-50°=80°.

    評(píng)析 上述是關(guān)于幾何周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,結(jié)合周長(zhǎng)公式很容易將其轉(zhuǎn)化為線段和的最值,其特點(diǎn)在于涉及的線段、關(guān)鍵點(diǎn)更多,因此在實(shí)際分析時(shí)需要多次進(jìn)行軸對(duì)稱變換,但基本原理不變.

    類型三:拋物線背景下的線段最值

    (1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B,試求拋物線的解析式.

    (3)在(2)的情況下,若沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí),設(shè)拋物線與AC的另一交點(diǎn)為Q,取BC中點(diǎn)N,分析NP+BQ是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出該最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    解析 本題目的第(3)問(wèn)為拋物線背景下的線段和最小值問(wèn)題,可以參照將軍飲馬問(wèn)題的模型,解題的關(guān)鍵是確定圖中哪條直線為“河”,一般情況下以角平分線作為河. 作圖過(guò)程與基本模型相同,差異點(diǎn)主要集中在求解線段長(zhǎng)上,拋物線中可利用點(diǎn)坐標(biāo)的距離公式來(lái)求線段長(zhǎng).

    評(píng)析 上述是拋物線背景下的線段和最值問(wèn)題,拋物線是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,該內(nèi)容含有代數(shù)與幾何的雙重特性,該背景下的線段和最值問(wèn)題具有兩大特點(diǎn):一是計(jì)算線段長(zhǎng)需要結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo),二是確定模型中的對(duì)稱軸需要結(jié)合其中的角平分線. 而解題的總體思路是相一致的,通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)實(shí)現(xiàn)線段和的化“折”為“直”.

    思考建議

    求解幾何最值問(wèn)題的策略有很多,“將軍飲馬”問(wèn)題模型是最常用的方法策略,適用于單純的幾何線段和最值、幾何圖形的周長(zhǎng)最值以及拋物線背景下的線段最值. 解題時(shí)需要明晰模型破題的核心內(nèi)容——軸對(duì)稱線段等長(zhǎng)變換,上述呈現(xiàn)了三類問(wèn)題的求解思路和方法技巧,下面提出幾點(diǎn)學(xué)習(xí)建議.

    1. 關(guān)注問(wèn)題模型,掌握方法本質(zhì)

    本文的最值模型的解析過(guò)程中涉及了軸對(duì)稱變換和“兩點(diǎn)之間,線段最短”的共線定理,也是解決幾何線段和最值問(wèn)題的核心內(nèi)容. 學(xué)習(xí)該類問(wèn)題的解題策略就需要關(guān)注模型本質(zhì),了解解題思路的構(gòu)建方法,即通過(guò)軸對(duì)稱變換使同側(cè)線段轉(zhuǎn)換到參考線的兩側(cè),從而為后續(xù)的點(diǎn)共線、化“折”為“直”提供可能. 因此在探究經(jīng)典問(wèn)題時(shí)需要深入了解問(wèn)題模型,掌握解題原理,總結(jié)問(wèn)題特點(diǎn),強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí),提升解題靈活性.

    2. 強(qiáng)化推理能力,提升解題思維

    幾何最值問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題之一,在探究解決過(guò)程中需要通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題,利用共線定理來(lái)確定最值情形. 該過(guò)程需從動(dòng)態(tài)角度來(lái)加以分析,因此對(duì)學(xué)生的思維方式和能力有著較高的要求,在實(shí)際探究時(shí)需要注重分析推理,提升解題思維. 而在實(shí)際教學(xué)中,教師要有意識(shí)、有目的地通過(guò)變換問(wèn)題條件、重組問(wèn)題結(jié)構(gòu),引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)論證,親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建立、證明的過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

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