由一道初中數(shù)學(xué)填空題引發(fā)的思考

摘要：通過一道初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)填空題，引發(fā)了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，進(jìn)而用近世代數(shù)的觀點(diǎn)解答了這道題;然后回到實(shí)際課堂當(dāng)中，指出問題對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示;最后把問題引向深入，通過近世代數(shù)的視角探索了一個(gè)因式分解的例子。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);近世代數(shù);多項(xiàng)式環(huán);未定元;未知數(shù);因式分解

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2020）22-0354-02

一、符號(hào)說明

本文用正體粗體的表示實(shí)數(shù)集，用斜體細(xì)體的表示一個(gè)一般的環(huán)。

二、問題的提出、思考和解答

在初中數(shù)學(xué)整式一章的基礎(chǔ)練習(xí)中，常常出現(xiàn)這樣的填空題：

例1 ________。

在通常情況下，學(xué)生無外乎有兩種答案。

答案1 。

答案2

如果你是一位初中數(shù)學(xué)教師，你會(huì)認(rèn)為答案2是正確答案。但作為一道填空題，做到答案1就可以了。在此，我們不禁要問：答案2真的比答案1更好嗎？如果你覺得答案2是正確答案，那依據(jù)是什么呢？為什么按照中考要求，答案1也正確呢？

事實(shí)上，答案1和答案2都可能是正確答案，但都有其局限性，關(guān)鍵看你用什么觀點(diǎn)來理解。

在初等代數(shù)意義下，如果我們把字母x看作一個(gè)數(shù)，則答案2顯然要比答案1完整。但是，在代數(shù)式當(dāng)中，字母x真的表示一個(gè)數(shù)嗎？如果x表示一個(gè)數(shù)，那關(guān)于多項(xiàng)式的理論是不是毫無缺陷呢？

注：在近世代數(shù)中，“多項(xiàng)式”和“整式”表示同一個(gè)概念。

再舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子。

例2 將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

例2最后的答案是還是，抑或有其他答案？

這就引發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考了。事實(shí)上，全體實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式構(gòu)成一個(gè)環(huán)（ring），它是一個(gè)歐幾里得整環(huán)（Euclidean domain），它和整數(shù)環(huán)有很多相似之處。多項(xiàng)式中的字母并不表示一個(gè)數(shù)，而有其特殊的含義。

在近世代數(shù)中，我們有如下的概念和結(jié)論。

定義1 設(shè)R是一個(gè)有單位元的環(huán)，是的擴(kuò)環(huán)，是中的一個(gè)元素。如果滿足

（1）對(duì)任意的，;

（2）;

（3）對(duì)R的任意一組不全為零的元素，

則稱為上的一個(gè)未定元（indeterminate）（參看參考文獻(xiàn)[2]）。

定理1 設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán)，則一定存在環(huán)上的一個(gè)未定元（參看參考文獻(xiàn)[2]）。

定義2 設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán)，是上的一個(gè)未定元。上關(guān)于的一元多項(xiàng)式全體關(guān)于多項(xiàng)式的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為上的以為未定元的一元多項(xiàng)式環(huán)（polynomial ring）（參看參考文獻(xiàn)[2]）。

由上述定義和定理不難看出，由于實(shí)數(shù)集是一個(gè)有單位元的環(huán)（事實(shí)上還是一個(gè)域（field）），因此在上存在一個(gè)未定元，構(gòu)成一個(gè)一元多項(xiàng)式環(huán)。

我們不禁要問：中的未定元是否屬于呢？由定義1的（3）不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的，都有（因?yàn)榇藭r(shí)），即，因此。用同樣的方法可以說明，在中，在中，在中……

事實(shí)上，對(duì)于任意一個(gè)有單位元的環(huán)R，在中我們都有。由于，因此。所以在任何一個(gè)一元多項(xiàng)式環(huán)當(dāng)中，字母x一定不等于0。

有了這樣的認(rèn)識(shí)，我們回過頭來看例1。如果我們把，都看成中的元素（實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式），則是上的一個(gè)未定元（不是未知數(shù)），它一定不等于0，當(dāng)然也不等于0。因此，分類討論就沒有必要了，此時(shí)答案1變成了正確答案。

對(duì)于例1我們可以這樣總結(jié)：如果我們把，看作兩個(gè)實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式（此時(shí)x是上的未定元（indeterminate），），把原題看作多項(xiàng)式的除法運(yùn)算，則正確答案是答案1;如果我們把，看作兩個(gè)定義在上的一元多項(xiàng)式函數(shù)（此時(shí)x是上的未知數(shù)（unknown number），），把原題看作函數(shù)的除法運(yùn)算，則正確答案是答案2。

三、問題對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

通過上一小節(jié)的論述，我們可以體會(huì)到，數(shù)學(xué)學(xué)科是相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?duì)于同一道題目，如果我們用兩種不同的觀點(diǎn)去看，就會(huì)得出兩種截然不同的答案。因此，老師在平時(shí)教學(xué)中，也要抱著科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，深刻理解每一個(gè)概念，用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言引導(dǎo)學(xué)生，從而使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

當(dāng)然對(duì)于例1，我們不能給中學(xué)生解釋“環(huán)”“未定元”這些近世代數(shù)的概念。但按照中考要求，答案1的確是正確答案。我想，我們可以告訴學(xué)生，在類似的問題里面，我們一般都把、、0看作代數(shù)式（整式），而和0是兩個(gè)不同的代數(shù)式，因此作為代數(shù)式的除法運(yùn)算，只要除式（特別指明是除數(shù)）不為0，我們就不需要分類討論。我想，這樣的解釋，應(yīng)該比簡(jiǎn)單告訴學(xué)生我們默認(rèn)為分母不等于0要好，至少更符合數(shù)學(xué)的規(guī)范。對(duì)優(yōu)等生我們可以給他們提供一個(gè)思路：代數(shù)式當(dāng)中的字母x有其特殊的含義，它和方程、函數(shù)中的字母x是不一樣的，如果你們今后學(xué)習(xí)高等代數(shù)和近世代數(shù)，就會(huì)逐漸接觸到這部分內(nèi)容了。提供這樣的思路，是為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和進(jìn)一步求知的欲望，并為他們從中學(xué)到大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)做了很好的銜接和鋪墊。當(dāng)然在大學(xué)代數(shù)類課程里，如果我們能給出類似例1和例2的一些實(shí)例，也會(huì)對(duì)學(xué)生理解“未定元”“多項(xiàng)式環(huán)”這些概念有很大幫助。

四、問題引向深入：對(duì)因式分解例子的初步思考與探索

回到例2，我們?cè)撊绾螌?duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？在初中數(shù)學(xué)課本里，我們這樣定義因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫作把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（factorization），也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式（參看參考文獻(xiàn)[1]）。而在近世代數(shù)中，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，是指把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)不可約多項(xiàng)式（irreducible polynomial）的乘積的形式，而不可約多項(xiàng)式指的是相應(yīng)多項(xiàng)式環(huán)中的不可約元（irreducible element）。對(duì)于多項(xiàng)式，當(dāng)我們把它看作或或中的元素時(shí)它的標(biāo)準(zhǔn)分解式是（注：此時(shí)已經(jīng)是不可約多項(xiàng)式，可以不用分解，我們習(xí)慣上把它寫成或或中的一個(gè)單位（unity）6乘以一個(gè)首一多項(xiàng)式（monic polynomial）的形式，這樣的寫法稱為域上多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式）;而當(dāng)我們把它看作中的元素時(shí)它的標(biāo)準(zhǔn)分解式應(yīng)該是或;另外，當(dāng)我們把它看作高斯整環(huán)（Gauss domain）上的多項(xiàng)式環(huán)中的元素時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)分解式則是;等等。關(guān)于多項(xiàng)式因式分解的話題，在此不做進(jìn)一步展開，有興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)[2][3][4]。

參考文獻(xiàn)：

[1]項(xiàng)家祥，黃華.數(shù)學(xué)（七年級(jí)第一學(xué)期，試用本，第2版）[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]韓士安，林磊.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[3]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]馮克勤，李尚志，章璞.近世代數(shù)引論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009.

Thinking Caused by a Fill-in-the-blank Question in Junior High School Mathematics

—From the Perspective of Modern Algebra

HU Li-wen

（School of Mathematical Science， East China Normal University， Shanghai 200241， China）

Abstract： A basic fill-in-the-blank question in junior high school mathematics triggers the reflection on the nature of mathematics， and then the problem is solved from the perspective of modern algebra. This paper points out the enlightenment of the problem to the teaching of junior high school mathematics， and then explores an example of factorization from the perspective of modern algebra.

Key words： junior high school mathematics; modern algebra; polynomial ring; indeterminate; unknown number; factorization

收稿日期：2020-03-03

作者簡(jiǎn)介：胡力文（1984-），男（漢族），安徽省蕭縣人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師、國家二級(jí)心理咨詢師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育。