函數(shù)零點問題考查方式及處理策略

陳永志

零點是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考?？家暯牵诟呖济}中既有客觀題也有解答題,解答題主要是與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進行綜合．本文對常考視角及解題策略進行歸納總結(jié),并舉例說明,供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考．

1 判斷函數(shù)零點的個數(shù)

對于基礎(chǔ)題型,可利用函數(shù)的零點的個數(shù)，即函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)來判斷,或者將所給函數(shù)分離為兩個基本函數(shù),利用兩函數(shù)圖象交點個數(shù)來判斷．對于二次函數(shù)可利用判別式法來判斷．對于較復(fù)雜的問題,可利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求極值、最值,結(jié)合零點的存在定理來判斷．

(1)判斷f(x)的奇偶性并證明;

(2)求M={x|f(x)=0}中元素的個數(shù)．

(2)求集合M中元素的個數(shù),即為判斷函數(shù)f(x)零點的個數(shù)．因為函數(shù)中含有參數(shù),故對參數(shù)的可能取值進行分類討論．

又因為f(x)是偶函數(shù),所以集合M中有2個元素．

2 求函數(shù)的零點

高考對此類問題的考查,主要體現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合的問題中,即求導(dǎo)函數(shù)的零點．常規(guī)題型可通過因式分解法解方程來求解;對于超越方程可利用賦值法得出零點,再利用零點的存在定理判斷零點的唯一性．

(1)求y=f(x)的圖象在點(π,f(π))處的切線方程;

(2)令h(x)=g(x)-af(x),其中a∈R,求h(x)的單調(diào)性及極值．

(2)由已知可得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),求導(dǎo)得

h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+
ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=
2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx)．

設(shè)t(x)=x-sinx,則t′(x)=1-cosx≥0,故t(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.又t(0)=0,故x>0時,x-sinx>0;x<0時,x-sinx<0．

函數(shù)y=ex-a的零點問題,可針對a的不同取值進行討論．

當a>0時,由ex-a=0,得x=lna．

若00,h(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(lna,0)內(nèi),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,所以h極大值(x)=h(lna),h極小值(x)=h(0)．

若a=1,則lna=0,在(-∞,+∞)內(nèi),h′(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增,無極值．

若a>1,則lna>0,在區(qū)間(-∞,0),(lna,+∞)內(nèi),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(0,lna)內(nèi),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,所以h極大值(x)=h(0),h極小值(x)=h(lna)．

3 判斷零點存在的區(qū)間

利用二分法判斷,即若函數(shù)f(x)滿足f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點,若進一步可判斷f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào),可得零點的唯一性．對于零點范圍未給出的問題,可結(jié)合函數(shù)特征,選取特殊點進行驗證．

A. (-1,-log32) B. (0, log32)

C. (log32, 1) D.(1, log34)

4 給出零點個數(shù)求參數(shù)范圍

此類問題常采用參數(shù)分離后利用數(shù)形結(jié)合法求解或分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域進行判斷．

A. [-1, 0) B. [0,+∞)

C. [-1,+∞) D. [1,+∞)

圖1

綜上,在函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí)中,同學(xué)們要善于梳理高考常考題型,歸納總結(jié)常用解題策略,方能以不變應(yīng)萬變．