試論引導(dǎo)學(xué)生建立完整的數(shù)的知識(shí)框架

秦舒緯

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)字，數(shù)字是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本所在。同一個(gè)數(shù)字，出現(xiàn)在不同的情境中蘊(yùn)含的意義不盡相同，只有理解區(qū)分好題目中每一個(gè)數(shù)字所蘊(yùn)含的意義，才能準(zhǔn)確分析出數(shù)量關(guān)系，更好地解決問(wèn)題，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生建立完整的數(shù)的知識(shí)框架進(jìn)行論述。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);完整;知識(shí)框架;數(shù)形結(jié)合;構(gòu)建模型

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2020）14-0084-02

從自然數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù)，在教學(xué)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)低年級(jí)的學(xué)生對(duì)整數(shù)的認(rèn)識(shí)并不存在多大的困難，而到了中高年級(jí)涉及分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，相當(dāng)一部分學(xué)生發(fā)生混淆。如何幫助學(xué)生在腦海中建立完整的數(shù)字模型，對(duì)不同類型的數(shù)的含義進(jìn)行分析，建立完整的數(shù)的知識(shí)框架，值得數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考。

一、百分?jǐn)?shù)教學(xué)中的“易”與“難”

1.教材對(duì)百分?jǐn)?shù)的教學(xué)安排

在蘇教版教材中，“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)被安排在六年級(jí)上冊(cè)第六單元，這是小學(xué)階段數(shù)字的最后一種呈現(xiàn)形式。從教材教學(xué)內(nèi)容的安排上看，主要分為百分?jǐn)?shù)的意義及讀寫、與小數(shù)分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化，以及相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。本文不對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行討論，主要探究對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及理解。

2.百分?jǐn)?shù)教學(xué)中的“易”

之所以說(shuō)“百分?jǐn)?shù)”教學(xué)易，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)絕不僅僅局限于課本上的內(nèi)容，對(duì)百分?jǐn)?shù)的內(nèi)容接觸也絕不僅僅開始于六年級(jí)上學(xué)期，生活中或多或少地已經(jīng)接觸過(guò)百分?jǐn)?shù)。例如，布料所包含的各種成分，升學(xué)率、成活率，等等。在課堂教學(xué)中，教師需要做的就是給出一個(gè)明確的百分?jǐn)?shù)的定義，即“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫作百分?jǐn)?shù)”，并幫助學(xué)生進(jìn)行理解。該定義明確了百分?jǐn)?shù)只表示關(guān)系，不表示數(shù)量，不帶有單位名稱。如：可以說(shuō)1米是5米的20%，不可以說(shuō)一段繩子長(zhǎng)20%米。

3.百分?jǐn)?shù)教學(xué)中的“難”

“百分?jǐn)?shù)”教學(xué)的難從表面上看是難于計(jì)算，如25%×4%有相當(dāng)一部分學(xué)生的計(jì)算結(jié)果是100%，而涉及百分?jǐn)?shù)的除法，學(xué)生計(jì)算起來(lái)更困難，經(jīng)常出現(xiàn)不是把結(jié)果擴(kuò)大就是縮小的現(xiàn)象。以上現(xiàn)象的出現(xiàn)，表面上看是計(jì)算問(wèn)題，實(shí)則是學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)沒(méi)有理解。

4.準(zhǔn)確理解百分?jǐn)?shù)

要理解百分?jǐn)?shù)，就要理解它的兩層含義：一是表示兩種量之間的關(guān)系，或是部分與整體之間的占比關(guān)系。二是當(dāng)百分?jǐn)?shù)單獨(dú)出現(xiàn)時(shí)，則具備數(shù)值屬性，這也是教師在教學(xué)過(guò)程中需要進(jìn)行拓展的內(nèi)容。要理解百分?jǐn)?shù)的兩種屬性，教師就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)的意義有一個(gè)準(zhǔn)確的理解，對(duì)小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)字進(jìn)行完整的模型建構(gòu)。

二、自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)知識(shí)框架的構(gòu)建

1.自然數(shù)的認(rèn)識(shí)

自然數(shù)源于兩種理論體系：基數(shù)理論與序數(shù)理論。這兩種理論分別對(duì)應(yīng)自然數(shù)的兩種不同意義與作用：一是自然數(shù)表示一些具體事物的個(gè)數(shù);二是自然數(shù)表示一個(gè)順序，如第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)……例如，在認(rèn)識(shí)“=”“>”“<”這節(jié)課中，認(rèn)識(shí)4=4時(shí)，例題將4只小兔與4只小猴一一對(duì)應(yīng);認(rèn)識(shí)5>3、3<5時(shí)，將5只松鼠和3只小熊一一對(duì)應(yīng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的大小關(guān)系。那么，為什么要將動(dòng)物的只數(shù)對(duì)應(yīng)后再進(jìn)行比較呢？很多教師都會(huì)忽視這一問(wèn)題。史寧中教授認(rèn)為：數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象。數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是“多少”，比較數(shù)量的方法是“對(duì)應(yīng)”。

2.小數(shù)的認(rèn)識(shí)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”安排在三年級(jí)上冊(cè)，而“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”被安排在三年級(jí)下冊(cè)。筆者先討論小數(shù)，是從學(xué)生的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)考慮，小數(shù)更易于學(xué)生理解。例如5÷2的計(jì)算結(jié)果，學(xué)生仍然習(xí)慣于用小數(shù)表示，而不是分?jǐn)?shù)。小數(shù)，在絕大部分的情況下它只表示某些物體的具體的量，一般不具有序數(shù)的功能。但小數(shù)拓展了數(shù)的運(yùn)用范圍。在教學(xué)過(guò)程中，教師可借助數(shù)軸來(lái)幫助學(xué)生理解（圖略）：0、1、2、3……這些自然數(shù)在認(rèn)識(shí)小數(shù)之前，在數(shù)軸上只是一個(gè)個(gè)離散的點(diǎn)。小數(shù)可以和數(shù)軸上的任意點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感受到可以無(wú)限地細(xì)分這些小數(shù)，有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)事物，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)。

3.分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)

學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)可以從分?jǐn)?shù)所表達(dá)的關(guān)系入手，如把一個(gè)蘋果平均分給4個(gè)人，每人分得蘋果的1/4。在這里，分?jǐn)?shù)指向部分與整體之間的比，當(dāng)然也可以是兩個(gè)部分之間的比，如男生人數(shù)占女生人數(shù)的幾分之幾。分?jǐn)?shù)還可以是一個(gè)數(shù)，如兩個(gè)數(shù)相除，當(dāng)商是一個(gè)無(wú)限小數(shù)，而又需要用一個(gè)精確值表示時(shí)，就可以用分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)還可以表示數(shù)量。很多情況下即便商的計(jì)算結(jié)果復(fù)雜，但學(xué)生仍然喜歡計(jì)算出一個(gè)數(shù)值，而很少用分?jǐn)?shù)表示。例如，在完成“把4米長(zhǎng)的繩子平均分成5段，每段長(zhǎng)幾分之幾米，占全長(zhǎng)的幾分之幾，是一米的幾分之幾”這道題時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤率一直居高不下。之所以會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因?yàn)閷W(xué)生受先入為主的概念影響。學(xué)生一開始認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，理解分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量之間的占比關(guān)系，而對(duì)于分?jǐn)?shù)可以表示具體數(shù)量認(rèn)識(shí)不足。要解決這樣的問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從等分和商的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。例如，一個(gè)蛋糕平均分給2個(gè)人，每人可以分得多少塊？如果平均分給4個(gè)人，每人可以分得多少塊？在這個(gè)情境中引出分?jǐn)?shù)，通過(guò)人數(shù)的變化，能讓學(xué)生感受到隨著人數(shù)的增加每人分得的蛋糕數(shù)量在逐漸減少，從而認(rèn)識(shí)到等分的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示，進(jìn)而建立起除法與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

三、融會(huì)貫通，構(gòu)建模型，解決問(wèn)題

構(gòu)建模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效途徑，能夠提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，將生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決是數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與求解過(guò)程。例如，一根鋼筋長(zhǎng)7.2米，已經(jīng)用去了全長(zhǎng)的2/9，再用去多少米，正好剩下全長(zhǎng)的一半？題目中一共出現(xiàn)了三個(gè)數(shù)據(jù)：7.2米表示鋼筋的具體長(zhǎng)度，2/9表示已經(jīng)用去的部分占全長(zhǎng)的2/9，一半表示全長(zhǎng)的1/2。要想正確地解決這個(gè)問(wèn)題，除了要理解再用去的米數(shù)=全長(zhǎng)的一半-用去的米數(shù)外，還必須準(zhǔn)確地理解這三個(gè)數(shù)據(jù)的具體含義，尤其是2/9。可以說(shuō)，理解數(shù)據(jù)的含義是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)字，數(shù)字是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本所在。同一個(gè)數(shù)字，出現(xiàn)在不同的情境中所蘊(yùn)含的意義不盡相同。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解區(qū)分好題目中每一個(gè)數(shù)字所蘊(yùn)含的意義，準(zhǔn)確分析出數(shù)量關(guān)系，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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