尾部風(fēng)險(xiǎn)視角下的投資組合優(yōu)化

周 亮

(1.湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 財(cái)政金融學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205；2.湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410081)

一、引言

馬科維茨的均值—方差模型(M-V模型)奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基石，但隨著風(fēng)險(xiǎn)定義的變化，導(dǎo)致了投資組合構(gòu)建問(wèn)題的不斷修正。Bertocchi等研究表明，通過(guò)經(jīng)典的均值—方差框架構(gòu)造的投資組合可能缺乏最優(yōu)性，未能正確識(shí)別出資產(chǎn)收益率的非正態(tài)分布對(duì)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生的影響[1]。金融資產(chǎn)收益率往往表現(xiàn)出尖峰厚尾及負(fù)偏的非正態(tài)分布特征，因此采用方差來(lái)對(duì)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行衡量并不完全準(zhǔn)確，Sortino和Price采用下行標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，并用其代替標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)經(jīng)典的夏普比率進(jìn)行修正，提出了Sortino比率，即用超額收益率除以下行標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益[2]。下行標(biāo)準(zhǔn)差僅將資產(chǎn)收益率下跌的部分看作風(fēng)險(xiǎn)，而收益率上行的部分不作為風(fēng)險(xiǎn)，更為符合人們的心理預(yù)期。隨后，Alexander和Baptista在Sortino比率的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，利用在險(xiǎn)價(jià)值(Value-at-Risk，VaR)對(duì)夏普比率進(jìn)行了再次修正[3]。VaR是由JP摩根公司在1994年提出的，在既定概率水平下，某投資組合在某段時(shí)間內(nèi)可能產(chǎn)生的最大損失，VaR簡(jiǎn)單明了，可以對(duì)金融資產(chǎn)的尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的度量，因此自提出以來(lái)在理論研究和金融監(jiān)管層面得到了極其廣泛的運(yùn)用[4-5]。

但是VaR不滿足凸性和次可加性，不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，即用VaR來(lái)作為風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)時(shí)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)不一定小于各項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)中的最大值，這不符合風(fēng)險(xiǎn)分散化的市場(chǎng)原理和經(jīng)濟(jì)意義。因此，Rockafeller和Uryasev提出了條件在險(xiǎn)價(jià)值(Conditional Value-at-Risk，CVaR)，指的是投資組合的損失超過(guò)某個(gè)給定VaR值的條件下，該投資組合的平均損失值[6]。CVaR可以對(duì)投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行更準(zhǔn)確的刻畫(huà)，且滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性和平移不變性，是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)[7]，因此CVaR在理論和實(shí)踐層面都得到了廣泛應(yīng)用[8]。很多學(xué)者通過(guò)用CVaR指標(biāo)代替標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)改進(jìn)馬科維茨的MV模型，或?qū)ο钠毡嚷蔬M(jìn)行改進(jìn)。如Alexander分析了衍生品投資組合構(gòu)建過(guò)程中的CVaR最小化模型投資績(jī)效[9]；Gao等比較了均值—CVaR模型與均值—下行波動(dòng)率模型在構(gòu)建投資組合時(shí)的績(jī)效表現(xiàn)差異[10]；康志林和李仲飛討論了大樣本或者大規(guī)模投資組合下均值—CVaR模型的最優(yōu)化求解方法[11]；黃金波等則使用CVaR替代了夏普比率中的標(biāo)準(zhǔn)差，構(gòu)造了用來(lái)測(cè)度基金業(yè)績(jī)的修正夏普比率[12]。本文在構(gòu)建尾部風(fēng)險(xiǎn)投資組合時(shí)，將利用CVaR構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)最小化模型，同時(shí)采用黃金波等構(gòu)造的修正夏普比率對(duì)組合績(jī)效進(jìn)行衡量。

除CVaR外，高階矩也是衡量尾部風(fēng)險(xiǎn)的常用指標(biāo)[13]，如當(dāng)資產(chǎn)收益率序列偏度更小及峰度更大時(shí)，說(shuō)明資產(chǎn)的尾部風(fēng)險(xiǎn)更高。Samuelson指出，在資產(chǎn)組合的隨機(jī)收益不服從正態(tài)分布或者投資者的效用函數(shù)不是二次函數(shù)的情況下，高階矩風(fēng)險(xiǎn)不能忽略不計(jì)[14]。一些學(xué)者開(kāi)始對(duì)高階矩組合投資問(wèn)題進(jìn)行了研究。Jondeau和Rockinger利用期望效用函數(shù)的Taylor展開(kāi)討論了非正態(tài)條件下的資產(chǎn)配置問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)偏度風(fēng)險(xiǎn)和峰度風(fēng)險(xiǎn)的存在對(duì)金融投資決策有顯著影響[15]；Lai等基于多項(xiàng)式目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)討論了四階矩的組合投資選擇問(wèn)題[16]。余婧用上下半方差的比值近似刻畫(huà)偏度，建立了均值—方差—偏度模型，并利用該模型對(duì)中國(guó)證券市場(chǎng)主要股票指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析后發(fā)現(xiàn)，考慮了收益率非對(duì)稱性的投資組合模型較傳統(tǒng)模型具有更優(yōu)的表現(xiàn)[17]。宋燕玲等構(gòu)建了均值—方差—偏度—正弦熵模型，并考慮了證券投資中的流動(dòng)性因素，建立了帶有模糊流動(dòng)性約束的M-V-S-L-SE模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該模型比傳統(tǒng)模型能夠獲得更高的累積收益率[18]。但是總體來(lái)看，采用高階矩構(gòu)造投資組合主要集中在偏度的應(yīng)用上，而峰度在許多實(shí)證中發(fā)現(xiàn)對(duì)組合績(jī)效的影響很小，因此本文將借鑒Rachev等使用的方法，采用在M-V模型中加入?yún)f(xié)偏度矩陣，構(gòu)造M-V-S模型，以在考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上對(duì)投資組合進(jìn)行優(yōu)化[19]。

相對(duì)于已有研究，本文的主要貢獻(xiàn)在于：一方面，在傳統(tǒng)M-V模型和最小化方差模型的基礎(chǔ)上，分別構(gòu)造了加入?yún)f(xié)偏度矩陣的M-V-S模型和CVaR最小化模型，以在優(yōu)化投資組合的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)的管理，同時(shí)利用中國(guó)股票、商品和債券等大類資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)對(duì)組合優(yōu)化模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，并且針對(duì)模型參數(shù)如偏度偏好系數(shù)、滾動(dòng)時(shí)間窗口等進(jìn)行了穩(wěn)健性檢驗(yàn)，驗(yàn)證了基于尾部風(fēng)險(xiǎn)的組合優(yōu)化模型在構(gòu)造投資組合時(shí)的有效性；另一方面，針對(duì)于夏普比率無(wú)法對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效衡量的問(wèn)題，本文借鑒其他學(xué)者的研究結(jié)論，采用CVaR指標(biāo)對(duì)夏普比率進(jìn)行了修正，修正后的夏普比率著眼于投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)投資組合績(jī)效更有效的刻畫(huà)。

二、研究設(shè)計(jì)

(一)CVaR最小化模型

對(duì)于金融資產(chǎn)或投資組合來(lái)說(shuō)，VaR指在特定持有期內(nèi)及一定置信水平下其面臨的最大可能損失，是度量尾部風(fēng)險(xiǎn)的有效指標(biāo)。但是由于VaR不滿足次可加性，不符合一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的要求，因此Rockafeller和Uryasev提出了一致性風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)CVaR(Conditional VaR)，彌補(bǔ)了VaR的不足。CVaR指在一定的置信水平β=100(1-α)%下，損失超過(guò)VaR的條件期望，公式如下：

CVaRβ(w)=E[f(w，l)|f(w，l)≥VaRβ(w)]

(1)

其中，f(w，l)為與組合投資權(quán)重w有關(guān)的損失函數(shù)，CVaR的值要大于VaR，是一個(gè)更為保守的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。如果考慮收益分布，則需要計(jì)算其左尾的條件期望，則：

CVaRβ(w)=E[f(w，l)|f(w，l)≤VaRα(w)]

(2)

Rockafeller利用CVaR對(duì)均值—方差模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了均值—CVaR模型[20]：

(3)

其中，w為資產(chǎn)權(quán)重向量，ωi為單個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重。但是，由于CVaR的定義中包含了VaR，均值—CVaR的求解過(guò)程較為困難，因此可以構(gòu)造輔助函數(shù)：

(4)

但是一般情況很難得到聯(lián)合密度函數(shù)p(r)，因此可采用蒙特卡羅模擬，通過(guò)實(shí)際觀測(cè)樣本r1，r2，…，rT，使用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)對(duì)Fα(w，γ)近似求解：

(5)

其中，T為樣本量。本文為了將CVaR最小化模型與最小化方差模型進(jìn)行比較，對(duì)模型(3)不設(shè)置收益率限制條件，即不加入條件w'μ=μ0，從而計(jì)算出全局最小化CVaR投資組合。

(二)M-V-S模型

金融資產(chǎn)收益往往不符合正態(tài)分布，而常是左偏(負(fù)偏)或高峰的，因此僅從一階和二階矩(均值和方差)出發(fā)，很難對(duì)金融時(shí)間序列進(jìn)行準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。負(fù)偏度的存在使得資產(chǎn)收益下降的可能性遠(yuǎn)大于上升的可能性，從而增加了尾部風(fēng)險(xiǎn)，因此本節(jié)借鑒Rachev等的研究思路，在均值—方差模型的基礎(chǔ)上加入對(duì)偏度的分析，從而使得模型能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)的管理[13]。

設(shè)有N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其收益向量為R=(R1，R2，…，RN)′，μ=E(R)=(E(R1)，E(R2)，…，E(RN))′為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益向量，則N個(gè)資產(chǎn)的協(xié)偏度矩陣S可以定義為：

S=E[(R-μ)(R-μ)′?(R-μ)′]

(6)

其中，?表示克羅內(nèi)克積，則投資組合收益的偏度可以由下式計(jì)算：

=w′S(w?w)

(7)

則加入偏度的均值—方差模型(M-V-S)可以表示為：

(8)

其中，δ為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)，為了保持模型結(jié)構(gòu)的一致性，本文中M-V模型和M-V-S模型均取值為4；λ為偏度偏好系數(shù)，本文設(shè)定為4，在穩(wěn)健性檢驗(yàn)中將對(duì)λ的不同取值進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)λ越高時(shí)，表明投資者越傾向于正偏的資產(chǎn)，投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)更低。

(三)投資組合績(jī)效評(píng)價(jià)指標(biāo)

常用來(lái)衡量投資組合績(jī)效的是夏普比率，表示單位風(fēng)險(xiǎn)下所能提供的超額收益率，計(jì)算公式為：

(9)

但是夏普比率以標(biāo)準(zhǔn)差作為投資組合風(fēng)險(xiǎn)的衡量指標(biāo)，假定資產(chǎn)收益率符合正態(tài)分布，沒(méi)有考慮資產(chǎn)收益率的尖峰厚尾及有偏等非正態(tài)分布特征。因此，Alexander和Baptista采用VaR指標(biāo)代替標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)SR指標(biāo)進(jìn)行了修正，計(jì)算公式為：

(10)

VaR雖然能夠反映高階矩信息，從而更符合金融資產(chǎn)收益率尖峰厚尾及有偏的特性，從而彌補(bǔ)了標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的缺陷，但是VaR不滿足次可加性，即用VaR度量的組合風(fēng)險(xiǎn)不一定小于單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)之和，從而違背風(fēng)險(xiǎn)分散化原理，不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量工具。因此，黃金波等采用CVaR替換夏普比率的標(biāo)準(zhǔn)差，同樣構(gòu)造了修正的SR指標(biāo)，計(jì)算公式為：

(11)

根據(jù)CVaR的性質(zhì)，SR-adj指標(biāo)具有規(guī)模不變性和隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性等特性，且能保證資產(chǎn)組合的SR-adj值大于所有單個(gè)資產(chǎn)SR-adj值中的最小值，因此用SR-adj在對(duì)投資組合尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析時(shí)，能夠更好的反映投資組合績(jī)效。因此本文將主要采用SR-adj指標(biāo)對(duì)投資組合的績(jī)效進(jìn)行評(píng)價(jià)，同時(shí)輔以SR指標(biāo)進(jìn)行分析。

三、實(shí)證檢驗(yàn)

(一)變量選取及數(shù)據(jù)預(yù)處理

為了驗(yàn)證CVaR和M-V-S模型的有效性，本文選取了滬深300、中證500、南華工業(yè)品、南華農(nóng)產(chǎn)品及5年期國(guó)債期貨五大類資產(chǎn)指數(shù)作為投資組合的基準(zhǔn)資產(chǎn)。其中滬深300和中證500指數(shù)分別代表大盤(pán)股票和小盤(pán)股票，南華工業(yè)品和南華農(nóng)產(chǎn)品代表商品類資產(chǎn)，債券類資產(chǎn)選擇了5年期國(guó)債期貨(1)由于中國(guó)企業(yè)債與國(guó)債走勢(shì)相關(guān)性極強(qiáng)(相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.95以上)，為了保證分析結(jié)果能夠在投資實(shí)踐中具有更強(qiáng)的可操作性(綜合性更強(qiáng)的債券指數(shù)很難使用高比率的杠桿)，選擇國(guó)債期貨作為債券類資產(chǎn)的代表；同時(shí)由于10年期國(guó)債期貨2015年才上市，數(shù)據(jù)量比5年期國(guó)債期貨要短，因此選擇5年期國(guó)債期貨。。滬深300指數(shù)和中證500指數(shù)于2005年1月開(kāi)始編制，因此選取這些指數(shù)2005年1月至2019年2月的所有周數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。中國(guó)5年期國(guó)債期貨在2013年9月6日才開(kāi)始上市，因此2013年9月6日以前的數(shù)據(jù)由5年期國(guó)債指數(shù)進(jìn)行補(bǔ)齊(2)國(guó)債期貨與國(guó)債指數(shù)的相關(guān)系數(shù)在0.86以上，且筆者的前期研究證明了采用國(guó)債指數(shù)進(jìn)行分析的結(jié)果是一致的，本文為了加強(qiáng)論文的實(shí)踐可應(yīng)用性，選擇了國(guó)債期貨作為分析對(duì)象；在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)齊時(shí)，將5年期國(guó)債指數(shù)2013年9月6日的數(shù)據(jù)調(diào)整到與國(guó)債期貨相一致，之前的數(shù)據(jù)也進(jìn)行等比例調(diào)整。。之所以采用周數(shù)據(jù)，是因?yàn)橹軘?shù)據(jù)頻率適當(dāng)，既可以捕捉到資本市場(chǎng)近期的波動(dòng)，同時(shí)又可以避免頻繁調(diào)倉(cāng)導(dǎo)致交易成本過(guò)高的弊端。整個(gè)樣本期間共733周，數(shù)據(jù)來(lái)自wind金融數(shù)據(jù)庫(kù)。

表1報(bào)告了五類資產(chǎn)周收益率的描述性統(tǒng)計(jì)情況，其中第1列和第2列為將周收益率和周波動(dòng)率進(jìn)行年化后得到的數(shù)據(jù)；MDD為最大回撤，為在選定周期內(nèi)任一歷史時(shí)點(diǎn)往后推，資產(chǎn)凈值曲線走到最低點(diǎn)時(shí)的收益率回撤幅度的最大值。從表中數(shù)據(jù)可以看到，中證500指數(shù)為代表的小盤(pán)股股票的年化收益率最高，但是其風(fēng)險(xiǎn)也是最大的(無(wú)論是年化波動(dòng)率、MDD、VAR還是CVaR都是五類資產(chǎn)中最大的)，由于收益率較高，因此其夏普比率(SR)和調(diào)整后夏普比率(SR-adj)分別為0.405 3和1.164 8，均高于其他四類資產(chǎn)；滬深300指數(shù)的收益和風(fēng)險(xiǎn)均僅次于中證500，其夏普比率為0.344 5，但是由于其尾部風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)國(guó)債期貨高出許多，因此SR-adj為1.072 2，略低于國(guó)債期貨的1.097 4；商品的風(fēng)險(xiǎn)介于股票和債券之間，工業(yè)品在樣本期間的表現(xiàn)要明顯好于農(nóng)產(chǎn)品，其年化收益率為6.38%，而農(nóng)產(chǎn)品的年化收益率僅為-0.5%；國(guó)債期貨的風(fēng)險(xiǎn)最低，但是其收益也較低(僅高于農(nóng)產(chǎn)品)，其SR和SR-adj分別為0.336 6和1.097 4，均處于較高水平；從偏度上看，只有國(guó)債期貨的偏度為正，其他均為負(fù)值，說(shuō)明國(guó)債期貨的尾部風(fēng)險(xiǎn)最低。

表1 資產(chǎn)周收益率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

構(gòu)建投資組合最主要的目的是分散風(fēng)險(xiǎn)，而資產(chǎn)間的低相關(guān)性是分散風(fēng)險(xiǎn)的前提。表2報(bào)告了五類資產(chǎn)指數(shù)間的相關(guān)系數(shù)矩陣，可以看到，除了兩個(gè)股票指數(shù)之間及兩個(gè)商品指數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)較高之外，其他的相關(guān)系數(shù)均較小且顯著性很低，其中國(guó)債期貨與其他四類資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)均為負(fù)(其中兩個(gè)顯著，兩個(gè)不顯著)，說(shuō)明通過(guò)對(duì)所選五類資產(chǎn)指數(shù)進(jìn)行組合配置，可以有效的降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。

表2 資產(chǎn)收益率相關(guān)性系數(shù)矩陣

由于國(guó)債期貨的波動(dòng)率過(guò)低，如果直接采用原始數(shù)據(jù)構(gòu)造投資組合，會(huì)導(dǎo)致國(guó)債指數(shù)所占比重過(guò)大(初步計(jì)算顯示，國(guó)債期貨在模型中的占比超過(guò)了90%)，從而使得研究失去意義?？紤]到商品期貨和國(guó)債期貨均能夠自由使用杠桿(商品期貨的杠桿限制在20倍左右，國(guó)債期貨的杠桿限制在50倍左右)，且無(wú)需融資成本，因此根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)原理，對(duì)商品期貨和國(guó)債期貨適當(dāng)增加杠桿，以使其風(fēng)險(xiǎn)與股票大體相當(dāng)。計(jì)算結(jié)果顯示，對(duì)工業(yè)品的杠桿應(yīng)為1.6倍左右，對(duì)農(nóng)產(chǎn)品的杠桿應(yīng)為3倍左右，對(duì)國(guó)債期貨的杠桿應(yīng)為12倍左右(滬深300指數(shù)的波動(dòng)率雖然比中證500指數(shù)低，考慮到股市中融資的限制，股票指數(shù)均采用原始數(shù)據(jù))。表3報(bào)告了加杠桿后資產(chǎn)周收益率的描述性統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，可以看到，增加杠桿后，工業(yè)品和國(guó)債期貨的收益率及風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益均有了大幅提高，尤其是國(guó)債期貨，其年化收益率、SR和SR-adj分別提高了44.95%、1.576 9及5.169 4，遠(yuǎn)高于其他資產(chǎn)。加杠桿后的五類資產(chǎn)指數(shù)間的波動(dòng)率及CVaR均比較接近，在利用組合優(yōu)化模型尤其是最小方差組合及CVaR最小化組合時(shí)，所得到的資產(chǎn)權(quán)重能夠更為合理，而不像原始數(shù)據(jù)那樣，使得某類資產(chǎn)所占權(quán)重過(guò)高。

表3 加杠桿后資產(chǎn)周收益率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

(二)靜態(tài)投資組合

1.風(fēng)險(xiǎn)收益統(tǒng)計(jì)

將樣本區(qū)間看成一個(gè)整體，通過(guò)組合優(yōu)化模型求得各投資組合中的資產(chǎn)權(quán)重，并保持資產(chǎn)權(quán)重在整個(gè)樣本區(qū)間不變。均值—方差組合(M-V)、最小化方差組合(Minrisk)、CVaR最小化組合(CVaR)及均值—方差—偏度組合(M-V-S)的風(fēng)險(xiǎn)及收益情況如表4所示?？梢钥吹剑琈-V-S組合的年化收益率最高，達(dá)到了38.15%；Minrisk組合的年化波動(dòng)率最低，僅為14.42%；M-V-S組合加入了組合偏度作為優(yōu)化對(duì)象，因此其偏度最高，達(dá)到了0.439 5，而Minrisk和CVaR組合都是負(fù)偏的；CVaR模型的最大回撤和CVaR值均是最低，說(shuō)明CVaR模型很好的控制了組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)；從SR來(lái)看，M-V模型最高，達(dá)到了1.693，但是由于其尾部風(fēng)險(xiǎn)偏高，因此其SR-adj為5.617 1，略低于M-V-S模型的5.827 1；CVaR組合無(wú)論是SR還是SR-adj都要高于Minrisk組合。

由于Minrisk和CVaR兩個(gè)模型是全局方差或全局CVaR最小化模型，并沒(méi)有考慮收益，因此這兩個(gè)模型的收益率均偏低，但是總體來(lái)看，CVaR模型在控制風(fēng)險(xiǎn)尤其是尾部風(fēng)險(xiǎn)方面，均要優(yōu)于Minrisk，且風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益更高(無(wú)論是SR還是SR-adj)。M-V-S模型由于在原有的均值-方差模型中加入了偏度因子，因此其投資組合會(huì)有更高的上行波動(dòng)率(但是更高的上行波動(dòng)率并不代表風(fēng)險(xiǎn)，反而能使實(shí)際的投資組合業(yè)績(jī)更好)，從而導(dǎo)致其組合波動(dòng)率相對(duì)于M-V模型更高。因此，使用夏普比率來(lái)判斷M-V模型和M-V-S模型組合績(jī)效的優(yōu)劣有失公允，采用調(diào)整后的夏普比率來(lái)對(duì)兩個(gè)組合進(jìn)行判斷，可以得到更符合實(shí)際的結(jié)果。表4的結(jié)果也驗(yàn)證了，M-V-S模型雖然不能改善M-V的夏普比率，但是采用CVaR衡量風(fēng)險(xiǎn)的調(diào)整后夏普比率卻顯示M-V-S模型的效果更佳。

表4 靜態(tài)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益統(tǒng)計(jì)

圖1報(bào)告了四種靜態(tài)投資組合的凈值曲線圖，由于組合之間凈值差距較大，因此采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸?？梢钥吹剑琈-V組合和M-V-S組合的走勢(shì)接近，Minrisk組合和CVaR組合的走勢(shì)接近，前兩個(gè)組合的凈值曲線要遠(yuǎn)高于后兩個(gè)組合。整個(gè)樣本區(qū)間內(nèi)，M-V-S組合的凈值曲線整體在M-V組合之上，而CVaR組合則只是略高于Minrisk組合。但是總體來(lái)看，無(wú)論是哪種組合，凈值曲線均保持了較好的上升趨勢(shì)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)均實(shí)現(xiàn)了較為有效的控制，這得益于表2所報(bào)告的五類資產(chǎn)指數(shù)間的低相關(guān)性。

2.資產(chǎn)權(quán)重分析

投資組合間的績(jī)效差異來(lái)自于對(duì)各資產(chǎn)指數(shù)權(quán)重的配置差異。表5報(bào)告了四種投資組合對(duì)五類資產(chǎn)指數(shù)的配置權(quán)重，相對(duì)于Minrisk和CVaR組合，M-V和M-V-S組合配置了更多的中證500、國(guó)債期貨，以及更少的滬深300及商品指數(shù)，由于國(guó)債期貨和中證500指數(shù)的收益率最高，從而導(dǎo)致M-V和M-V-S組合的收益率要遠(yuǎn)高于Minrisk和CVaR組合。但是Minrisk和CVaR組合由于在各資產(chǎn)間的配置更為均衡，從而使得組合的風(fēng)險(xiǎn)更低。對(duì)比M-V-S組合和M-V組合，可以看到，M-V-S組合配置了更多的國(guó)債期貨，由于國(guó)債期貨的收益率最高，從而使得M-V-S組合年化收益率最高。而CVaR組合的資產(chǎn)配置與Minrisk組合較為相似，從而使得兩者的凈值曲線極為相似，但是由于CVaR考慮的是尾部風(fēng)險(xiǎn)，而Minrisk卻是以波動(dòng)率為優(yōu)化對(duì)象，進(jìn)而導(dǎo)致CVaR模型的尾部風(fēng)險(xiǎn)更低，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益更高。

圖1 靜態(tài)投資組合的凈值曲線圖

表5 靜態(tài)投資組合的資產(chǎn)配置權(quán)重 單位：%

3.穩(wěn)健性檢驗(yàn)

由于公式(8)中組合偏度的系數(shù)λ代表投資者對(duì)偏度的偏好程度，因此當(dāng)λ不同時(shí)，構(gòu)造的投資組合會(huì)有差異，本節(jié)將對(duì)λ進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)。表6報(bào)告了λ分別取值為2、4、6和8時(shí)M-V-S投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益統(tǒng)計(jì)情況，可以看到，當(dāng)λ變大時(shí)，組合的年化收益率逐漸提升，但是風(fēng)險(xiǎn)也不斷升高，從而導(dǎo)致組合的SR不斷降低，但是由于尾部風(fēng)險(xiǎn)上升速度相對(duì)波動(dòng)率要慢，因此SR-adj并沒(méi)有明顯的下降。將表6的結(jié)果與表4中的M-V組合績(jī)效進(jìn)行比較可以看到，不同λ系數(shù)下，雖然M-V-S組合的SR一直低于M-V組合，但是SR-adj始終高于M-V組合，充分說(shuō)明了M-V-S模型在控制投資組合尾部風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的有效性，而且由于λ=4時(shí)并不是M-V-S模型表現(xiàn)最優(yōu)的參數(shù)，因此之前的研究結(jié)果是穩(wěn)健的，即M-V-S模型可以對(duì)投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益進(jìn)行改善。

表6 M-V-S組合的風(fēng)險(xiǎn)收益統(tǒng)計(jì)

(三)動(dòng)態(tài)投資組合

1.風(fēng)險(xiǎn)收益統(tǒng)計(jì)

前述分析是建立在全樣本的靜態(tài)投資組合構(gòu)造基礎(chǔ)上的，可以理解為一種回溯檢驗(yàn)，這在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。因此，本節(jié)采用滾動(dòng)時(shí)間窗口構(gòu)建投資組合，并分析和比較動(dòng)態(tài)投資組合的績(jī)效。首先，采用50周(即接近一年的時(shí)間)為窗口進(jìn)行滾動(dòng)，即采用t-50至t-1期的資產(chǎn)指數(shù)收益率序列來(lái)構(gòu)造第t期的投資組合，并根據(jù)第t期資產(chǎn)指數(shù)的收益率來(lái)計(jì)算投資組合在第t期的收益率，并依次滾動(dòng)，每周調(diào)倉(cāng)，不考慮交易成本。在后面的分析中將對(duì)時(shí)間窗口進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)。

表7報(bào)告了動(dòng)態(tài)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)及收益統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以看到與靜態(tài)投資組合相似的結(jié)果，即M-V模型和M-V-S模型的收益和風(fēng)險(xiǎn)均遠(yuǎn)高于Minrsik和CVaR模型；M-V模型的SR略高于M-V-S模型，但是由于M-V-S模型更好的控制了尾部風(fēng)險(xiǎn)，因此M-V-S模型的SR-adj達(dá)到7.685 2，高于M-V模型的7.198 3；CVaR模型雖然年化波動(dòng)率和最大回撤要高于Minrisk，但是其對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了更好的控制，表現(xiàn)為更低的VAR和CVaR值，且由于CVaR模型的年化收益率更高，從而導(dǎo)致CVaR模型的SR和SR-adj均要遠(yuǎn)高于Minrisk組合；由于CVaR動(dòng)態(tài)組合對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)控制的卓越表現(xiàn)，其SR-adj甚至超過(guò)了M-V和M-V-S組合?？傮w而言，動(dòng)態(tài)投資組合得出的結(jié)論與靜態(tài)投資組合相似，即CVaR組合和M-V-S組合通過(guò)有效的控制尾部風(fēng)險(xiǎn)，能夠獲得更高的調(diào)整后夏普比率，且動(dòng)態(tài)組合由于能夠?qū)κ袌?chǎng)狀況進(jìn)行更及時(shí)的反饋。除了Minrisk組合外，其他組合的SR和SR-adj均要高于靜態(tài)投資組合。圖2報(bào)告的動(dòng)態(tài)投資組合凈值曲線可以看到，M-V組合和M-V-S組合的凈值曲線走勢(shì)仍然相似，只是M-V組合凈值曲線一直在M-V-S組合之上；相對(duì)于靜態(tài)投資組合，CVaR動(dòng)態(tài)組合的凈值曲線要遠(yuǎn)高于Minrisk組合，說(shuō)明通過(guò)時(shí)間窗口滾動(dòng)能夠更好的實(shí)現(xiàn)尾部風(fēng)險(xiǎn)的管理。

表7 動(dòng)態(tài)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益統(tǒng)計(jì)

圖2 動(dòng)態(tài)投資組合的凈值曲線圖

2.資產(chǎn)權(quán)重分析

同樣對(duì)動(dòng)態(tài)投資組合的資產(chǎn)權(quán)重進(jìn)行分析，以識(shí)別投資組合的收益差異來(lái)源。表8報(bào)告了動(dòng)態(tài)投資組合在樣本區(qū)間的平均資產(chǎn)權(quán)重，可以看到，M-V組合和M-V-S組合的資產(chǎn)分布明顯更分散了，其國(guó)債期貨的權(quán)重分別從靜態(tài)投資組合的67.22%和78.82%下降到了49.08%和51.06%，同時(shí)，除了工業(yè)品的權(quán)重有所降低之外，其他三類資產(chǎn)的權(quán)重都有所提升；Minrisk的平均資產(chǎn)權(quán)重與靜態(tài)投資組合相似，而CVaR組合則相對(duì)靜態(tài)投資組合在資產(chǎn)間分配的更為均衡。因此總體來(lái)看，較高的國(guó)債期貨占比是M-V和M-V-S組合收益率更高的原因所在，而在資產(chǎn)間更均衡的權(quán)重分配是Minrisk和CVaR組合在風(fēng)險(xiǎn)控制上表現(xiàn)更優(yōu)的原因所在，這與靜態(tài)投資組合的分析結(jié)果是一致的。

表8 動(dòng)態(tài)投資組合的平均資產(chǎn)權(quán)重 單位：%

3.穩(wěn)健性檢驗(yàn)

對(duì)時(shí)間窗口進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)，分別選擇25周(約0.5年)、75周(約1.5年)、100周(約2年)和125周(約2.5年)的時(shí)間窗口對(duì)投資組合的績(jī)效進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表9所示?？梢钥吹?，隨著時(shí)間窗口的變長(zhǎng)，所有投資組合(除125周窗口下的Minrisk組合)的績(jī)效均表現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，即投資組合收益率降低，但由于風(fēng)險(xiǎn)卻沒(méi)有跟著下降，從而導(dǎo)致SR和SR-adj紛紛下降。在每個(gè)時(shí)間窗口下，M-V組合和M-V-S組合的SR和SR-adj均要高于Minrisk組合和CVaR組合(除25周的CVaR組合外)；M-V-S組合的SR要低于M-V組合(除75周外)，而SR-adj要高于M-V組合；CVaR組合無(wú)論是SR(除125周外)還是SR-adj均要高于Minrisk組合。且無(wú)論在哪個(gè)時(shí)間窗口下，M-V-S組合都取得了1左右的偏度，而Minrisk組合的偏度始終為負(fù)，M-V組合和CVaR組合雖然在個(gè)別時(shí)間窗口偏度高于M-V-S組合，但是整體來(lái)看，M-V-S在偏度控制上最為有效的。綜合來(lái)看，M-V-S模型和CVaR模型有效的控制了投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)，從而使得投資組合獲得了更高的調(diào)整后夏普比率，研究結(jié)果在不同時(shí)間窗口下均是穩(wěn)健的。

四、結(jié)論與討論

選取2005年1月～2019年2月滬深300指數(shù)、中證500指數(shù)、南華工業(yè)品、南華農(nóng)產(chǎn)品及5年期國(guó)債期貨的周收益率數(shù)據(jù)，并根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)原理對(duì)南華工業(yè)品、南華農(nóng)產(chǎn)品和國(guó)債期貨適當(dāng)增加杠桿以使得各資產(chǎn)間的波動(dòng)率大體相似，利用M-V、最小化方差(Minrisk)、最小化CVaR及M-V-S模型對(duì)五類資產(chǎn)分別構(gòu)造靜態(tài)和動(dòng)態(tài)投資組合，以CVaR修正后的夏普比率(SR-adj)比較了基于尾部風(fēng)險(xiǎn)的投資組合優(yōu)化方法與傳統(tǒng)投資組合優(yōu)化方法間的績(jī)效差異，研究結(jié)果表明：考慮了尾部風(fēng)險(xiǎn)的CVaR組合和M-V-S組合均表現(xiàn)出了比傳統(tǒng)組合(分別是Minrisk組合和M-V組合)更高的SR-adj，M-V組合和M-V-S組合由于在優(yōu)化模型中考慮了收益的最大化，因此表現(xiàn)出了比CVaR組合和Minrisk組合更高的收益率及SR-adj；且該研究結(jié)論無(wú)論是采用靜態(tài)投資組合還是利用滾動(dòng)時(shí)間窗口構(gòu)造動(dòng)態(tài)投資組合均有效，在控制了偏度偏好系數(shù)及滾動(dòng)時(shí)間窗口時(shí)，研究結(jié)論也是穩(wěn)健的。相對(duì)于已有對(duì)投資組合的研究，本文的創(chuàng)新之處在于：一方面，采用CVaR和協(xié)偏度矩陣構(gòu)造了基于尾部風(fēng)險(xiǎn)的投資組合優(yōu)化模型，并利用中國(guó)大類資產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)組合優(yōu)化模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，驗(yàn)證了投資組合優(yōu)化模型的有效性；另一方面，采用CVaR指標(biāo)對(duì)夏普比率進(jìn)行了修正，修正后的夏普比率著眼于投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)，能夠?qū)ν顿Y組合績(jī)效進(jìn)行更有效的刻畫(huà)。

表9 基于時(shí)間窗口的穩(wěn)健性檢驗(yàn)

本文的研究結(jié)論是中國(guó)投資組合理論的有力補(bǔ)充，同時(shí)對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)具有一定的實(shí)踐借鑒價(jià)值：第一，波動(dòng)率雖然是衡量投資風(fēng)險(xiǎn)的常用指標(biāo)，但并不是最有效的指標(biāo)，因?yàn)楫?dāng)資產(chǎn)上行波動(dòng)率增加時(shí)往往能夠給投資者帶來(lái)更高的投資收益，因此在構(gòu)建投資組合時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮資產(chǎn)的下行風(fēng)險(xiǎn)，尤其是加大對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)的管理，如本文采用CVaR最小化和M-V-S模型都可以在投資組合優(yōu)化過(guò)程降低組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)，從而使得投資組合的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益有了明顯改善；第二，應(yīng)該采用合適的指標(biāo)來(lái)對(duì)投資組合績(jī)效進(jìn)行衡量，常用的夏普比率雖然能夠?qū)︼L(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益進(jìn)行有效衡量，但是由于其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量是基于投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，而金融資產(chǎn)收益率的非正態(tài)分布狀況使得用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量投資風(fēng)險(xiǎn)并不有效，如本文提出的采用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)來(lái)計(jì)算夏普比率的方法，可以對(duì)投資績(jī)效進(jìn)行更有效的度量，因此投資者在實(shí)際交易過(guò)程也應(yīng)該采用多種指標(biāo)對(duì)投資績(jī)效衡量，而不僅僅是簡(jiǎn)單依賴夏普比率；第三，低相關(guān)性的資產(chǎn)在構(gòu)造投資組合時(shí)能夠有效分散投資風(fēng)險(xiǎn)，在本文的研究中，債券由于與其他資產(chǎn)間的相關(guān)性較低甚至為負(fù)相關(guān)，因此在投資組合中增加債券的權(quán)重可以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的有效分散，甚至由于加杠桿后的債券收益率高于其他資產(chǎn)，債券資產(chǎn)權(quán)重的增加還使得投資組合的收益得到了大幅提升，因此投資者在實(shí)際投資過(guò)程中應(yīng)注重資產(chǎn)種類的配置，通過(guò)多種資產(chǎn)的配置來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的分散。