熟識(shí)幾何基本模型實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題化繁為簡研究

胡清山

摘 要：“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型在近幾年的中考題中常常出現(xiàn)，并經(jīng)過中考命題專家的變式演繹，出現(xiàn)了?？汲Ｐ碌那闆r。為了更好地解答這種模型的幾何題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意觀察圖形和分析圖形，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中分離出這種幾何基本模型，理解這種基本的幾何模型所蘊(yùn)含的基本結(jié)論并掌握基本的解法，提高解題能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);解題;幾何模型;靈活應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2020）15-0084-04

旋轉(zhuǎn)變換是初中幾何的一個(gè)重要考點(diǎn)，而相似是中考的核心考點(diǎn)，相似與旋轉(zhuǎn)有機(jī)結(jié)合成為近年來中考的一大核心模塊，也是考查學(xué)生的幾何分析能力的重要載體，使幾何綜合題難度變大。要突破這個(gè)難點(diǎn)，不僅要求學(xué)生牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和基本的判定方法，而且要求學(xué)生熟識(shí)一些基本的圖形模型。為此，教師要在課堂教學(xué)中有意識(shí)地對一些基本的幾何圖形模型進(jìn)行提煉和識(shí)別，并對這些基本的圖形模型的應(yīng)用進(jìn)行專題訓(xùn)練，以提高學(xué)生解決幾何綜合題的能力。本文重點(diǎn)介紹如何應(yīng)用“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型中的兩個(gè)基本結(jié)論迅速解題，讓學(xué)生充分地體會(huì)到幾何基本圖形在解決幾何綜合題時(shí)可起化繁為簡、化難為易的作用。

一、模型感知

“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型：如圖1，△ACB和△ADE都是Rt△，且∠ACB=∠ADE=90°。若點(diǎn)E、D分別落在邊AC、AB上，△ABC固定不動(dòng)，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2。把旋轉(zhuǎn)中的Rt△ADE和Rt△ABC組成的幾何模型稱為“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型。（教師用幾何畫板演示旋轉(zhuǎn)）

二、基本圖形的結(jié)論探究

1.特殊發(fā)現(xiàn)

如圖3，△ACB和△ADE都是Rt△，且∠ACB=∠ADE=90°。若點(diǎn)E、D分別落在邊AC、AB上，連接BE，點(diǎn)O為BE的中點(diǎn)，連接OC、OD，試判斷線段OC和OD之間的數(shù)量關(guān)系以及∠COD和∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考：根據(jù)特殊情況中的條件發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并思考如何證明結(jié)論。

答：OC=OD，∠COD=2∠ABC。證明：因?yàn)椤螦DE=∠ACB=90°，O為BE的中點(diǎn)，所以O(shè)C=OD=OB=OE=1/2BE。所以點(diǎn)B、C、E、D四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心、OC為直徑的圓上。再根據(jù)圓周角定理易得：∠COD=2∠ABC。

利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半”得到OC=1/2BE和OD=1/2BE，進(jìn)而證得OC=OD。利用“等邊對等角”以及“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這兩個(gè)性質(zhì)得到“等腰三角形與頂角相鄰的外角等于底角的兩倍”即∠COE=

2∠OBC，∠DOE=2∠OBD，進(jìn)而證得∠COD=2∠ABC。利用對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，再利用“同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”證得∠COD=2∠ABC。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過對特殊情況的觀察和探究，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力以及簡單的幾何問題的分析能力和推理能力，為接下來的一般情況的探究做鋪墊。

2.深化探究

圖3中Rt△ABC固定不動(dòng)，將Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度α（如圖4或圖5），請你觀察、思考、分析、判斷上述結(jié)論是否成立，并證明你的判斷。

活動(dòng)1：教師借助幾何畫板演示Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程，并讓學(xué)生觀察Rt△ADE在旋轉(zhuǎn)過程線段OC和OD之間的數(shù)量關(guān)系以及∠COD和∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系，并做出猜想判斷?；顒?dòng)2：教師用幾何畫板演示Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到不同位置，并同時(shí)給出在某一位置線段OC和OD的度量值以及∠COD和∠ABC的度量值，讓學(xué)生判斷一下自己的猜想是否正確。

設(shè)計(jì)意圖：教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何基本圖形的識(shí)別，并總結(jié)出蘊(yùn)含在基本幾何圖形中的基本結(jié)論，有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和總結(jié)歸納能力。

3.證法點(diǎn)撥

提問1：證明“有公共端點(diǎn)的兩條線段相等”有哪些常用的方法？（學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行討論交流，舉手回答，教師補(bǔ)充說明）①利用“等角對等邊”這一性質(zhì)來證明。②利用“全等三角形的對應(yīng)邊相等”這一性質(zhì)來證明。③利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)來證明。

提問2：與線段中點(diǎn)有關(guān)的引輔助線方法有哪些？①取與已知線段有公共端點(diǎn)的線段中點(diǎn)（或倍長與已知線段有公共端點(diǎn)的線段）——構(gòu)造中位線。②構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線。③有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常倍長此線段，構(gòu)造“X型”的全等三角形。

設(shè)計(jì)意圖：考慮到這兩個(gè)結(jié)論證明的困難性，教師借助兩個(gè)問題引發(fā)學(xué)生思考，教授學(xué)生解決此類問題的基本方法，使不同水平的學(xué)生有不同的發(fā)現(xiàn)，加深學(xué)生對一些幾何基本模型以及基本方法的理解，也為反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型的基本結(jié)論的證明做好鋪墊。

提問3：請學(xué)生們用幾何的方法證明“OC=OD，∠COD=2∠ABC”。

4.證法展示和評(píng)析

證法一：如圖6，分別取AB、AE的中點(diǎn)M、N，連接OM、ON、CM、DN，易證四邊形OMAN是平行四邊形，所以∠OMA=∠ONA。根據(jù)“三角形的中位線定理”和“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CM=ON，OM=DN。易證：△AMC∽△ADN，所以∠AMC=∠DNA，于是可得∠OMC=∠OND，進(jìn)而可證△CMO≌△DNO，所以O(shè)C=OD，∠OCM=∠DON。因?yàn)镺N∥AB，所以∠MHO=∠DON。根據(jù)等量代換，有∠MHO=∠OCM。因?yàn)椤螼GC=∠HGM，所以∠COD=∠AMC。因?yàn)椤螦MC=2∠ABC，所以∠CON=2∠ABC。這種證法是分別取兩Rt△斜邊的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線和直角三角形斜邊上的中線，進(jìn)而構(gòu)造全等三角形;而證明角與角的關(guān)系主要是通過“8”字型來導(dǎo)角。

證法二：如圖7，延長CO至點(diǎn)F，使得OF=OC，連接CD、DF、EF，易證△EOF≌△BOC，所以EF=BC，∠FEB=∠EBC，所以EF∥BC，所以∠AMF=∠ACB=90°。進(jìn)而可證∠AME=∠ADE=90°，因?yàn)椤螮NM=∠AND，所以∠DEF=∠DAC。易證△DAC∽△DEF，所以=，∠ADC=∠EDF，可推得∠CDF=∠ADE。又因?yàn)?，即

tan∠CFD=tan∠ABC，所以∠CFD=∠ABC，易證∠COD=2∠CFD，所以∠COD= 2∠ABC。這種證法是采用倍長兩線段中的一條的方法，構(gòu)造“A型”旋轉(zhuǎn)相似模型和直角三角形斜邊上的中線。

證法三：如圖8，延長BC至F，使CF=BC;延長ED至G，使DG=DE;連接EF、AF、BG、AG，易證：AF=AB，AG=AE，△AEG∽△FAB。所以∠FAB=∠EAG，可得∠EAF=∠GAB，進(jìn)而可證△AEF≌△AGB。所以EF=BG，∠AFE=∠ABG，易得OC=1/2EF，OD=1/2BG ，所以O(shè)C=OD。因?yàn)锳F=AB，所以∠AFC=∠ABC，所以∠COD=∠EOD+∠COE=∠ABG+∠ABE+∠OBC+∠OCB=∠AFE+∠ABC+∠CFE=∠AFC+∠ABC=2∠ABC。這種證法是采用分別倍長兩Rt△無公共端點(diǎn)的直角邊的方法，構(gòu)造線段的垂直平分線、三角形中位線以及“手拉手”相似模型，并利用“手拉手”相似模型的“一拖二”性質(zhì)來證明△AEF≌△AGB。（“手拉手”相似三角形會(huì)衍生出“手拉手”相似三角形;當(dāng)“手拉手”相似的兩個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)，一定會(huì)衍生出“手拉手”全等三角形，把這樣的性質(zhì)稱為“手拉手”相似模型的“一拖二”性質(zhì)）而證明角與角的關(guān)系主要是利用兩直線平行，同位角相等、三角形外角的性質(zhì)以及等邊對等角等性質(zhì)來導(dǎo)角。

三、模型應(yīng)用

1.直接應(yīng)用基本圖形模型解題

當(dāng)幾何圖形中出現(xiàn)“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形的基本圖形模型時(shí)，可直接利用模型及模型所蘊(yùn)含的基本結(jié)論的證明方法高效地解決問題。例題：在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC、PE。如圖9，若點(diǎn)E、F分別落在邊AB、AC上，則結(jié)論“PC=PE”成立（不要求證明）。把圖9中的△AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（1）如圖10，若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由。（2）如圖11，若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由。（3）記AB/BC=k，當(dāng)k為何值時(shí)，△CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必說明理由）

分析：（1）首先過點(diǎn)P作PM⊥CE于點(diǎn)M，由EF⊥AE，BC⊥AC，可推得EF∥MP∥CB，進(jìn)一步推得=，然后根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC，據(jù)此可推得PC=PE。（2）過點(diǎn)F作FD⊥AC于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，連接PD，可通過證明△DAF≌△EAF和△DAP≌△EAP，即可推得AD=AE和PD=PE;由FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PD，再根據(jù)PD=PE，進(jìn)而可推得PC=PE。（3）首先根據(jù)△CPE總是等邊三角形，可得∠CEP=60°，再推得∠CAB=60°;然后根據(jù)∠ACB=90°，求出∠CBA=30°。根據(jù)tan30°=k，可求出當(dāng)△CPE為等邊三角形時(shí)k的對應(yīng)值。

解答：（1）答：PC=PE成立，理由如下：如圖12，過點(diǎn)P作PM⊥CE于點(diǎn)M，因?yàn)镋F⊥AE，BC⊥AC，所以EF∥MP∥CB，根據(jù)平行線分線段成比例定理易證PC=PE。（2）答：PC=PE成立，理由如下：如圖13，過點(diǎn)F作FD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，連接PD，易證△DAF≌△EAF（AAS），推得AD=AE。進(jìn)而可證△DAP≌△EAP（SAS），推得PD=PE，因?yàn)镕D⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，所以FD∥BC∥PM，根據(jù)平行線分線段成比例定理可證得DM=MC，因?yàn)镻M⊥AC，所以PC=PD。又因?yàn)镻D=PE，所以PC=PE。（3）答：如圖14 ，因?yàn)椤鰿PE總是等邊三角形，所以∠CEP=60°，所以∠CAB=60°，因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠CBA= 90°-∠CAB=90°-60°=30°，所以k==tan30°=。

本題借助從特殊到一般的遞進(jìn)式的探究活動(dòng)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)與深究并重，并采取分散的形式對基本圖形中的兩個(gè)基本結(jié)論進(jìn)行考查，降低了難度，加深了學(xué)生對“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形圖形模型的理解。

2.離析提煉應(yīng)用基本圖形模型解題

當(dāng)復(fù)雜的幾何圖形中隱含著“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型時(shí)，要從復(fù)雜的圖形中離析出基本的圖形模型，進(jìn)而運(yùn)用基本的圖形模型所蘊(yùn)含的基本結(jié)論的證明方法有效地解決問題，這也是學(xué)生解決幾何綜合題必備的能力之一。

例題：如圖15，矩形ABCD中，AD=AB，E為矩形對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交CD于F，連接BF，G為BF中點(diǎn)，連接CG、EG。（1）試判斷線段CG和EG之間的數(shù)量關(guān)系，試求∠CGE的度數(shù)。（2）將圖15中△DEF繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使DF落在對角線BD上，如圖16所示，取BF中點(diǎn)G，連接CG、EG、EC。猜想：△CEG是否是等邊三角形？若是，請證明;若不是，說明理由。（3）將圖15中△DEF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度α，如圖16所示，再連接相應(yīng)的線段，問（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由。

提問：你能運(yùn)用上面你自己發(fā)現(xiàn)的模型的相應(yīng)的基本證法來解決這道題嗎？思考：（1）你能從圖15、圖16和圖17中找出“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型嗎？若能，是Rt△和Rt△組成了“反A型”旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型。

這道題是綜合2015年重慶中考數(shù)學(xué)試卷第25題和2009年山東省萊蕪市中考數(shù)學(xué)試卷的第24題進(jìn)行變式得到的試題。如果去掉圖15中線段AB和AD（如圖18），就成了反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型中的特殊情景;去掉圖16中線段AB和AD（如

圖19），就成了反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型中將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的圖形模型;去掉圖17中線段AB和AD（如圖20），并連接BD，就成了反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型中將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度a后的一般情景。這樣通過對復(fù)雜圖形的分析，從中提煉出反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形的基本圖形模型，復(fù)雜的問題就變得簡單化了。

解答：（1）CG=EG;∠EGC=60°。（解題過程略）（2）答：△CEG是等邊三角形。證明：如圖21 ，延長CG至點(diǎn)H，使得GH=CG，連接FH、EH，易證△FGH≌△BGC，可得HF=BC，∠HFG= ∠CBG，所以HF∥BC ，所以∠HFG=∠DBC=30°。易知∠EFD=∠DBC=30°，∠EDF=∠BDC=60°，進(jìn)而可證∠EFH=∠EDC=120°。因?yàn)?=tan∠CDB= tan60°=，=tan∠EDF=tan60°=，即=，所以△HEF≌△CED，所以==，∠HEF=∠CED 。易證tan∠ECG==，所以∠ECG=60°。所以△CEG是等邊三角形。（3）答：（2）的結(jié)論仍然成立。證明：如圖22，延長CG至點(diǎn)H，使得GH=CG，連接FH、EH、BD。延長CD，交EF于點(diǎn)N，交HF的延長線于點(diǎn)M。易證△FGH≌△BGC，所以HF=BC，∠HFG=∠CBG，所以HF∥BC，所以∠HMN+∠BCD= 180°。因?yàn)椤螧CD=90°，所以∠HMN=90°。 進(jìn)而可證得∠HFE=∠CDE。 因?yàn)?=tan∠CDB=tan60°=，=tan∠EDF=tan60°=，即=，所以△HEF∽△CED。 所以==，∠HEF=∠CED ，易證=tan∠ECG=，所以∠ECG=60°，所以△CEG是等邊三角形。故（2）中的結(jié)論仍然成立。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過兩個(gè)例題的鞏固訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助基本圖形模型以及模型相應(yīng)的基本證法來解決此問題，進(jìn)一步鞏固反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形這一基本模型，提高學(xué)生運(yùn)用基本模型解決綜合題的能力，使復(fù)雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。教師還通過比較，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到同一種方法在不同位置的證明難易度不同和同一種方法在相同位置的證明難易度不同，從而體驗(yàn)到一題多解的妙處。

總之，從近幾年的許多中考試題看，反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形的圖形模型有著相對比較廣泛的應(yīng)用。反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型的兩個(gè)基本結(jié)論在解決相關(guān)的壓軸題時(shí)起著至關(guān)重要的作用，證明反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型的兩個(gè)基本結(jié)論的三種方法對解決同類問題具有一定的導(dǎo)向作用，所以在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生重視三種方法的解題功能。師生共同探究反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形的圖形模型和兩個(gè)性質(zhì)，讓學(xué)生熟識(shí)反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形的圖形模型，掌握反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形模型的兩個(gè)基本結(jié)論證明的三種方法，可以使學(xué)生利用反“A”型旋轉(zhuǎn)相似直角三角形的圖形模型解決與該模型有關(guān)的試題，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用圖形模型有效地分析問題和高效地解決問題的能力。

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Research on Familiar with the Basic Geometric Model to Realize the Simplification of Mathematical Problem Solving

Hu Qingshan

（Zhongshan Middle School， Putian County， Fujian Province， Putian 351100， China）

Abstract： "Anti-A type" rotation similar right triangle model often appears in the middle school examination questions in recent years， and after the variation deduction of the experts in the middle school examination questions， there is a new situation of constant examination. In order to better solve the geometric problems of this model， teachers should guide students to observe and analyze the graphics， learn to separate this basic geometric model from the complex graphics， understand the basic conclusions contained in this basic geometric model， master this basic solution， and improve the ability of solving problems.

Key words： mathematics teaching; problem solving; geometric model; flexible application